高三直线与圆的最值问题.docx
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高三直线与圆的最值问题
辅导讲义
学员编号:
年级:
高三课时数:
3
学员姓名:
辅导科目:
数学学科教师:
授课类型
T长度面积和数形结合最值
T参量取值及向量结合
T能力提升
授课日期及时段
教学内容
知识梳理
直线与圆中的最值问题主要包含两个方面
1.参量的取值范围
由直线和圆的位置关系或几何特征,引起的参量如k,b,r的值变化.此类问题主要是根据几何特征建立关于参量的不等式或函数.
2.长度和面积的最值
由于直线或圆的运动,引起的长度或面积的值变化.此类问题主要是建立关于参数如k或b,r的函数,运用函数或基本不等式求最值.
1、专题精讲
题型1有关长度的最小值
直线与圆中有关长度的问题主要包括直线被坐标轴截得的长度、弦长、切线长等.其中弦长、切线长都可以与半径构造直角三角形来求解.
例1:
(1)如图24-1,已知圆x2+y2=1的一条切线与x轴、y轴分别交于点A、B,则线段AB长度的最小值为________.
(2)直线ax+by=1与圆x2+y2=1相交于A,B两点(其中a,b是实数),且△AOB是直角三角形(O是坐标原点),则点P(a,b)与点(0,1)之间距离的最大值为________.
(1)2
(2)+1 【解析】
(1)设切点为D,∠OAD=α,则连结OD知OD⊥AB,从而得到AD==,BD==,所以线段AB=+,故线段AB长度的最小值为2.
(2)由题意知,圆心(0,0)到直线ax+by=1的距离为=,解得2a2+b2=2,所以点P(a,b)与点(0,1)之间距离为==,因为-≤b≤,所以当b=-时,点P(a,b)与点(0,1)之间距离取得最大值为=+1.
例2:
(2012·扬州中学质检(三))已知⊙C:
x2+(y-1)2=1和直线l:
y=-1,由⊙C外一点P(a,b)向⊙C引切线PQ,切点为Q,且满足PQ等于P到直线l的距离.
(1)求实数a,b满足的关系式;
(2)设M为⊙C上一点,求线段PM长的最小值;
(3)当P在x轴上时,在l上求一点R,使得|CR-PR|最大.
解
(1)过P作PH⊥l于H,
则由题意可得PQ=,PH=|b+1|.
因为PQ=PH,所以=|b+1|,
即a2+(b-1)2-1=(b+1)2,
整理,得a,b满足的关系式是a2=4b+1.
(2)由平面几何可知,当PC最小时线段PC与⊙C交于M,此时PM的值最小.
因为PC===
=,且b=a2-≥-,
所以当b=-时,PCmin=,此时PMmin=PCmin-1=.
(3)因为a2=4b+1,令b=0,得a=±1.
由题意知P1(1,0),P2(-1,0).由平面几何可知,当R为直线CP与直线l的交点时,|CR-PR|取最大值.
因为直线CP1方程为y=-x+1,直线CP2方程为y=x+1.所以由解得
由解得
故当点P的坐标为(1,0)时,点R的坐标为(2,-1);当点P的坐标为(-1,0)时,点R的坐标为(-2,-1).
例3:
(2012·南通、泰州、扬州三市调研
(二))若动点P在直线l1:
x-y-2=0上,动点Q在直线l2:
x-y-6=0上,设线段PQ的中点为M(x0,y0),且(x0-2)2+(y0+2)2≤8,则x+y的取值范围是________.
解析
因为l1∥l2,所以点M(x0,y0)在直线x-y-=0,即x-y-4=0上运动,此直线在圆面(x-2)2+(y+2)2≤8内为线段AB,原点O到线段AB上任一点距离的范围是[|OC|,|OA|或|OB|],即为[2,4],所以x+y的取值范围是[8,16].
答案 [8,16]
例4:
(2012·南通模拟)若圆C:
(x-a)2+(y-1)2=1在不等式x+y+1≥0所表示的平面区域内,则a的最小值为________.
解析 由题意,得
解得a≥-2.
答案 -2
题型2与面积有关的最值
直线与圆中的面积问题主要指的是由直线与坐标轴形成的三角形、直线与圆形成的多边形及动圆的面积.
例1:
已知圆C通过不同的三点P(m,0)、Q(2,0)、R(0,1),且CP的斜率为-1.
(1)试求⊙C的方程;
(2)过原点O作两条互相垂直的直线l1,l2,l1交⊙C于E,F两点,l2交⊙C于G,H两点,求四边形EGFH面积的最大值.
【解答】
(1)设圆C的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0,
则C点的坐标为,且PC的斜率为-1,
因为圆C通过不同的三点P(m,0),Q(2,0),R(0,1),
所以有解得
所以圆C的方程为x2+y2+x+5y-6=0..
(2)圆心C,设圆心C到l1,l2的距离分别为d1,d2,
则d+d=OC2=,
又2+d=R2,2+d=R2,
两式相加,得EF2+GH2=74≥2EF·GH,
∴S=EF·GH≤,即(S四边形EFGH)max=.
例2:
(2012·北京师大附中检测)已知P是直线3x+4y+8=0上的动点,PA、PB是圆x2+y2-2x-2y+1=0的切线,A、B是切点,C是圆心,那么四边形PACB面积的最小值是________.
解析 如图所示,由题意,圆x2+y2-2x-2y+1=0的圆心是C(1,1),半径为1,由PA=PB易知四边形PACB的面积=(PA+PB)=PA,故PA最小时,四边形PACB的面积最小.由于PA=,故PC最小时PA最小,此时CP垂直于直线3x+4y+8=0,P为垂足,
PC==3,PA==2,所以四边形PACB面积的最小值是2.
答案 2
例3:
(苏州市2011届高三调研测试)在平面直角坐标系中,点是第一象限内曲线上的一个动点,点处的切线与两个坐标轴交于两点,则的面积的最小值为▲.
【解析】设切点为,则切线的斜率,切线方程为,,所以
例4:
在圆x2+y2-2x-6y=0内,过点E(0,1)的最长弦和最短弦分别为AC和BD,则四边形ABCD的面积为________.
解析:
圆的方程化为标准形式为(x-1)2+(y-3)2=10,由圆的性质可知最长弦AC=2,最短弦BD恰以E(0,1)为中点,设点F为其圆心,坐标为(1,3).
故EF=,∴BD=2=2,
∴S四边形ABCD=AC·BD=10.
答案:
10
例5:
已知A(-2,0),B(0,2),M,N是圆x2+y2+kx=0(k是常数)上的两个不同的点,P是圆上的动点,如果M,N两点关于直线x-y-1=0对称,则△PAB面积的最大值是________.
解析:
因为M,N关于直线x-y-1=0对称,故圆心在直线x-y-1=0上,则--1=0,解得k=-2,则圆的方程为(x-1)2+y2=1.又直线AB的方程为x-y+2=0,则圆心(1,0)到直线AB的距离为d==.所以圆上的点到直线AB的最大距离为1+,所以△PAB面积的最大值为S=×|AB|×=×2×=3+.
答案:
3+
题型3数形结合之最值
例1:
已知复数的最大值为.。
解析:
由可知,z2对应的点在以(0,0)为圆心,以2为半径的圆上,
而
表示复数对应的点的距离,
结合图形,易知,此距离的最大值为:
例2:
若直线与曲线有两个不同的交点,则实数m的取值范围是___________。
答案:
解析:
y=x-m表示倾角为45°,纵截距为-m的直线方程,而则表示以(0,0)为圆心,以1为半径的圆在x轴上方的部分(包括圆与x轴的交点),如下图所示,显然,欲使直线与半圆有两个不同交点,只需直线的纵截距,即。
例3:
设实数x,y满足|x|+|y|<1,则x/(y-3)的取值范围。
解析:
令k=x/(y-3)可看做过定点(0,3)的直线斜率的倒数.
|x|+|y|<1所组成的图形是以(1,0),(-1,0),(0,1),(0,-1)为顶点的正方形.
直线过(1,0),k=(3-0)/(0-1)=-3;过(-1,0)时k=3.
则x/(y-3)的取值范围(,0)∪(0,).
二、专题过关
检测题1:
已知实数x,y满足则点(x,y)到圆(x+2)2+(y-6)2=1上点的距离的最小值是________.
答案 4-1
检测题2:
已知x,y满足x2+y2-4x-6y+12=0,则x2+y2最小值为________.
解析 法一 点(x,y)在圆(x-2)2+(y-3)2=1上,故点(x,y)到原点距离的平方即x2+y2最小值为(-1)2=14-2.
法二 设圆的参数方程为则x2+y2=14+4cosα+6sinα,所以x2+y2的最小值为14-=14-2.
答案 14-2
检测题3:
直线ax+by=1与圆x2+y2=1相交于A,B两点(其中a,b是实数),且△AOB是直角三角形(O是坐标原点),则点P(a,b)与点(0,1)之间的距离的最大值为________.
解析 △AOB是直角三角形等价于圆心(0,0)到直线ax+by=1的距离等于,由点到直线的距离公式,得=,即2a2+b2=2,即a2=1-且b∈[-,].点P(a,b)与点(0,1)之间的距离为d==,因此当b=-时,d取最大值,此时dmax==+1.
答案 +1
检测题4:
(2013·南京29中模拟)过圆x2+y2=1上一点作圆的切线与x轴、y轴的正半轴交于A、B两点,则AB的最小值为________.
解析 设圆上的点为(x0,y0),其中x0>0,y0>0,切线方程为x0x+y0y=1,分别令x=0,y=0,得A、B,所以AB==≥2.
答案 2
检测题5:
(江苏省2013届高三第三次调研测试数学试卷)在平面直角坐标系中,设点为圆:
上的任意一点,点(2,)(),则线段长度的最小值为______.
答案:
三、学法提炼
1、专题特点:
考查学生的问题转化能力,重点利用函数的封闭性和参数的取值范围,数形结合的方法确定有关的最值问题。
2、解题方法:
(1)形如u=的最值问题,可转化为定点(a,b)与圆上的动点(x,y)的斜率的最值问题;
(2)形如t=ax+by的最值问题,可转化为动直线的截距的最值问题;
(3)形如(x-a)2+(y-b)2的最值问题,可转化为动点到定点的距离的最值问题.
3、注意事项:
数形结合时要考虑方程变量的范围对图像的影响;换元时要注意等量代换;参数引入要考虑取值范围。
一、专题精讲
题型1:
参数的取值范围
动直线和动圆中都会带有参量,此时由于直线和圆的运用,会带来参量取值变化,利用几何特征建立关于参量的不等式或函数来求解.
例1:
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- 关 键 词:
- 直线 问题