定积分的应用教案.docx
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定积分的应用教案.docx
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定积分的应用教案
课题
《7.4定积分的应用》
课型
新授
课时
2
教学目标
1、巩固定积分的几何意义及计算;
2、掌握用定积分求直角坐标系下平面图形的面积的方法;
3、综合运用知识分析解决问题,培养学生思维能力和应用数学意识。
教学
重点
难点
重点:
应用定积分解决平面图形的面积,体会定积分的价值。
难点:
如何选择积分变量,确定被积函数。
教学
方法
讲练法,行为引导法,讨论分析法,分层教学法。
教学过程
教学程序
师生活动
设计意图
情
景导入
复习提问
展示周庄的拱桥图片,讲述古代数学家的
故事及伟大发现:
拱形的面积
【课件展示】拱桥图片
问:
桥拱的面积如何求解呢?
答:
……
【学生活动】本环节安排学生讨论,自主发现解决问题方向一一定积分跟面积的关系
1、定积分的概念、几何意义是什么?
.
2、定积分的计算方法有哪些?
【学生训练】练习一
1.计算%x2dx2.计算
设下悬念,以激发学生的探索激情,为后面作开启性的铺垫。
复习定积分
【教师简单点评】探索到的结论一定可行吗?
于尝试、敢
于创新的精
这就需要通过实践来检验。
神。
【例题实践】例1.
2
计算由曲线yx与
2
yx所围图形的面积.
【师生活动】探究解法的过程.
1•找到图形----画图得到曲边形.
巩固了学生
2.曲边形面积解法---
-转化为曲边梯形,做出
的作图能
教
新
辅助线3.定积分表示曲边梯形面积----确定积
力,在寻找
学
课
分区间、被积函数.
曲边梯形的
过
讲
4.计算定积分.
过程中提高
【板书】根据师生探究的思路板书主要分析过
了学生的想
程
授
程
象能力。
解:
作出草图,所求面积为图中阴影部分的面
积.'」
k
0A卡
兀成了般
-1O
<1x
理论和具体
-1
问题的有机
结合,初步
达到了识记
教学过程
新
课
讲
授
【得出结论】定积分表示曲边梯形面积的两种类型.
【板书】配合学生探究的进展书写推理的过程.
【课件展示】
图1选择X为积分变量,曲边梯形面积为
bb
Af1(x)dxf2(x)dx
aa
图2选择丫为积分变量,曲边梯形面积为
bb
Af2(y)dyfi(y)dy
aa
【例题实践】例2.计算由yx4与y22x所围图形的面积.
【师生活动】讨论探究解法的过程(同例1)
【板书】根据师生探究的思路板书重要分析过程.
【课件展示】解答过程解:
作出草图,所求面积为图中阴影部分的面积
使学生懂得如何灵活选择积分变量,确定被积函数,通过该题突破教学难点。
2
yx
解方程组2得到交点坐标为(2,-2)及
yx
(8,4)
选y为积分变量
1412
S(28)6ydy18
222
【抽象归纳】(三)解由曲线所围的平面图形面积的解题步骤
【学生活动】学生根据例题探究的过程来归纳
【教师点评】帮助学生修改、提炼,强调注意选择y型积分变量时,要把函数变形成用y表
示x的函数.
【课件展示】解由曲线所围的平面图形面积的解题步骤:
1.画草图,求出曲线的交点坐标.
2.将曲边形面积转化为曲边梯形面积.
教学过程
成
果
展
示
同学把自
己的成果
展示给大
A1A2
通过学生做这题体现分层教育法,使不同层次的学生都有不同的提
o4cosxdx
o4sinxdx
A2sinxdx2cosxdx
44
【师生活动】解答思路清晰,表达正确
问:
此题还有其他解法吗?
答:
AA2所以只算一个A,取2倍就可
以了.
教
师
点
八、、
评
教学过程
个别提问
做的漂亮,解题时要注意发现题目的特征,联系我们以前的知识将问题化简后再解答,提高效率.
22
【例题实践】例3.求椭圆£缶1(a0,b0)所围成的面积
【学生活动】学生独立思考.
请一位同学讲解这道题目
【课件展示】解题步骤
应
用
提
升
如图,一桥拱的形
b
常数h,
宽为常数b.
求抛物线拱的面积
师生活动
探究解题方法
1•建立平面直角坐标系确定抛物线方程
2.求由曲线围成的平面图形面积的解题步骤
巩固解题方法,锻炼发散思维
把本节课的探究活动推向咼潮,解决了前面设下的悬念的同时,实现
问:
如何建立平面直角坐
了生活中的
教师点八、、评
实际问题与
抽象数学的
完美结合。
教学过程
互
动
小
结
答:
以抛物线的顶点为坐标原点建立坐标
系.
【学生活动】学生独立求解
抛物线方程.
投影学生练习
如图建立平面直角坐标系,可设抛物线方
2
yax(a0),
代抛物线上一点(£,h)入方程,
则有ha(y解得a誥,所以抛物线方
程为y4?
x2.b
在投影中与全班同学一起点评学生的练习
巩固定积分解题的基本方法和步骤。
作业布置
【师生活动】探究、并在投影中完成该题
问:
所求图形有什么特点?
答:
左右对称;可以解答一半取2倍.
【成果展示】在黑板上与学生共同完成设一半
b-4h2
的面积为S,则有2s2-h02(「x2)dx
20b
2bh(驾乂胡……2bh
23b2103
问:
本节课我们做了什么探究活动呢?
答:
用定积分解曲边形面积。
问:
如何用定积分解决曲边形面积问题
呢?
答:
1.画草图,求出曲线的交点坐标.
2.将曲边形面积转化为曲边梯形面积.
3.根据图形特点选择适当的积分变
量.(注意选择y型积分变量时,要把函数变形
成用y表示x的函数)
4.确定被积函数和积分区间.
5.计算定积分,求出面积.
问:
解答曲线所围的平面图形面积时须注
意什么问题?
答:
选择最优化的积分变量;根据图形特
点选择最优化的解题方法.
问:
体会到什么样的数学研究思路及方法
呢?
答:
从问题出发,联系相关知识,探究出
解决问题的思路,通过实践的检验得到一般方
法,通过练习巩固,通过应用提升。
课本P1631.2(1、2、5、6、)
【课外思考】
有一水沟,沟沿是两条长100米的平行线段,沟宽2米,与沟沿垂直平面沟的交线是一条抛物线,顶点为0点,对称轴与地面垂直,沟深为1.5米,水深1米,问:
沟中的水有多少立方米?
提问式的课堂小结,目的在于调动
学生积极参与梳理知识的过程,培养学生在探究之后整合知识的能力。
作业即是探究活动的一
种延续。
给学生留出空间,开阔思路,培养学生应用数学解决实际问题的能力。
教学
反思
定积分的发展经过了几百年的历史,所以学生在短短的两节课能加以熟练应用比较困难,所以新课讲授开始,首先课件动画展示曲线围城的面积,让学生探究由曲线所围图形的面积,通过动画演示得出用定积分表式计算公式,突出本节课的重点。
即:
面积计算公式,接着用例题巩固公式,示范板书过程后,用动画演示,如何再求面积这样加强图形的直观性,方便学生对知识的掌握。
针对不同形状的图形选择合理的积分变量,分析讨论得出两种形式。
说明选择积分变量存在合理性学生在做题的过程中也能体会到选用哪种积分变量方便解题,从而突破本节课的难点。
通过上面几个例题的分析、实践,学生都得到了一些解题心得,及时指导学生抽象归纳,最后课件展示结果,培养学生的归纳综合能力。
为了体现分层教学法特意补充了一道应用提升题把本节课的探究活动推向高潮,解决了前面设下的悬念,同时体现了生活中的实际问题与抽象数学的完美结合。
最后是互动小节,一问一答让学生轻松活泼的整理本次课所学的知识,除了书上面的练习,特补充了两道(一道为必做题,另一道为选做题)让学有余力的学生有更大的发展。
最后布置课后思考题给学生留出空间,开阔思路,培养学生应用数学意识。
从而更好的培养了学生的数学应用能力,加强了与其他专业课的学习的联系,所教的两个班级课堂听课效果、反映良好,课后需要加强练习和巩固。
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- 关 键 词:
- 积分 应用 教案