最新离散数学考试试题A卷及答案优秀名师资料.docx
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最新离散数学考试试题A卷及答案优秀名师资料
离散数学考试试题(A卷及答案)
离散数学考试试题(A卷及答案)
一、(10分)判断下列公式的类型(永真式、永假式、可满足式)?
1)((P?
Q)∧Q)?
((Q∨R)∧Q)2)?
((Q?
P)∨?
P)∧(P∨R)3)((?
P∨Q)?
R)?
((P∧Q)∨R)
解:
1)永真式;2)永假式;3)可满足式。
二、(8分)个体域为{1,2},求?
x?
y(x+y=4)的真值。
解:
?
x?
y(x+y=4)?
?
x((x+1=4)∨(x+2=4))
?
((1+1=4)∨(1+2=4))∧((2+1=4)∨(2+1=4))?
(0∨0)∧(0∨1)?
1∧1?
0
三、(8分)已知集合A和B且|A|=n,|B|=m,求A到B的二元关系数是多少?
A到B的函数数是多少?
解:
因为|P(A×B)|=2|A×B|=2|A||B|=2mn,所以A到B的二元关系有2mn个。
因为|BA|=|B||A|=mn,所以A到B的函数mn个。
四、(10分)已知A={1,2,3,4,5}和R={<1,2>,<2,1>,<2,3>,<3,4>,<5,4>},求r(R)、s(R)和t(R)。
解:
r(R)={<1,2>,<2,1>,<2,3>,<3,4>,<5,4>,<1,1>,<2,2>,<3,3>,<4,4>,<5,5>}s(R)={<1,2>,<2,1>,<2,3>,<3,4>,<5,4>,<3,2>,<4,3>,<4,5>}
t(R)={<1,2>,<2,1>,<2,3>,<3,4>,<5,4>,<1,1>,<1,3>,<2,2>,<2,4>,<1,4>}
五、(10分)75个儿童到公园游乐场,他们在那里可以骑旋转木马,坐滑行铁道,乘宇宙飞船,已知其中20人这三种东西都乘过,其中55人至少乘坐过其中的两种。
若每样乘坐一次的费用是0.5元,公园游乐场总共收入70元,求有多少儿童没有乘坐过其中任何一种。
解设A、B、C分别表示骑旋转木马、坐滑行铁道、乘宇宙飞船的儿童组成的集合,|A∩B∩C|=20,|A∩B|+|A∩C|+|B∩C|-2|A∩B∩C|=55,|A|+|B|+|C|=70/0.5=140。
由容斥原理,得
|A∪B∪C|=|A|+|B|+|C|―|A∩B|―|A∩C|―|B∩C|+|A∩B∩C|所以
|A∩B∩C|=75-|A∪B∪C|=75-(|A|+|B|+|C|)+(|A∩B|+|A∩C|+|B∩
C|-2|A∩B∩C|)+|A∩B∩C|=75-140+55+20=10
没有乘坐过其中任何一种的儿童共10人。
六、(12分)已知R和S是非空集合A上的等价关系,试证:
1)R∩S是A上的等价关系;2)对a∈A,[a]R
=[a]R∩[a]S。
解:
?
x∈A,因为R和S是自反关系,所以
?
x、y∈A,若
?
x、y、z∈A,若
总之R∩S是等价关系。
2)因为x∈[a]R∩S?
x∈[a]R∧x∈[a]S?
x∈[a]R∩[a]S所以[a]R∩S=[a]R∩[a]S。
七(10分)设A、B、C、D是集合,f是A到B的双射,g是C到D的双射,令h:
A×C?
B×D且?
证明h是双射。
证明:
1)先证h是满射。
?
∈B×D,则b∈B,d∈D,因为f是A到B的双射,g是C到D的双射,所以存在a∈A,c∈C,使得f(a)=b,f(c)=d,亦即存在∈A×C,使得h()=
2)再证h是单射。
?
综合1)和2),h是双射。
八、(12分)
”为a?
b=a*u-1*b,对任意a,b∈G,求证:
>也是个群。 证明: 1)? a,b∈G,a? b=a*u-1*b∈G,运算是封闭的。 2)? a,b,c∈G,(a? b)? c=(a*u-1*b)*u-1*c=a*u-1*(b*u-1*c)=a? (b? c),运算是可结合的。 3)? a∈G,设E为? 的单位元,则a? E=a*u-1*E=a,得E=u,存在单位元。 4)? a∈G,a? x=a*u-1*x=E,x=u*a-1*u,则x? a=u*a-1*u*u-1*a=u=E,每个元素都有逆元。 所以 >也是个群。 九、(10分)已知: D= 解: D的邻接距阵A和可达距阵P如下: 00001 10000 01000 10100 00100 11101 11101 11101 11101 11101 十、(10分)求叶的权分别为2、4、6、8、10、12、14的最优二叉树及其权。 解: 最优二叉树为 权=148 离散数学考试试题(B卷及答案) 一、(10分)求命题公式? (P∧Q)? ? (? P? R)的主合取范式。 解: ? (P∧Q)? ? (? P? R)? (? (P∧Q)? ? (? P? R))∧(? (? P? R)? ? (P∧Q))? ((P∧Q)∨(? P∧? R))∧((P∨R)∨(? P∨? Q))? (P∧Q)∨(? P∧? R) ? (P∨? R)∧(Q∨? P)∧(Q∨? R) ? (P∨Q∨? R)∧(P∨? Q∨? R)∧(? P∨Q∨R)∧(? P∨Q∨? R)? M1∧M3∧M4∧M5 二、(8分)叙述并证明苏格拉底三段论 解: 所有人都是要死的,苏格拉底是人,所以苏格拉底是要死的。 符号化: F(x): x是一个人。 G(x): x要死的。 A: 苏格拉底。 命题符号化为? x(F(x)? G(x)),F(a)? G(a)证明: (1)? x(F(x)? G(x))P (2)F(a)? G(a)T (1),US(3)F(a)P(4)G(a)T (2)(3),I 三、(8分)已知A、B、C是三个集合,证明A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C) 证明: ∵x? A∩(B∪C)? x? A∧x? (B∪C) ? x? A∧(x? B∨x? C) ? (x? A∧x? B)∨(x? A∧x? C)? x? (A∩B)∨x? A∩C? x? (A∩B)∪(A∩C) ∴A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C) 四、(10分)已知R和S是非空集合A上的等价关系,试证: 1)R∩S是A上的等价关系;2)对a∈A,[a]R =[a]R∩[a]S。 解: ? x∈A,因为R和S是自反关系,所以 ? x、y∈A,若 ? x、y、z∈A,若 总之R∩S是等价关系。 2)因为x∈[a]R∩S? x∈[a]R∧x∈[a]S? x∈[a]R∩[a]S所以[a]R∩S=[a]R∩[a]S。 五、(10分)设A={a,b,c,d},R是A上的二元关系,且R={,,, 解r(R)=R∪IA={,,, t(R)=? 六、(15分)设A、B、C、D是集合,f是A到B的双射,g是C到D的双射,令h: A×C? B×D且? 证明h是双射。 证明: 1)先证h是满射。 ? ∈B×D,则b∈B,d∈D,因为f是A到B的双射,g是C到D的双射,所以存在a∈A,c∈C,使得f(a)=b,f(c)=d,亦即存在∈A×C,使得h()= 2)再证h是单射。 ? 综合1)和2),h是双射。 七、(12分)设 H,则有a*b? H。 证明: ? ? a,b∈H有b∈H,所以a*b∈H。 ? ? a∈H,则e=a*a∈H 离散数学考试试题(A卷及答案) 一、(10分)判断下列公式的类型(永真式、永假式、可满足式)? 1)((P? Q)∧Q)? ((Q∨R)∧Q)2)? ((Q? P)∨? P)∧(P∨R)3)((? P∨Q)? R)? ((P∧Q)∨R) 解: 1)永真式;2)永假式;3)可满足式。 二、(8分)个体域为{1,2},求? x? y(x+y=4)的真值。 解: ? x? y(x+y=4)? ? x((x+1=4)∨(x+2=4)) ? ((1+1=4)∨(1+2=4))∧((2+1=4)∨(2+1=4))? (0∨0)∧(0∨1)? 1∧1? 0 三、(8分)已知集合A和B且|A|=n,|B|=m,求A到B的二元关系数是多少? A到B的函数数是多少? 解: 因为|P(A×B)|=2|A×B|=2|A||B|=2mn,所以A到B的二元关系有2mn个。 因为|BA|=|B||A|=mn,所以A到B的函数mn个。 四、(10分)已知A={1,2,3,4,5}和R={<1,2>,<2,1>,<2,3>,<3,4>,<5,4>},求r(R)、s(R)和t(R)。 解: r(R)={<1,2>,<2,1>,<2,3>,<3,4>,<5,4>,<1,1>,<2,2>,<3,3>,<4,4>,<5,5>}s(R)={<1,2>,<2,1>,<2,3>,<3,4>,<5,4>,<3,2>,<4,3>,<4,5>} t(R)={<1,2>,<2,1>,<2,3>,<3,4>,<5,4>,<1,1>,<1,3>,<2,2>,<2,4>,<1,4>} 五、(10分)75个儿童到公园游乐场,他们在那里可以骑旋转木马,坐滑行铁道,乘宇宙飞船,已知其中20人这三种东西都乘过,其中55人至少乘坐过其中的两种。 若每样乘坐一次的费用是0.5元,公园游乐场总共收入70元,求有多少儿童没有乘坐过其中任何一种。 解设A、B、C分别表示骑旋转木马、坐滑行铁道、乘宇宙飞船的儿童组成的集合,|A∩B∩C|=20,|A∩B|+|A∩C|+|B∩C|-2|A∩B∩C|=55,|A|+|B|+|C|=70/0.5=140。 由容斥原理,得 |A∪B∪C|=|A|+|B|+|C|―|A∩B|―|A∩C|―|B∩C|+|A∩B∩C|所以 |A∩B∩C|=75-|A∪B∪C|=75-(|A|+|B|+|C|)+(|A∩B|+|A∩C|+|B∩ C|-2|A∩B∩C|)+|A∩B∩C|=75-140+55+20=10 没有乘坐过其中任何一种的儿童共10人。 六、(12分)已知R和S是非空集合A上的等价关系,试证: 1)R∩S是A上的等价关系;2)对a∈A,[a]R =[a]R∩[a]S。 解: ? x∈A,因为R和S是自反关系,所以 ? x、y∈A,若 ? x、y、z∈A,若 总之R∩S是等价关系。 2)因为x∈[a]R∩S? x∈[a]R∧x∈[a]S? x∈[a]R∩[a]S所以[a]R∩S=[a]R∩[a]S。 七(10分)设A、B、C、D是集合,f是A到B的双射,g是C到D的双射,令h: A×C? B×D且? 证明h是双射。 证明: 1)先证h是满射。 ? ∈B×D,则b∈B,d∈D,因为f是A到B的双射,g是C到D的双射,所以存在a∈A,c∈C,使得f(a)=b,f(c)=d,亦即存在∈A×C,使得h()= 2)再证h是单射。 ? 综合1)和2),h是双射。 八、(12分) ”为a? b=a*u-1*b,对任意a,b∈G,求证: >也是个群。 证明: 1)? a,b∈G,a? b=a*u-1*b∈G,运算是封闭的。 2)? a,b,c∈G,(a? b)? c=(a*u-1*b)*u-1*c=a*u-1*(b*u-1*c)=a? (b? c),运算是可结合的。 3)? a∈G,设E为? 的单位元,则a? E=a*u-1*E=a,得E=u,存在单位元。 4)? a∈G,a? x=a*u-1*x=E,x=u*a-1*u,则x? a=u*a-1*u*u-1*a=u=E,每个元素都有逆元。 所以 >也是个群。 九、(10分)已知: D= 解: D的邻接距阵A和可达距阵P如下: 00001 10000 01000 10100 00100 11101 11101 11101 11101 11101 十、(10分)求叶的权分别为2、4、6、8、10、12、14的最优二叉树及其权。 解: 最优二叉树为 权=148 离散数学考试试题(B卷及答案) 一、(10分)求命题公式? (P∧Q)? ? (? P? R)的主合取范式。 解: ? (P∧Q)? ? (? P? R)? (? (P∧Q)? ? (? P? R))∧(? (? P? R)? ? (P∧Q))? ((P∧Q)∨(? P∧? R))∧((P∨R)∨(? P∨? Q))? (P∧Q)∨(? P∧? R) ? (P∨? R)∧(Q∨? P)∧(Q∨? R) 6确定圆的条件: ? (P∨Q∨? R)∧(P∨? Q∨? R)∧(? P∨Q∨R)∧(? P∨Q∨? R)? M1∧M3∧M4∧M5 (一)情感与态度: 二、(8分)叙述并证明苏格拉底三段论 上述五个条件中的任何两个条件都可推出其他三个结论。 解: 所有人都是要死的,苏格拉底是人,所以苏格拉底是要死的。 符号化: F(x): x是一个人。 G(x): x要死的。 A: 苏格拉底。 命题符号化为? x(F(x)? G(x)),F(a)? G(a)证明: (1)? x(F(x)? G(x))P (2)F(a)? G(a)T (1),US(3)F(a)P(4)G(a)T (2)(3),I ⑤当|a|越大,抛物线开口越小;当|a|越小,抛物线的开口越大。 三、(8分)已知A、B、C是三个集合,证明A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C) 证明: ∵x? A∩(B∪C)? x? A∧x? (B∪C) ? x? A∧(x? B∨x? C) |a|的越大,抛物线的开口程度越小,越靠近对称轴y轴,y随x增长(或下降)速度越快;? (x? A∧x? B)∨(x? A∧x? C)? x? (A∩B)∨x? A∩C? x? (A∩B)∪(A∩C) ∴A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C) 四、(10分)已知R和S是非空集合A上的等价关系,试证: 1)R∩S是A上的等价关系;2)对a∈A,[a]R 和三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆,内切圆的圆心叫做三角形的内心.=[a]R∩[a]S。 二次方程的两个实数根解: ? x∈A,因为R和S是自反关系,所以 ? x、y∈A,若 ? x、y、z∈A,若 定义: 在Rt△ABC中,锐角∠A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦,记作sinA,即;总之R∩S是等价关系。 2)因为x∈[a]R∩S? 104.30—5.6加与减 (二)2P57-60 x∈[a]R∧x∈[a]S? x∈[a]R∩[a]S所以[a]R∩S=[a]R∩[a]S。 五、(10分)设A={a,b,c,d},R是A上的二元关系,且R={,,, 解r(R)=R∪IA={,,, tanα1t(R)=? 六、(15分)设A、B、C、D是集合,f是A到B的双射,g是C到D的双射,令h: A×C? B×D且? 证明h是双射。 证明: 1)先证h是满射。 ? ∈B×D,则b∈B,d∈D,因为f是A到B的双射,g是C到D的双射,所以存在a∈A,c∈C,使得f(a)=b,f(c)=d,亦即存在∈A×C,使得h()= 2)再证h是单射。 ? 综合1)和2),h是双射。 七、(12分)设 H,则有a*b? H。 证明: ? ? a,b∈H有b∈H,所以a*b∈H。 ? ? a∈H,则e=a*a∈H
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