初中数学培优教材勾股定理专题附答案全面精选.docx

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初中数学培优教材勾股定理专题附答案全面精选

初中数学勾股定理培优教材

一、探索勾股定理

【知识点1】勾股定理

定理容：

在RT△中，

勾股定理的应用：

在RT△中，知两边求第三边，关键在于确定斜边或直角

典型题型

1、对勾股定理的理解

（1）已知直角三角形的两条直角边长分别为a,b，斜边长c，则下列关于a,b,c的关系不成立的是（）

A、c²-a²=b²B、c²-b²=a²

C、a²-c²=b²D、a²+b²=c²

（2）在直角三角形中，∠A=90°，则下列各式中不成立的是（）

A、BC²-AB²=AC²B、BC²-AC²=AB²

C、AB²+AC²=BC²D、AC²+BC²=AB²

2、应用勾股定理求边长

（3）已知在直角三角形ABC中，AB=10cm,BC=8cm,求AC的长.

（4）在直角△中，若两直角边长为a、b，且满足，则该直角三角形的斜边长为．

3、利用勾股定理求面积

（5）已知以直角△的三边为直径作半圆，其中两个半圆的面积为25π，16π，求另一个半圆的面积。

（6）如图

（1），图中的数字代表正方形的面积，则正方形A的面积为　　　　。

（7）如图

（2），三角形中未知边x与y的长度分别是x=　　　,y=　　　。

（8）在Rt△ABC中，∠C＝90°，若AC＝6，BC＝8，则AB的长为（）

A、6B、8C、10D、12

（9）在直线

上依次摆放着七个正方形（如图4所示）。

已知斜放置的三个正方形的面积分别是1、2、3，正放置的四个正方形的面积依次是

、

=_____________。

【知识点2】勾股定理的验证

推导勾股定理的关键在于找面积相等，由面积之间的等量关系并结合图形利用代数式恒等变形进行推导。

（等积法）

拼图法推导一般步骤：

拼出图形---找出图形面积的表达式---恒等变形—推出勾股定理。

（10）用四个相同的直角三角形（直角边为a、b，斜边为c）按图拼法。

问题：

你能用两种方法表示下图的面积吗？

对比两种不同的表示方法，你发现了什么？

（11）用两个完全相同的直角三角形（直角边为a、b，斜边为c）按下图拼法，论证勾股定理：

3、运用勾股定理进行计算（重难点）

（12）如图,一根旗杆在离地面9米处折断倒下,旗杆顶部落在离旗杆底部12米处,旗杆折断前有多高？

（13）两棵之间的距离为8m，两棵树的高度分别为8m、2m，一只小鸟从一棵树的树顶飞到另一棵树的树顶，这只小鸟至少要飞多少米？

【基础检测】

1、在Rt△ABC中，∠C＝90°，若AB＝13，BC＝5，则AC的长为（）

A.5B.12C.13D.18

2、已知Rt△ABC中，∠C＝90°，若

cm，

cm，则Rt△ABC的面积为（　　）

A.24cm2　B.36cm2　C.48cm2　D.60cm2

3、若△ABC中，∠C=90°，

（1）若a=5，b=12，则c=；

（2）若a=6，c=10，则b=；

（3）若a∶b=3∶4，c=10，则a=，b=。

4、如图，阴影部分是一个半圆，则阴影部分的面积为　　　　　。

（

不取近似值）

5、一个直角三角形的斜边为20cm ,且两直角边长度比为3:

4，求两直角边的长。

6、一个长为10m为梯子斜靠在墙上，梯子的顶端距地面的垂直高度为8m，梯子的顶端下滑2m后，底端向外滑动了多少米？

【培优突破】

1、折叠问题

（1）如图是一直角三角形的纸片，两直角边AC=6cm、BC=8cm，现将△ABC折叠，使点B与点A重合，折痕为DE，则BE的长为（　　）

A、4cmB、5cm

C、6cmD、10cm

（2）如图，折叠长方形的一边AD，使点D落在BC边上的点F处，已知AB=8cm，BC=10cm，求线段EC的值

2、运用勾股定理解决生活中的实际问题

（3）如图，为了测得小水坑两边A点和B点之间的距离，一个观测者在C点设桩，使∠ABC=90°，并测得AC=20m，BC=16m,则A、B两点之间的距离是对少?

3、分类讨论（已知直角△的两边，求第三边）

（4）在△ABC中，AB=15，AC=20，BC边上的高AD=12，则BC的值为（）

A、25B、7C、25或7D、不能确定

（5）已知3,4，a是一个三角形的三边长，若三角形为直角三角形，则

的值是多少？

（6）在直角△ABC中，AB=15，AC=20，BC边上的高AD=12，则BC的值为多少？

4、利用方程解题

（7）如图，△ABC中，∠C=90°，D是BC上的一点，已知BD=7，AB=20，AD=15，求AC的长.

（8）如图，已知△ABC中，AB=AC=20，BC=32，D是BC上一点，且AD⊥AC，求BD的长。

【培优训练】

一、选择题

1．在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=9，BC=12，则点C到AB的距离是（　　）

A、B、C、D、

2．若三角形ABC中，∠A：

∠B：

∠C=2：

1：

1，a，b，c分别是∠A，∠B，∠C的对边，则下列等式中，成立的是（　　）

A．

a2+b2=c2

B．

a2=2c2

C．

c2=2a2

D．

c2=2b2

3．如图，∠AOC=∠BOC，点P在OC上，PD⊥OA于点D，PE⊥OB于点E．若OD=8，OP=10，则PE的长为（　　）

A、5B、6

C、7D、8

4．如图在直角△ABC中，∠BAC=90°，AB=8，AC=6，DE是AB边的垂直平分线，垂足为D，交边BC于点E，连接AE，则△ACE的周长为（　　）

A、16B、15

C、14D、13

5．如图，矩形纸片ABCD中，AB=4，AD=3，折叠纸片使AD边与对角线BD重合，折痕为DG，则AG的长为（　　）

A、1B、

C、

D、2

6．已知△ABC中，AB=17，AC=10，BC边上的高AD=8，则边BC的长为（　　）

A、21B、15C、6D、以上答案都不对

7．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，已知BC=8，AC=6，则斜边AB上的高是（　　）

A、10B、5

C、

D、

8．如图，阴影部分是一个矩形，它的面积是（　　）

A、

B、

C、

D、

9．大爷离家出门散步，他先向正东走了30m，接着又向正南走了40m，此时他离家的距离为（　　）m

A．

30

B．

40

C．

50

D．

70

10．如图在△ABC中∠C=90°，AD平分∠BAC交BC于D，若BC=64，且BD：

CD=9：

7，则点D到AB边的距离为（　　）

A、18B、32

C、28D、24

11．如图所示，是用4个全等的直角三角形与1个小正方形镶嵌而成的正方形图案，已知大正方形面积为49，小正方形面积为4，若用x，y表示直角三角形的两直角边（x＞y），下列四个说法：

①x2+y2=49，②x﹣y=2，

③2xy+4=49，④x+y=9．

其中说确的是（　　）

A、①②B、①②③

C、①②④D、①②③④

二．填空题（共2小题）

12．如图，等腰△ABC中，AB=AC，AD是底边上的高，若AB=5cm，BC=6cm，则AD=　_____　cm．

13．如图，直线L过正方形ABCD的顶点B，点A、C到直线L的距离分别是1和2，则正方形的边长是　_________　．

14、如图所示，△ABC是等腰直角三角形，AB=AC，D是斜边BC的中点，E、F分别是AB、AC边上的点，且DE⊥DF，若BE=12，CF=5．

求线段EF的长。

　二、勾股定理的逆定理

【知识点3】勾股定理的逆定理

（1）如果△的三边满足关系满足，则该△为直角三角形。

（2）△的三边，假设c为最长边

①，则该△为三角形

②，则该△为三角形

（3）勾股定理逆定理的用途

典型题

（1）下列各组数据中的三个数，可作为三边长构成直角三角形的是（）

A.4，5，6B.2，3，4

C.11，12，13D.8，15，17

（2）若线段a，b，c组成直角三角形，则它们的比为（　　）

A、2∶3∶4B、3∶4∶6

C、5∶12∶13D、4∶6∶7

（3）下面的三角形中：

①△ABC中，∠C=∠A－∠B；

②△ABC中，∠A：

∠B：

∠C=1：

2：

3；

③△ABC中，a：

b：

c=3：

4：

5；

④△ABC中，三边长分别为8，15，17．

其中是直角三角形的个数有（）个．

A．1B．2C．3D．4

（4）若三角形的三边之比为，则这个三角形一定是（）

A.等腰三角形B.直角三角形

C.等腰直角三角形D.不等边三角形

（5）已知a，b，c为△ABC三边，且满足

A.直角三角形B.等腰三角形

C.等腰直角三角形D.等腰三角形或直角三角形

（6）将直角三角形的三条边长同时扩一倍数,得到的三角形是（）

A．钝角三角形B.锐角三角形

C.直角三角形D.等腰三角形

（7）若△ABC的三边长分别长a,b,c，且满足,试判断△ABC的形状。

（8）△ABC的两边分别为5,12，另一边为奇数，且a+b+c是3的倍数，则c应为，此三角形为。

（9）求：

①若三角形三条边的长分别是7,24,25，则这个三角形的最大角是度。

②已知三角形三边的比为1：

：

2，则其最小角为。

【知识点4】勾股数

（1）勾股数是正整数

（2）满足的关系条件

（3）勾股数的n倍（n≠0），仍然满足

（4）常见勾股数

三、勾股定理的应用

1、与图形展开的有关计算（注意展开方式）

（1）某楼梯的侧面视图如图3所示，其中

米，

，

，因某种活动要求铺设红色地毯，则在AB段楼梯所铺地毯的长度应为       ．

（2）如图，在棱长为1的正方体ABCD—A’B’C’D’的表面上，求从顶点A到顶点C’的最短距离．

（3）如图一个圆柱，底圆周长6cm，高4cm，一只蚂蚁沿外壁爬行，要从A点爬到B点，则最少要爬行cm

（4）国家电力总公司为了改善农村用电电费过高的现状，目前正在全国各地农村进行电网改造，某地有四个村庄A、B、C、D，且正好位于一个正方形的四个顶点，现计划在四个村庄联合架设一条线路，他们设计了四种架设方案，如图实线部分．请你帮助计算一下，哪种架设方案最省电线．

2、航海问题

（1）一轮船以16海里/时的速度从A港向东北方向航行，另一艘船同时以12海里/时的速度从A港向西北方向航行，经过1.5小时后，它们相距________海里

（2）如图，某货船以24海里／时的速度将一批重要物资从A处运往正向的M处，在点A处测得某岛C在北偏东60°的方向上。

该货船航行30分钟到达B处，此时又测得该岛在北偏东30°的方向上，已知在C岛周围9海里的区域有暗礁，若继续向正向航行，该货船有无暗礁危险？

试说明理由。

（3）如图，某沿海开放城市A接到台风警报，在该市正南方向260km的B处有一台风中心，沿BC方向以15km/h的速度向D移动，已知城市A到BC的距离AD=100km.

①那么台风中心经过多长时间从B点移到D点？

②如果在距台风中心30km的圆形区域都将有受到台风的破坏的危险，正在D点休闲的游人在接到台风警报后的几小时撤离才可脱离危险？

3、网格问题

（1）如图1，正方形网格中，每个小正方形的边长为1，则网格上的三角形ABC中，边长为无理数的边数是（）

A．0B．1C．2D．3

（2）如图2，正方形网格中的△ABC，若小方格边长为1，则△ABC是（）

A.、直角三角形B、锐角三角形

C、钝角三角形D、以上答案都不对

（3）如图，小方格都是边长为1的正方形,则四边形ABCD的面积是（）

A．25

B.12.5

C.9

D.8.5

（4）如图，正方形网格中的每个小正方形边长都是1，每个小格的顶点叫格点，以格点为顶点分别按下列要求画三角形：

①使三角形的三边长分别为3、、（在图甲中画一个即可）；

②使三角形为钝角三角形且面积为4（在图乙中画一个

即可）．

4、折叠问题

（1）如图，有一直角三角形纸片，两直角边AC=6，BC=8，将△ABC折叠，使点B与点A重合，折痕为DE，则CD等于（）

A.

B.

C.

D.

（2）如图所示，已知△ABC中，∠C=90°，AB的垂直平分线交BC于M，交AB于N，若AC=4，MB=2MC，求AB的长．

（3）如图，在长方形ABCD中，DC=5，在DC边上存在一点E，沿直线AE把△ABC折叠，使点D恰好在BC边上，设此点为F，若△ABF的面积为30，求折叠的△AED的面积

（4）如图，在长方形ABCD中，将△ABC沿AC对折至△AEC位置，CE与AD交于点F。

①试说明：

AF=FC；

②如果AB=3，BC=4，求AF的长

（5）如图2所示，将长方形ABCD沿直线AE折叠，顶点D正好落在BC边上F点处，已知CE=3cm，AB=8cm，则图中阴影部分面积为_______．

（6）如图，将正方形ABCD折叠，使顶点A与CD边上的点M重合，折痕交AD于E，交BC于F，边AB折叠后与BC边交于点G。

如果M为CD边的中点，

求证：

DE：

DM：

EM=3：

4：

5

勾股定理参考答案

一、探索勾股定理

（1）C

（2）D

（3）没有确定斜边的情况下，需要先确定斜边。

6或

（4）根据非负数的性质，b=4和

，解得a=3，根据勾股定理，斜边=5

（5）这类型题目（分别以直角三角形三边所作的同类型图形，如正多边形、半圆等），均满足（如图中所示）S1=S2+S3，S3=9π

（6）25（7）10，12（8）C，斜边AB=10

（9）4，根据全等三角形和勾股定理，S1+S2=1，S2+S3=2，S3+S4=3，S1+S2+S3+S4=1+3=4

（10），

结论：

（11）

结论：

（12）h=9+

（13）10m

【基础检测】

1、B

2、A,解：

3、

（1）13，

（2）8，（3）6,8

4、72π

5、12,16解：

根据题意，本题中直角三角形三边关系为3:

4:

5，三边分别为3x,4x,5x，5x=20

6、作如下辅助图：

BD=CE=10，AB=8，

BC=2，AC=6

根据勾股定理：

AD=6,

AE=8

DE=AE-AD=8-6=2m

【培优突破】

（1）B

（2）3cm，注意翻折构造全等，勾股定理

（3）12m

（4）C，如右图

（5）25或7，在没有确定直角或斜边的情况下，需要讨论确定斜边。

（6）25，AB一定是直角边，想想：

BC是否一定是斜边呢？

BC边上的高为12，不是15，所以BC一定是斜边

（7）12,解：

设DC=y，根据勾股定理有：

即

解得：

y=9

AC=12

（8）7,解：

作AE⊥BC与E，设BD=X

则AE=12

DE=16-x

DC=32-x

如图，根据勾股定理有：

即

解得：

x=7

【培优训练】

1、A，三角形的面积计算

2、B

3、B,

4、A，

5、C

6、D，如右图，BC的长21或9

7、C8、A9、C10、C

11、B,充分利用完全平方公式与勾股定理的证明

12、413、

14、连接AD，则△BDE≌△ADF，则△ADE≌△CDF，则AE=CF=5，AF=BE=12，∴EF=13

二、勾股定理的逆定理

典型题答案

（1）D

（2）C（3）D（4）C

（5）C（6）C

（7）直角三角形

解：

所以：

a=6,b=8,c=10

（8）直角三角形。

分析：

设三边分别为a,b,c，有a+b+c=5+12+c=17+c，根据条件有：

解得：

c=13，所以根据勾股定理的逆定理，为Rt△

（9）①90°，②30°

三、勾股定理的应用

1、与图形有关的计算

（1）

（2）（3）5

（4）设：

正方形的边长为a

方案一：

S=3a

方案二：

S=3a

方案三：

S=

方案四：

S=（1+）a,分析：

a，，,

所以：

方案四最节省电线

2、航海问题

（1）30

（2）CD=，无暗礁风险

（3）①台风中心经过16h从B点移动到D点

②14h撤离才可脱离危险

3、网格问题

（1）D

（2）A（3）B（4）如图：

不唯一

4、折叠问题

（1）C

（2）8

（3）DE=X,则在直角△EFC中：

FG=1，EF=X,EC=5-X，

有：

解得：

x=,S△AED=16.9

（4）①提示：

角平分线+平行线，构造等腰模型

②设AF=X，则,解得：

x=25/8

（5）30

（6）证明提示：

设：

DM=X,DE=y，则：

正方形边长为2x，AE=2x—y，满足：

解得：

3x=4y.，则可设：

y=3k，x=4x，则正方形变成为8k，则AE=5k，所以：

DE:

DM:

EM=3K:

4K:

5K,

即：

DE:

DM:

EM=3:

4:

5