解工程问题必备公式.docx

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解工程问题必备公式

解工程问题必备公式

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网络文章作者：

奥数网整理2009-09-2116:

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　　【工程问题公式】

（1）一般公式：

　　工效×工时=工作总量；

　　工作总量÷工时=工效；

　　工作总量÷工效=工时。

（2）用假设工作总量为“1”的方法解工程问题的公式：

　　1÷工作时间=单位时间内完成工作总量的几分之几；

　　1÷单位时间能完成的几分之几=工作时间。

　　（注意：

用假设法解工程题，可任意假定工作总量为2、3、4、5……。

特别是假定工作总量为几个工作时间的最小公倍数时，分数工程问题可以转化为比较简单的整数工程问题，计算将变得比较简便。

）

工程问题的公式2

小学所有数学公式！

           1每份数×份数＝总数 

           总数÷每份数＝份数 

           总数÷份数＝每份数 

           21倍数×倍数＝几倍数 

           几倍数÷1倍数＝倍数 

           几倍数÷倍数＝1倍数 

           3速度×时间＝路程 

           路程÷速度＝时间 

           路程÷时间＝速度 

           4单价×数量＝总价 

           总价÷单价＝数量 

           总价÷数量＝单价 

           5工作效率×工作时间＝工作总量 

           工作总量÷工作效率＝工作时间 

           工作总量÷工作时间＝工作效率 

           6加数＋加数＝和 

           和－一个加数＝另一个加数 

           7被减数－减数＝差 

           被减数－差＝减数 

           差＋减数＝被减数 

           8因数×因数＝积 

           积÷一个因数＝另一个因数 

           9被除数÷除数＝商 

           被除数÷商＝除数 

           商×除数＝被除数 

小学数学图形计算公式 

           1正方形 

           C周长S面积a边长 

           周长＝边长×4 

           C=4a 

           面积=边长×边长 

           S=a×a 

           2正方体 

           V:

体积a:

棱长 

           表面积=棱长×棱长×6 

           S表=a×a×6 

           体积=棱长×棱长×棱长 

           V=a×a×a 

           3长方形 

           C周长S面积a边长 

           周长=（长+宽）×2 

           C=2（a+b） 

           面积=长×宽 

           S=ab 

           4长方体 

           V:

体积s:

面积a:

长b:

宽h:

高 

（1）表面积（长×宽+长×高+宽×高）×2 

           S=2（ab+ah+bh） 

（2）体积=长×宽×高 

           V=abh 

           5三角形 

           s面积a底h高 

           面积=底×高÷2 

           s=ah÷2 

           三角形高=面积×2÷底 

           三角形底=面积×2÷高 

           6平行四边形 

           s面积a底h高 

           面积=底×高 

           s=ah 

           7梯形 

           s面积a上底b下底h高 

           面积=（上底+下底）×高÷2 

           s=（a+b）×h÷2 

           8圆形 

           S面积C周长∏d=直径r=半径 

（1）周长=直径×∏=2×∏×半径 

           C=∏d=2∏r 

（2）面积=半径×半径×∏ 

           9圆柱体 

           v:

体积h:

高s;底面积r:

底面半径c:

底面周长 

（1）侧面积=底面周长×高 

（2）表面积=侧面积+底面积×2 

           （3）体积=底面积×高 

           （4）体积＝侧面积÷2×半径 

           10圆锥体 

           v:

体积h:

高s;底面积r:

底面半径 

           体积=底面积×高÷3 

           总数÷总份数＝平均数 

和差问题的公式 

           （和＋差）÷2＝大数 

           （和－差）÷2＝小数 

           和倍问题 

           和÷（倍数－1）＝小数 

           小数×倍数＝大数 

           （或者和－小数＝大数） 

           差倍问题 

           差÷（倍数－1）＝小数 

           小数×倍数＝大数 

           （或小数＋差＝大数） 

植树问题 

           1非封闭线路上的植树问题主要可分为以下三种情形:

           ⑴如果在非封闭线路的两端都要植树,那么:

           株数＝段数＋1＝全长÷株距－1 

           全长＝株距×（株数－1） 

           株距＝全长÷（株数－1） 

           ⑵如果在非封闭线路的一端要植树,另一端不要植树,那么:

           株数＝段数＝全长÷株距 

           全长＝株距×株数 

           株距＝全长÷株数 

           ⑶如果在非封闭线路的两端都不要植树,那么:

           株数＝段数－1＝全长÷株距－1 

           全长＝株距×（株数＋1） 

           株距＝全长÷（株数＋1） 

           2封闭线路上的植树问题的数量关系如下 

           株数＝段数＝全长÷株距 

           全长＝株距×株数 

           株距＝全长÷株数 

       盈亏问题 

           （盈＋亏）÷两次分配量之差＝参加分配的份数 

           （大盈－小盈）÷两次分配量之差＝参加分配的份数 

           （大亏－小亏）÷两次分配量之差＝参加分配的份数 

           相遇问题 

           相遇路程＝速度和×相遇时间 

           相遇时间＝相遇路程÷速度和 

           速度和＝相遇路程÷相遇时间 

           追及问题 

           追及距离＝速度差×追及时间 

           追及时间＝追及距离÷速度差 

           速度差＝追及距离÷追及时间 

           流水问题 

           顺流速度＝静水速度＋水流速度 

           逆流速度＝静水速度－水流速度 

           静水速度＝（顺流速度＋逆流速度）÷2 

           水流速度＝（顺流速度－逆流速度）÷2 

           浓度问题 

           溶质的重量＋溶剂的重量＝溶液的重量 

           溶质的重量÷溶液的重量×100%＝浓度 

           溶液的重量×浓度＝溶质的重量 

           溶质的重量÷浓度＝溶液的重量 

          利润与折扣问题 

           利润＝售出价－成本 

           利润率＝利润÷成本×100%＝（售出价÷成本－1）×100% 

           涨跌金额＝本金×涨跌百分比 

           折扣＝实际售价÷原售价×100%（折扣＜1＝ 

           利息＝本金×利率×时间 

           税后利息＝本金×利率×时间×（1－20%）

小学数学算式定律

           加法交换律：

a+b=b+a 

           加法结合律：

（a+b）+c=a+（b+c） 

           乘法交换律：

a×b=b×a 

           乘法结合律：

（a×b）×c=a×（b×c） 

           乘法分配律：

（a+b）×c=a×c+b×c 

           减法的运算性质:

a-b-c=a-（b+c） 

           除法的运算定律:

a÷b÷c=a÷（b×c） 

长度单位换算 

           1千米=1000米1米=10分米 

           1分米=10厘米1米=100厘米 

           1厘米=10毫米 

           面积单位换算 

           1平方千米=100公顷 

           1公顷=10000平方米 

           1平方米=100平方分米 

           1平方分米=100平方厘米 

           1平方厘米=100平方毫米 

           体（容）积单位换算 

           1立方米=1000立方分米 

           1立方分米=1000立方厘米 

           1立方分米=1升 

           1立方厘米=1毫升 

           1立方米=1000升 

           重量单位换算 

           1吨=1000千克 

           1千克=1000克 

           1千克=1公斤 

           人民币单位换算 

           1元=10角 

           1角=10分 

           1元=100分 

           时间单位换算 

           1世纪=100年1年=12月 

           大月（31天）有:

1\3\5\7\8\10\12月 

           小月（30天）的有:

4\6\9\11月 

           平年2月28天,闰年2月29天 

           平年全年365天,闰年全年366天 

           1日=24小时1时=60分 

           1分=60秒1时=3600秒

在日常生活中，做某一件事，制造某种产品，完成某项任务，完成某项工程等等，都要涉及到工作量、工作效率、工作时间这三个量，它们之间的基本数量关系是

 工作量=工作效率×时间.

 在小学数学中，探讨这三个数量之间关系的应用题，我们都叫做“工程问题”.

 举一个简单例子.

 1]一件工作，甲做10天可完成，乙做15天可完成.问两人合作几天可以完成？

 一件工作看成1个整体，因此可以把工作量算作1.所谓工作效率，就是单位时间内完成的工作量，我们用的时间单位是“天”，1天就是一个单位，

  再根据基本数量关系式，得到所需时间=工作量÷工作效率=6（天）•

 两人合作需要6天.

 这是工程问题中最基本的问题，这一讲介绍的许多例子都是从这一问题发展产生的.

 为了计算整数化（尽可能用整数进行计算），如第三讲例3和例8所用方法，把工作量多设份额.还是上题，10与15的最小公倍数是30.设全部工作量为30份.那么甲每天完成3份，乙每天完成2份.两人合作所需天数是

 30÷（3+2）=6（天）

 数计算，就方便些.

 ∶2.或者说“工作量固定，工作效率与时间成反比例”.甲、乙工作效率的比是15∶10=3∶2.当知道了两者工作效率之比，从比例角度考虑问题，也

 需时间是

 因此，在下面例题的讲述中，不完全采用通常教科书中“把工作量设为整体1”的做法，而偏重于“整数化”或“从比例角度出发”，也许会使我们的解题思路更灵活一些.

一、两个人的问题

 标题上说的“两个人”，也可以是两个组、两个队等等的两个集体.

 例1一件工作，甲做9天可以完成，乙做6天可以完成.现在甲先做了3天，余下的工作由乙继续完成.乙需要做几天可以完成全部工作？

 答：

乙需要做4天可完成全部工作.

 解二：

9与6的最小公倍数是18.设全部工作量是18份.甲每天完成2份，乙每天完成3份.乙完成余下工作所需时间是

 （18-2×3）÷3=4（天）.

 解三：

甲与乙的工作效率之比是

 6∶9=2∶3.

 甲做了3天，相当于乙做了2天.乙完成余下工作所需时间是6-2=4（天）.

 例2一件工作，甲、乙两人合作30天可以完成，共同做了6天后，甲离开了，由乙继续做了40天才完成.如果这件工作由甲或乙单独完成各需要多少天？

 解：

共做了6天后，

 原来，甲做24天，乙做24天，

 现在，甲做0天，乙做40=（24+16）天.

 这说明原来甲24天做的工作，可由乙做16天来代替.因此甲的工作效率

 如果乙独做，所需时间是

 如果甲独做，所需时间是

 答：

甲或乙独做所需时间分别是75天和50天.

 例3某工程先由甲独做63天，再由乙单独做28天即可完成；如果由甲、乙两人合作，需48天完成.现在甲先单独做42天，然后再由乙来单独完成，那么乙还需要做多少天？

 解：

先对比如下：

 甲做63天，乙做28天；

 甲做48天，乙做48天.

 就知道甲少做63-48=15（天），乙要多做48-28=20（天），由此得出甲的

 甲先单独做42天，比63天少做了63-42=21（天），相当于乙要做

 因此，乙还要做

 28+28=56（天）.

 答：

乙还需要做56天.

 例4一件工程，甲队单独做10天完成，乙队单独做30天完成.现在两队合作，其间甲队休息了2天，乙队休息了8天（不存在两队同一天休息）.问开始到完工共用了多少天时间？

 解一：

甲队单独做8天，乙队单独做2天，共完成工作量

 余下的工作量是两队共同合作的，需要的天数是

 2+8+1=11（天）.

 答：

从开始到完工共用了11天.

 解二：

设全部工作量为30份.甲每天完成3份，乙每天完成1份.在甲队单独做8天，乙队单独做2天之后，还需两队合作

 （30-3×8-1×2）÷（3+1）=1（天）.

 解三：

甲队做1天相当于乙队做3天.

 在甲队单独做8天后，还余下（甲队）10-8=2（天）工作量.相当于乙队要做2×3=6（天）.乙队单独做2天后，还余下（乙队）6-2=4（天）工作量.

 4=3+1，

 其中3天可由甲队1天完成，因此两队只需再合作1天.

 例5一项工程，甲队单独做20天完成，乙队单独做30天完成.现在他们两队一起做，其间甲队休息了3天，乙队休息了若干天.从开始到完成共用了16天.问乙队休息了多少天？

解一：

如果16天两队都不休息，可以完成的工作量是

 由于两队休息期间未做的工作量是

 乙队休息期间未做的工作量是

 乙队休息的天数是

 答：

乙队休息了5天半.

 解二：

设全部工作量为60份.甲每天完成3份，乙每天完成2份.

 两队休息期间未做的工作量是

 （3+2）×16-60=20（份）.

 因此乙休息天数是

 （20-3×3）÷2=5.5（天）.

 解三：

甲队做2天，相当于乙队做3天.

 甲队休息3天，相当于乙队休息4.5天.

 如果甲队16天都不休息，只余下甲队4天工作量，相当于乙队6天工作量，乙休息天数是

 16-6-4.5=5.5（天）.

 例6有甲、乙两项工作，张单独完成甲工作要10天，单独完成乙工作要15天；李单独完成甲工作要8天，单独完成乙工作要20天.如果每项工作都可以由两人合作，那么这两项工作都完成最少需要多少天？

 解：

很明显，李做甲工作的工作效率高，张做乙工作的工作效率高.因此让李先做甲，张先做乙.

 设乙的工作量为60份（15与20的最小公倍数），张每天完成4份，李每天完成3份.

 8天，李就能完成甲工作.此时张还余下乙工作（60-4×8）份.由张、李合作需要

 （60-4×8）÷（4+3）=4（天）.

 8+4=12（天）.

 答：

这两项工作都完成最少需要12天.

 例7一项工程，甲独做需10天，乙独做需15天，如果两人合作，他 要8天完成这项工程，两合  作  天   数尽可能少，那么两人要合作多少天？

 解：

设这项工程的工作量为30份，甲每天完成3份，乙每天完成2份.

 两人合作，共完成

 3×0.8+2×0.9=4.2（份）.

 因为两人合作天数要尽可能少，独做的应是工作效率较高的甲.因为要在8天内完成，所以两人合作的天数是

 （30-3×8）÷（4.2-3）=5（天）.

 很明显，最后转化成“鸡兔同笼”型问题.

 例8甲、乙合作一件工作，由于配合得好，甲的工作效率比单独做时

      如果这件工作始终由甲一人单独来做，需要多少小时？

 解：

乙6小时单独工作完成的工作量是

 乙每小时完成的工作量是

 两人合作6小时，甲完成的工作量是

 甲单独做时每小时完成的工作量

 甲单独做这件工作需要的时间是

 答：

甲单独完成这件工作需要33小时.

 这一节的多数例题都进行了“整数化”的处理.但是，“整数化”并不能使所有工程问题的计算简便.例8就是如此.例8也可以整数化，当求出乙每

 有一点方便，但好处不大.不必多此一举.

二、多人的工程问题

 我们说的多人，至少有3个人，当然多人问题要比2人问题复杂一些，但是解题的基本思路还是差不多.

  例9一件工作，甲、乙两人合作36天完成，乙、丙两人合作45天完成，甲、丙两人合作要60天完成.问甲一人独做需要多少天完成？

 解：

设这件工作的工作量是1.

 甲、乙、丙三人合作每天完成

 减去乙、丙两人每天完成的工作量，甲每天完成

 答：

甲一人独做需要90天完成.

 例9也可以整数化，设全部工作量为180份，甲、乙合作每天完成5份，乙、丙合作每天完成4份，甲、丙合作每天完成3份.请试一试，计算是否会方便些？

 例10一件工作，甲独做要12天，乙独做要18天，丙独做要24天.这件工作由甲先做了若干天，然后由乙接着做，乙做的天数是甲做的天数的3倍，再由丙接着做，丙做的天数是乙做的天数的2倍，终于做完了这件工作.问总共用了多少天？

 解：

甲做1天，乙就做3天，丙就做3×2=6（天）.

 说明甲做了2天，乙做了2×3=6（天），丙做2×6=12（天），三人一共做了

 2+6+12=20（天）.

 答：

完成这项工作用了20天.

 本题整数化会带来计算上的方便.12，18，24这三数有一个易求出的最小公倍数72.可设全部工作量为72.甲每天完成6，乙每天完成4，丙每天完成3.总共用了

 例11一项工程，甲、乙、丙三人合作需要13天完成.如果丙休息2天，乙就要多做4天，或者由甲、乙两人合作1天.问这项工程由甲独做需要多少天？

 解：

丙2天的工作量，相当乙4天的工作量.丙的工作效率是乙的工作效率的4÷2=2（倍），甲、乙合作1天，与乙做4天一样.也就是甲做1天，相当于乙做3天，甲的工作效率是乙的工作效率的3倍.

 他们共同做13天的工作量，由甲单独完成，甲需要

 答：

甲独做需要26天.

 事实上，当我们算出甲、乙、丙三人工作效率之比是3∶2∶1，就知甲做1天，相当于乙、丙合作1天.三人合作需13天，其中乙、丙两人完成的工作量，可转化为甲再做13天来完成.

 例12某项工作，甲组3人8天能完成工作，乙组4人7天也能完成工作.问甲组2人和乙组7人合作多少时间能完成这项工作？

 解一：

设这项工作的工作量是1.

 甲组每人每天能完成

 乙组每人每天能完成

 甲组2人和乙组7人每天能完成

 答：

合作3天能完成这项工作.

 解二：

甲组3人8天能完成，因此2人12天能完成；乙组4人7天能完成，因此7人4天能完成.

 现在已不需顾及人数，问题转化为：

 甲组独做12天，乙组独做4天，问合作几天完成？

 小学算术要充分利用给出数据的特殊性.解二是比例灵活运用的典型，如果你心算较好，很快就能得出答数.

 例13制作一批零件，甲车间要10天完成，如果甲车间与乙车间一起做只要6天就能完成.乙车间与丙车间一起做，需要8天才能完成.现在三个车间一起做，完成后发现甲车间比乙车间多制作零件2400个.问丙车间制作了多少个零件？

 解一：

仍设总工作量为1.

 甲每天比乙多完成

 因此这批零件的总数是

 丙车间制作的零件数目是

 答：

丙车间制作了4200个零件.

 解二：

10与6最小公倍数是30.设制作零件全部工作量为30份.甲每天完成3份，甲、乙一起每天完成5份，由此得出乙每天完成2份.

 乙、丙一起，8天完成.乙完成8×2=16（份），丙完成30-16=14（份），就知

 乙、丙工作效率之比是16∶14=8∶7.

 已知

 甲、乙工作效率之比是3∶2=12∶8.

 综合一起，甲、乙、丙三人工作效率之比是

 12∶8∶7.

 当三个车间一起做时，丙制作的零件个数是

 2400÷（12-8）×7=4200（个）.

 例14搬运一个仓库的货物，甲需要10小时，乙需要12小时，丙需要15小时.有同样的仓库A和B，甲在A仓库、乙在B仓库同时开始搬运货物，丙开始帮助甲搬运，中途又转向帮助乙搬运.最后两个仓库货物同时搬完.问丙帮助甲、乙各多少时间？

解：

设搬运一个仓库的货物的工作量是1.现在相当于三人共同完成工作量2，所需时间是

 答：

丙帮助甲搬运3小时，帮助乙搬运5小时.

 解本题的关键，是先算出三人共同搬运两个仓库的时间.本题计算当然也可以整数化，设搬运一个仓库全部工作量为60.甲每小时搬运6，乙每小时搬运5，丙每小时搬运4.

 三人共同搬