向量与三角函数综合试题.docx
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向量与三角函数综合试题
向量与三角函数综合试题
1.已知向量a、b满足b·(a-b)=0,且|a|=2|b|,则向量a+2b与a的夹角为(D)
A.B.C.D.
2.已知向量,,其中.若,则当恒成立时实数的取值范围是( B )
A.或B.或
C.D.
3.已知O为原点,点P(x,y)在单位圆x2+y2=1上,点Q(2cos,2sin),且=(,-),则·的值是( A )
A.B.C.2D.
4.,则||的最小值是B
A.B.C.1D.
5.如图,△ABC中,AB=4,AC=4,∠BAC=60°,延长CB到D,使,当E点在线段AD上移动时,若的最大值是(C)
A.1B.C.3D.
6.已知向量,向量,向量,则向量与向量的夹角的取值范围是(D)
A.B.C.D.
7.已知向量,实数满足,则的最小值为( D )
A.B.1C.D.
8.如图,BC是单位圆A的一条直径,F是线段AB上的点,且,
若DE是圆A中绕圆心A运动的一条直径,则的值是(B)B.)( )
A.B.C.D.不确定
9.已知三点的坐标分别是,,,,若,则的值为(B)
A.B.C.2D.
10.在平行四边形ABCD中,AD=1,∠BAD=60°,E为CD的中点.若•=1,则AB的长为( C )
A.B.C.D.1
解:
如图:
∵四边形ABCD为平行四边形,∴,,
∴==
==,
∴.∵,∴.∴AB的长为.
11.已知向量,向量,则的最大值是2.
12.已知且,是钝角,若的最小值为,则的最小值是。
13.给定两个长度为1的平面向量和,它们的夹角为.
如图所示,点C在以O为圆心的圆弧上变动.
若其中,则
的最大值是________.2
14.已知向量,实数满足则的最大值为16
15.在平行四边形已知,点的中点,点在上运动(包括端点),则的取值范围是.[,1]
16.在△ABC中,,是边上任意一点(与不重合),
且,则等于.
17.已知O为锐角△ABC的外心,AB=6,AC=10,=x+y,且2x+10y=5,则边BC的长为 4 .
解:
分别取AB,AC的中点为D,E,并连接OD,OE,根据条件有:
OD⊥AB,OE⊥AC;
在Rt△OAD中,cos∠OAD===;
∴=;
同理可得,;
∴=36x+60ycos∠BAC①
=60xcos∠BAC+100y②
又2x+10y=5③
∴由①②③解得cos∠BAC=;
由余弦定理得:
,∴BC=.
故答案为:
.
18.已知向量=(cosA,﹣sinA),=(cosB,sinB),•=cos2C,其中A、B、C为△ABC的内角.
(Ⅰ)求角C的大小(Ⅱ)若AB=6,且,求AC、BC的长.
解:
(Ⅰ)∵=(cosA,﹣sinA),=(cosB,sinB),
∴•=cos2C,即cosAcosB﹣sinAsinB=cos(A+B)=﹣cosC=cos2C,…(2分)
化简得:
2cos2C+cosC﹣1=0,…(4分)
故cosC=(cosC=﹣1舍去)
∵C∈(0,π),∴C=.…(7分)
(Ⅱ)∵,∴•cos=36,即•=36.①…(9分)
由余弦定理得AB2=AC2+BC2﹣2AC•BCcos60°=36,
化简得:
AC+BC=12②…(12分)
联解①②,可得AC=BC=6.
19.已知向量,向量与向量的夹角为,且.
(1)求向量;
(2)若向量与共线,向量,其中A、C为△ABC的内角,且A、B、C依次成等差数列,求的取值范围.
解:
(1)设.由,得x+y=﹣1①
又向量与向量的夹角为得=,即x2+y2=1②
由①、②解得或,
∴或.…(5分)
(2)结合
(1)由向量与共线知;
由A、B、C依次成等差数列知.…(7分)
∴,
∴=
=.…(10分)
∵,
∴,∴,
∴,∴.…(12分)
20.已知向量=(sin2x+2,cosx),=(1,2cosx),设函数f(x)=•﹣3.(Ⅰ)求函数f(x)的最小正周期;(Ⅱ)在△ABC中,a、b、c分别是角A、B、C的对边,若f(A)=1,a=且b+c=3,求△ABC的面积.
解:
(Ⅰ)∵向量=(sin2x+2,cosx),=(1,2cosx),
∴函数f(x)=•﹣3
=﹣3
==.
故函数f(x)的最小正周期.
(Ⅱ)由f(A)=1得,,即=.
∵0<A<π,∴,
∴=,解得A=.
由余弦定理得:
a2=b2+c2﹣2abcosA=(b+c)2﹣3bc,
∵a=且b+c=3,
∴3=32﹣3bc,解得bc=2.
∴==.
21.已知△ABC的面积为S,且.
(1)求tan2A的值;
(2)若,,求△ABC的面积S.
解:
(1)设△ABC的角A,B,C所对应的边分别为a,b,c.
∵,∴,…(2分)
∴,∴tanA=2.…(4分)
∴.…(5分)
(2),即,…(6分)
∵tanA=2,∴…(7分),
∴,
解得.…(9分)
∴sinC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB=.…(11分)
由正弦定理知:
,可推得…(13分)
∴.…(14分)
22.设平面向量,若存在实数和角,其中,使向量,且.
(1).求的关系式;
(2).若,求的最小值,并求出此时的值.
解:
(1)∵,且,∴
∴
(2)设,又∵,∴,则
令得(舍去)
∴时,时,∴时,即时,
为极小值也是最小值,最小值为.
23.设向量,,其中
(1)求的最大值和最小值;
(2)若,求实数k的取值范围.
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