动量和动量守恒功和能的复习.docx
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动量和动量守恒功和能的复习
动量和动量守恒、功和能的复习
(一)动量和动量守恒
一、知识要点梳理
1.动量定理是描述力的时间积累效果的,I=mv-mv0.
2.动量定理可由牛顿运动定律直接推导出来,因此动量定理和牛顿运动定律是一致的,能用牛顿运动定律解的题目,不少都可用动量定理来解。
在有些题目中,用动量定理解题比用牛顿运动定律解题要简便得多。
3.对于由多个相互作用的质点组成的系统,若系统不受外力或所受外力的矢量和在某力学过程中始终为零,则系统的总动量守恒。
可表达为:
m1v1+m2v2=m1v1'+m2v2'.
注:
动量守恒定律成立的条件性:
动量守恒是有条件的,即合外力为零。
具体类型由三:
系统根本不受外力(理想条件);有外力作用但系统所受的合外力为零,或在某个方向上合外力为零(非理想条件);系统所受的外力远比内力小,且作用时间很短(近似条件)。
二、例题
[例1]两只船以速度v0相向而行,每只船连同船上的人、物总质量为M;当它们“擦肩”而过时,各把质量为m的物体从船侧同时放入对方船中,则两船速各为多少?
(忽略水的阻力)
[例2]气球质量为200kg载有质量为50kg的人,静止在空中距地面高20m的地方,气球下悬一根质量可忽略不计的绳子,此人想从气球上沿绳慢慢下滑至地面,为了安全到达地面,则这根绳长至少应为__________(不计人的高度)
[例3]甲、乙两船自身重量为120kg,都静止在静水中,当一个质量为30kg的小孩以相对于地面6m/s的水平速度从甲船跳上乙船时,不计阻力,甲、以两船速度大小之比v甲:
v乙=_______.
[例4]如图所示,甲车质量为2kg,静止在光滑水平面上,上表面光滑,右端放一个质量为1kg的小物体。
乙车质量为4kg,以5m/s的速度向左运动,与甲车碰撞后获得8m/s的速度,物体滑到乙车上,若乙车足够长,上表面与物体的摩擦因数为0.2,则物体在乙车上表面滑行多少时间相对乙车静止?
(g=10m/s2)
甲乙
(二)功和能的复习
一.知识点梳理
1.功率的定义和公式。
P=w/t,p=fvcosa.(若v取平均速度,则求出的是平均功率,若v取瞬时速度,则求出的是瞬时功率。
)
2.动能定理:
内容,公式:
∑w=ΔEK。
应用动能定理解题一般比应用牛二定律解题要简便,故在一般牵扯力与位移关系的题目中优先考虑使用动能定理。
3.机械能守恒定律的内容及表达式:
E1=E2。
成立条件:
只有重力或弹簧弹力做功。
二.参考例题。
例1:
在距离地面10m高处,一人以50m/s的速度水平抛出一个质量4kg的物体,物体落地时速度大小仍为50m/s,则人对物体做的功是多少?
飞行过程中物体克服空气阻力做功是多少?
三、习题
[1]把两小球从图所示的位置(细绳处于拉直状态)同时由静止释放,则小球向左下方转动的过程中
A.绳OA对A球做正功A
B.绳AB对B球做正功B
C.绳AB对B球不做功
D.绳AB对A球做负功
[2]用恒力F向上拉一物体,使其由地面开始加速上升到某一高度,若考虑空气阻力而不考虑空气浮力,则在此过程中
A.力F所做的功减去克服阻力所做的功等于重力势能的增量
B.物体克服重力所做的功等于重力势能的增量
C.力F、重力、阻力三者的合力所做的功等于重力势能的增量
D.力F和阻力的合力所做的功等于重力势能的增量
[3]两物体以相同的动能冲上同一斜坡,并停在同一高度上,若两物体的质量分别为mA、mB,且mA〉mB,两物体与斜坡之间的动摩擦因数分别为μA、、、μB,则
A.μA、>μBB.μA<μB
C.μA=μBD.无法判断
[4]功率为P,质量为M的汽车,下坡时关闭油门,则速度不变,若不关闭油门,且保持功率不变,则ts内速度增大为原来的2倍,则汽车的初速度为_________.
动量和动量守恒、功和能的复习
(二)
1、如图3-13一质量为M、长为l的长方形木板B放在光滑的水平地面上,在其右端放一质量为m的小木块A,m<M。
现以地面为参考系,给A和B以大小相同,方向相反的初速度,使A开始向左运动,B开始向右运动,但最后A刚好没有滑离B板。
求小木块A向左运动到达最远处(对地)离出发点的距离。
2、、质量为m的钢板与直立轻弹簧的上端连接,弹簧下端固定在地上。
平衡时,弹簧的压缩量为x0,如图3-15所示。
物块从钢板正对距离为3X0的A处自由落下,打在钢板上并立刻与钢板一起向下运动,但不粘连,它们到达最低点后又向上运动。
已知物体质量也为m时,它们恰能回到O点,若物块质量为2m,仍从A处自由落下,则物块与钢板回到O点时,还具有向上的速度,求物块向上运动到最高点与O点的距离。
3、如图3-18所示,轻质弹簧竖直放置在水平地面上,它的正上方有一金属块从高处自由下落,从金属块自由下落到第一次速度为零的过程中 []
A.重力先做正功,后做负功
B.弹力没有做正功
C.金属块的动能最大时,弹力与重力相平衡
D.金属块的动能为零时,弹簧的弹性势能最大
4、一辆车通过一根跨过定滑轮的绳PQ提升井中质量为m为物体,,如图所示。
绳的P端拴在车后的挂钩上,Q端拴在物体上。
设绳的总长不变、绳的质量、定滑轮的质量和尺寸,滑轮上的摩擦都忽略不计。
开始时,车在A点,左右两侧绳都已绷紧并且是竖直的,左侧绳绳长为H。
提升时,车加速向左运动,沿水平方向从A经过B驶向C。
设A到B的距离也为H。
车过B点时的速度为
。
求车由A移到B的过程中,绳Q端的拉力对物体做的功。
动能定理的三个特殊应用
求处于平衡状态下物体的作用力,我们常用物体的平衡条件,研究运动物体的加速度常用运动学公式或牛顿第二定律,解决连接体物体的关联速度常用微元法。
然而通过对比公式、虚拟过程及内力特点,笔者探寻到动能定理的一些特殊运用,可有效快捷解决以上三方面的问题。
1 对比运动学公式求加速度
做匀变速直线运动的物体,物体的位移、速度和加速度之间的关系为:
v2-v02=2as。
用动能定理也可以得到物体运动的位移与速度的关系,如果各连接体间物体都是做匀变速运动,对比运动学公式v2-v02=2as,就可以求得物体的加速度,这是求解加速度的一条有效途径。
例1两个质量分别为m1和m2的重物悬挂在细绳的两端,已知m1>m2,绳子绕过一个半径为r的滑轮,如图1所示。
在滑轮的轴上固定了4个长为L分布均匀的辐条,辐条的端点固定有质量为m的小球,重物m1和m2的运动是由于本身的重力产生的。
轴的摩擦、绳及辐条和滑轮质量均不计,绳与滑轮间不发生相对滑动,求m1和m2运动的加速度。
解决这类问题,显然应该用刚体绕定轴转动的规律。
用牛顿第二定律已经无能为力,而用动能定理不仅方法有效,而且思路清晰,求解过程简单。
对于都是做匀变速运动的连接体间物体,可以通过它们之间的位移关系,得出速度关系,进而用动能定理就能十分方便简捷求得各物体的加速度。
2 虚拟过程求力
物体在平衡时,可以用力的平衡条件求力,但有时由于给出的物体受到特定因素的限制,使得解题的条件不足,难以求解。
在有些情况下,我们可以对处于平衡态的物体虚拟一个过程,化静为动,用动能定理巧妙解决问题。
例2一根质量均匀分布的链条长为L,质量为m,悬挂在天花板下。
现用力F作用在它的下端,可以使它处于如图2所示的平衡状态,此时下端B与悬点A的竖直高度差为h,求悬点对链条的张力。
解:
由于链条挂在竖直方向上的不对称性和水平拉开的不确定性,因此无法直接用力的平衡方法求解。
不妨虚拟如下情景:
将链条沿其拉力方向缓慢移动一微小位移ΔL,在这一过程中,保持链条形状和位置不变,仅仅相当于把微元ΔL由A点移到了B
通过这样的虚拟物理过程,使静态平衡问题转化为动态问题,利用动能定理使求解变得轻而易举,体现了方法的巧妙性,进而培养了学生们的创新能力和发散思维,提高思维的灵活性。
3 内力做功求速度
例3如图3,球形物块质量为M,方物块带杆及小球总质量为m。
现用一水平力推动物块M以速度v向右匀速运动,使杆竖直向上运动。
若不计一切摩擦,试求杆上升到如图3所示的α角位置时杆的速度。
解:
由于M与m之间的内力F1、F2在内力方向上没有相对位移,那么这一对内力的总功为零,则瞬时功率之和也为零。
例2.在光滑水平面上有一静止的物体。
现以水平恒力甲推这一物体,作用一段时间后,换成相反方向的水平恒力乙推这一物体。
当恒力乙作用时间与恒力甲作用时间相同时,物体恰好回到原处,此时物体的动能为32J。
则在整个过程中,恒力甲做的功和恒力乙做的功各等于多少?
分析:
物体先做匀加速运动,后做匀减速运动回到原处,整个过程中的位移为零。
根据牛顿第二定律和运动学公式即可确定两个力的大小关系,然后利用动能定理对全过程列式即可解。
解:
物体从静止起受水平恒力
作用,做匀加速运动,经一段时间t后的速度为
,以后受恒力
,做匀减速运动
,经同样时间后回到原处,整个时间内在联系物体的位移为零,于是
即
设在作用下物体的位移为s,对全过程用动能定理得:
即
所以,恒力甲和乙做的功分别为
(3)初、末速度已知
例3.质量为5吨的汽车,以额定功率行驶,速度由10m/s增加到最大速度20m/s,行程为3km,用时3min,设汽车行驶过程中所受阻力不变,求汽车发动机的额定功率是多少?
解:
根据动能定理:
而
且当时速度最大,即
代入上式:
则:
代入数据得:
(瓦)
2.变力做功的动力学问题,应考虑应用动能定理
例5.总质量为M的列车,沿水平直线轨道匀速前进,其末节车厢质量为m,中途脱节,司机发觉时,机车已行驶L的距离,于是立即关闭油门,除去牵引力;设运动的阻力与质量成正比,机车牵引力是恒定的。
求当列车的两部分都停止时,它们间的距离为多少?
解:
依题意作出草图,标明各部分运动的位移。
对车头
脱钩后的全过程,依动能定理列方程。
设阻力
,则有:
对末节车厢,依动能定理列方程:
又因为
,由于原来列车匀速运动,所以牵引力
由以上各式联立得:
说明:
如果物体运动有几个过程,关键是分清楚整个过程有几个力做功及其研究对象的初、末状态的动能。
另一解法:
假设机车脱钩时,立即关闭油门,由于运动阻力与其质量成正比,所以两部分同时分别做加速度相同的匀减速运动,匀减速运动的初速度也相同,故两部分停止相距的距离为零。
若以末节车厢为参照物,机车在运动L段时牵引力KMg所做的功为KMgL,使机车动能增加。
那么,机车所增加的动能全部消耗在机车相对末节车厢克服阻力做功之中,其阻力相对末节车厢所做的功为
,故有方程
成立。
于是
。
(二)答案:
1、 提示:
注意分析物理过程。
情景如图3-14。
其中隐含条件A刚好没离B板,停在B板的左端,意为此时A,B无相对运动。
A,B作用力大小相等,但加速度不同,由于A的加速度大,首先减为零,然后加速达到与B同速。
2、【错解分析】错解:
物块m从A处自由落下,则机械能守恒
设钢板初位置重力势能为0,则
之后物块与钢板一起以v0向下运动,然后返回O点,此时速度为0,运动过程中因为只有重力和弹簧弹力做功,故机械能守恒。
2m的物块仍从A处落下到钢板初位置应有相同的速度v0,与钢板一起向下运动又返回机械能也守恒。
返回到O点速度不为零,设为V则:
(3)
因为m物块与2m物块在与钢板接触时,弹性势能之比
2m物块与钢板一起过O点时,弹簧弹力为0,两者有相同的加速度g。
之后,钢板由于被弹簧牵制,则加速度大于g,两者分离,2m物块从此位置以v为初速竖直上抛上升距离
这是一道综合性很强的题。
错解中由于没有考虑物块与钢板碰撞之后速度改变这一过程,而导致错误。
另外在分析物块与钢板接触位置处,弹簧的弹性势能时,也有相当多的人出错,两个错误都出时,会发现无解。
这样有些人就返回用两次势能相等的结果,但并未清楚相等的含义。
【正确解答】物块从3x0位置自由落下,与地球构成的系统机械能守恒。
则有
v0为物块与钢板碰撞时的的速度。
因为碰撞极短,内力远大于外力,钢板与物块间动量守恒。
设v1为两者碰撞后共同速
mv0=2mv1
(2)
两者以vl向下运动恰返回O点,说明此位置速度为零。
运动过程中机械能守恒。
设接触位置弹性势能为Ep,则
同理2m物块与m物块有相同的物理过程
碰撞中动量守恒2mv0=3mv2(4)
所不同2m与钢板碰撞返回O点速度不为零,设为v则
因为两次碰撞时间极短,弹性形变未发生变化
Ep=E'p(6)
由于2m物块与钢板过O点时弹力为零。
两者加速度相同为g,之后钢板被弹簧牵制,则其加速度大于g,所以与物块分离,物块以v竖直上抛。
【小结】本题考查了机械能守恒、动量守恒、能量转化的。
守恒等多个知识点。
是一个多运动过程的问题。
关键问题是分清楚每一个过程。
建立过程的物理模型,找到相应解决问题的规律。
弹簧类问题,画好位置草图至关重要。
参考练习:
如图3-16所示劲度系数为k1的轻质弹簧分别与质量为m1,m2的物体1,2,栓接系数为k2的轻弹簧上端与物体2栓接,下端压在桌面上(不栓接)。
整个系统处于平衡状态,现施力将物体1缓慢地竖直上提,直到下面那个弹簧的下端刚脱离桌面,在此过程中,物体2的重力势能增大了多少?
物体1的重力势能增大了多少?
提示:
此题隐含的条件很多,挖掘隐含条件是解题的前提。
但之后,必须有位置变化的情景图如图3-17。
才能确定1,2上升的距离,请读者自行解答。
3、【错解分析】错解:
金属块自由下落,接触弹簧后开始减速,当重力等于弹力时,金属块速度为零。
所以从金属块自由下落到第一次速度为零的过程中重力一直做正功,故A错。
而弹力一直做负功所以B正确。
因为金属块速度为零时,重力与弹力相平衡,所以C选项错。
金属块的动能为零时,弹力最大,所以形变最大,弹性势能最大。
故D正确。
形成以上错解的原因是对运动过程认识不清。
对运动性质的判断不正确。
金属块做加速还是减速运动,要看合外力方向(即加速度方向)与速度方向的关系。
【正确解答】要确定金属块的动能最大位置和动能为零时的情况,就要分析它的运动全过程。
为了弄清运动性质,做好受力分析。
可以从图3-19看出运动过程中的情景。
从图上可以看到在弹力N<mg时,a的方向向下,v的方向向下,金属块做加速运动。
当弹力N等于重力mg时,a=0加速停止,此时速度最大。
所以C选项正确。
弹力方向与位移方向始终反向,所以弹力没有做正功,B选项正确。
重力方向始终与位移同方向,重力做正功,没有做负功,A选项错。
速度为零时,恰是弹簧形变最大时,所以此时弹簧弹性势能最大,故D正确。
所以B,C,D为正确选项。
【小结】对于较为复杂的物理问题,认清物理过程,建立物理情景是很重要的。
做到这一点往往需画出受力图,运动草图,这是应该具有的一种解决问题的能力。
分析问题可以采用分析法和综合法。
一般在考试过程中分析法用的更多。
如本题A,B只要审题细致就可以解决。
而C,D就要用分析法。
C选项中动能最大时,速率最大,速率最大就意味着它的变化率为零,即a=0,加速度为零,即合外力为零,由于合外力为mg-N,因此得mg=N,D选项中动能为零,即速率为零,单方向运动时位移最大,即弹簧形变最大,也就是弹性势能最大。
本题中金属块和弹簧在一定时间和范围内做往复运动是一种简谐运动。
从简谐运动图象可以看出位移变化中速度的变化,以及能量的关系。
4、分析:
汽车从A到B把物体提升的过程中,物体只受到拉力和重力的作用,拉力是变力。
根据物体速度的变化和上升高度,由功与动能变化的关系即得。
解:
以物体为研究对象,开始时其动能
。
随着车的加速拖动,重物上升,同时速度也不断增加。
当车子运动到B点时,重物获得一定的上升速度
,这个速度也就是收绳的速度,它等于车速沿绳子方向的一个分量(如图),即
于是重物的动能增为
在这个提升过程中,重物受到绳中拉力T、重力mg。
物体上升的高度和重力的功分别为
由动能定理得:
所以绳子拉力对物体做的功
3.涉及位移、动能、功的动力学问题,应考虑应用动能定理
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