二项式定理.docx
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二项式定理
二项式定理
一、内容归纳
1.知识精讲:
(1)二项式定理:
abnC0anC:
an1bCnranrbrC:
bn(nN)
其通项是TriCnranrbr(r=0,1,2,……,n),知4求1,如:
T6T51Cn5an5b5
亦可写成:
Tr1
C;an()r
a
n
ab
C:
an
C;an1b
1rC:
anrbr
1nCnnbn(nN)
特别地:
1xn
C;xnC:
x
C;xnr
C;xn(nN)
其中,cn――二项式系数。
而系数是字母前的常数。
(2)二项展开式系数的性质:
①对称性,在二项展开式中,与首末两端“等距离”的两项的
二项式系数相等,即c:
c:
c1c;1,cnCn2,ckcnk,
2增减性与最大值:
在二项式展开式中,二项式系数先增后减,且在中间取得最大值。
如果
n
二项式的幕指数是偶数,中间一项的二项式系数最大,即n偶数:
CnrmaxCn2Tn1;
2
如果二项式的幕指数是奇数,中间两项的二项式系数相等并且最大,即n1n1
r
CnmaxCn2Cn2Tn11Tn11。
③所有二项式系数的和用赋值法可以证明等于
2n即Cncn
c;2n;
奇数项的二项式
系数和与偶
数项的二项
式系数和相等
即
0213
CnCnCnCn
2门1
(3)二项式定理的应用:
近似计算和估计、
证不等式,如证明:
2n2nn3,n
N取
中四个即可求第五个元素。
3注意二项式系数与某一项系数的异同。
4当n不是很大,|x|比较小时可以用展开式的前几项求(1x)n的近似值。
5
二、问题讨论
n
41
D.-
3
所以,其余数为7,选
理项。
(2)
2的展开式的常数项。
解:
(1)展开式中前三项的系数分别为1,n,Mn3,
28由题意得:
2x—=1+n(n1)得n=8。
28
“163r
r1
设第r+1项为有理项,Tr1c8-x4,则r是4的倍数,所以r=0,4,&
2r
开式的通项为
【思维点拨】密切注意通项公式的使用。
练习:
(1)在(1XX2X3)(1X)7的展开式中,求X4的系数。
44
(2)求(X—4)的展开式中的常数项。
X
(3)求(1X)3(1X)4(1X)5…(1X)50的展开式中X3的系数。
解:
(1)原式;
1
1
X
(1X
X)7
(1
X4)(1
X)6,展开式中
X4的系数为
(1)4c:
1
14
(2)
(X
-4)
4
(X2
4x4)
4
(2X)8
展开式中的常
数
项为
—
4
4
X
X
X
C:
24
(1)4
1120
(3)方法一:
原式_
(1
X)3(1
、48
X)
1
51
(1X)
(1X)3
(1X)1X
X3的系数为C:
1。
方法二:
展开式中X3的系数为:
C;C;C;…C;0C:
C:
C;…C;0
2n一1*
例3、设an=1+q+q+•••+q(n€N,qz土1),
12n
A=Cna1+Cna2+-+Cnan.
用q和n表示An
1时,求lim
n
An
。
q[(Cn+Cn+Cn十…计
n。
122nn
Cn)—(Cn+qCn+qCn+…+qCn)]
2n(1
\n
q)
才能发现x应取什么特殊值:
a42416
【思维点拨】用赋值法时要注意展开式的形式。
思考题:
设x1
4
x
5
2
a。
a1x
3
a2x
2
3
a9x3
2
2
则a。
a2
a4
a6
a8
—a1
a3
a5
a7
a9
解:
a。
a1
a2
a9
2
14
2
25
。
2
2
所以,
a。
a2
a4
a6
a8—
a1
a3
a5
a7
a9
a。
Q
a2
a9
a。
a1
a2
a8
=0
备用题:
(1)若展开式中第5项、第6项与第7项的二项式系数成等差数列,求展开式中二项式系数最大项的系数。
(2)
若展开式前三项的二项式系数和等于79,求展开式中系数最大的项。
【解】
(1):
C:
C;2C;n=7或n=i4。
当n=7时,展开式中二项式系数最大的项是
T4和T5
【思维点拨】二项式系数与展开式某一项系数是不同的概念。
例6:
:
1
当nN且n>1,求证2
(1)n3
n
证明:
(1
丄)
Cn
Cn
2!
3!
Cn
2!
n12
3!
n!
n!
3.
从而
1
(1-)n
【思维点拨】这类是二项式定理的应用问题,它的取舍根据题目而定。
三、课堂小结:
1、二项式定理及二项式系数的性质。
通项公式。
2、要取分二项式系数与展开式项的系数的异同。
3、证明组合恒等式常用赋值法。
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