高考数学复习同步练习 第6讲 幂函数与二次函数.docx
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高考数学复习同步练习第6讲幂函数与二次函数
第6讲幂函数与二次函数
一、选择题
1.已知幂函数y=f(x)的图像经过点,则f
(2)=( )
A. B.4
C.D.
解析设f(x)=xα,因为图像过点,代入解析式得:
α=-,∴f
(2)=2-=.
答案C
2.若函数f(x)是幂函数,且满足=3,则f()的值为( )
A.-3B.-
C.3D.
解析设f(x)=xα,则由=3,得=3.
∴2α=3,∴f()=()α==.
答案D
3.已知函数f(x)=ex-1,g(x)=-x2+4x-3,若有f(a)=g(b),则b的取值范围为( ).
A.[2-,2+]B.(2-,2+)
C.[1,3]D.(1,3)
解析 f(a)=g(b)⇔ea-1=-b2+4b-3⇔ea=-b2+4b-2成立,故-b2+4b-2>0,解得2-
答案 B
4.已知函数f(x)=若f(a)+f
(1)=0,则实数a的值等于( ).
A.-3B.-1C.1D.3
解析 f(a)+f
(1)=0⇔f(a)+2=0⇔或解得a=
-3.
答案 A
5.函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0)的图象关于直线x=-对称.据此可推测,对任意的非零实数a,b,c,m,n,p,关于x的方程m[f(x)]2+nf(x)+p=0的解集都不可能是( ).
A.{1,2}B.{1,4}
C.{1,2,3,4}D.{1,4,16,64}
解析 设关于f(x)的方程m[f(x)]2+nf(x)+p=0有两根,即f(x)=t1或f(x)=t2.
而f(x)=ax2+bx+c的图象关于x=-对称,因而f(x)=t1或f(x)=t2的两根也关于x=-对称.而选项D中≠.
答案 D
6.二次函数f(x)=ax2+bx+c,a为正整数,c≥1,a+b+c≥1,方程ax2+bx+c=0有两个小于1的不等正根,则a的最小值是( ).
A.3B.4C.5D.6
解析 由题意得f(0)=c≥1,f
(1)=a+b+c≥1.当a越大,y=f(x)的开口越小,当a越小,y=f(x)的开口越大,而y=f(x)的开口最大时,y=f(x)过(0,1),(1,1),则c=1,a+b+c=1.a+b=0,a=-b,-=,又b2-4ac>0,a(a-4)>0,a>4,由于a为正整数,即a的最小值为5.
答案 C
二、填空题
7.对于函数y=x2,y=x有下列说法:
①两个函数都是幂函数;②两个函数在第一象限内都单调递增;③它们的图像关于直线y=x对称;④两个函数都是偶函数;⑤两个函数都经过点(0,0)、(1,1);⑥两个函数的图像都是抛物线型.
其中正确的有________.
解析从两个函数的定义域、奇偶性、单调性等性质去进行比较.
答案①②⑤⑥
8.若二次函数f(x)=ax2-4x+c的值域为[0,+∞),则a,c满足的条件是________.
解析 由已知得⇒
答案 a>0,ac=4
9.方程x2-mx+1=0的两根为α、β,且α>0,1<β<2,则实数m的取值范围是________.
解析 ∵∴m=β+.
∵β∈(1,2)且函数m=β+在(1,2)上是增函数,
∴1+1<m<2+,即m∈.
答案
10.已知f(x)=m(x-2m)(x+m+3),g(x)=2x-2.若同时满足条件:
①∀x∈R,f(x)<0或g(x)<0;
②∃x∈(-∞,-4),f(x)g(x)<0,
则m的取值范围是________.
解析 当x<1时,g(x)<0,当x>1时,g(x)>0,当x=1时,g(x)=0,m=0不符合要求;当m>0时,根据函数f(x)和函数g(x)的单调性,一定存在区间[a,+∞)使f(x)≥0且g(x)≥0,故m>0时不符合第①条的要求;当m<0时,如图所示,如果符合①的要求,则函数f(x)的两个零点都得小于1,如果符合第②条要求,则函数f(x)至少有一个零点小于-4,问题等价于函数f(x)有两个不相等的零点,其中较大的零点小于1,较小的零点小于-4,函数f(x)的两个零点是2m,-(m+3),故m满足或解第一个不等式组得-4 答案 (-4,-2) 三、解答题 11.设f(x)是定义在R上以2为最小正周期的周期函数.当-1≤x<1时,y=f(x)的表达式是幂函数,且经过点.求函数在[2k-1,2k+1)(k∈Z)上的表达式. 解 设在[-1,1)上,f(x)=xn,由点在函数图象上,求得n=3. 令x∈[2k-1,2k+1),则x-2k∈[-1,1), ∴f(x-2k)=(x-2k)3.又f(x)周期为2, ∴f(x)=f(x-2k)=(x-2k)3.即f(x)=(x-2k)3(k∈Z). 12.已知函数f(x)=x2+2ax+3,x∈[-4,6]. (1)当a=-2时,求f(x)的最值; (2)求实数a的取值范围,使y=f(x)在区间[-4,6]上是单调函数; (3)[理]当a=1时,求f(|x|)的单调区间. 解 (1)当a=-2时,f(x)=x2-4x+3=(x-2)2-1, 由于x∈[-4,6], ∴f(x)在[-4,2]上单调递减,在[2,6]上单调递增, ∴f(x)的最小值是f (2)=-1, 又f(-4)=35,f(6)=15,故f(x)的最大值是35. (2)由于函数f(x)的图像开口向上,对称轴是x=-a, 所以要使f(x)在[-4,6]上是单调函数,应有-a≤-4或-a≥6,即a≤-6或a≥4. (3)当a=1时,f(x)=x2+2x+3, ∴f(|x|)=x2+2|x|+3,此时定义域为x∈[-6,6], 且f(x)= ∴f(|x|)的单调递增区间是(0,6],单调递减区间是[-6,0]. 13.设函数f(x)=ax2-2x+2,对于满足1 解 不等式ax2-2x+2>0等价于a>, 设g(x)=,x∈(1,4),则 g′(x)= ==, 当1 g(x)≤g (2)=, 由已知条件a>, 因此实数a的取值范围是. 14.已知函数f(x)=x-k2+k+2(k∈Z)满足f (2) (1)求k的值并求出相应的f(x)的解析式; (2)对于 (1)中得到的函数f(x),试判断是否存在q>0,使函数g(x)=1-qf(x)+(2q-1)x在区间[-1,2]上的值域为? 若存在,求出q;若不存在,请说明理由. 解 (1)∵f (2) 故-k2+k+2>0,解得-1 又∵k∈Z,∴k=0或k=1. 当k=0或k=1时,-k2+k+2=2,∴f(x)=x2. (2)假设存在q>0满足题设,由 (1)知 g(x)=-qx2+(2q-1)x+1,x∈[-1,2]. ∵g (2)=-1,∴两个最值点只能在端点(-1,g(-1))和顶点处取得.而-g(-1)=-(2-3q)=≥0,∴g(x)max==, g(x)min=g(-1)=2-3q=-4. 解得q=2,∴存在q=2满足题意. 第7讲函数图象 一、选择题 1.函数y=|x|与y=在同一坐标系上的图像为( ) 解析因为|x|≤,所以函数y=|x|的图像在函数y=图像的下方,排除C、D,当x→+∞时,→|x|,排除B,故选A. 答案A 2.函数y=的图象与函数y=2sinπx(-2≤x≤4)的图象所有交点的横坐标之和等于( ). A.2B.4C.6D.8 解析 此题考查函数的图象、两个函数图象的交点及函数的对称性问题.两个函数都是中心对称图形. 如上图,两个函数图象都关于点(1,0)成中心对称,两个图象在[-2,4]上共8个公共点,每两个对应交点横坐标之和为2,故所有交点的横坐标之和为8. 答案 D 3.已知函数f(x)=x-tanx,若实数x0是函数y=f(x)的零点,且0 A.大于1B.大于0C.小于0D.不大于0 解析 分别作出函数y=x与y=tanx在区间上的图象,得到0 答案 B 4.如图,正方形ABCD的顶点A,B,顶点C、D位于第一象限,直线l: x=t(0≤t≤)将正方形ABCD分成两部分,记位于直线l左侧阴影部分的面积为f(t),则函数S=f(t)的图象大致是( ). 解析 当直线l从原点平移到点B时,面积增加得越来越快;当直线l从点B平移到点C时,面积增加得越来越慢.故选C. 答案 C 5.给出四个函数,分别满足①f(x+y)=f(x)+f(y), ②g(x+y)=g(x)·g(y),③h(x·y)=h(x)+h(y), ④m(x·y)=m(x)·m(y).又给出四个函数的图象,那么正确的匹配方案可以是( ) A.①甲,②乙,③丙,④丁B.①乙,②丙,③甲,④丁 C.①丙,②甲,③乙,④丁D.①丁,②甲,③乙,④丙 解析图象甲是一个指数函数的图象,它应满足②;图象乙是一个对数函数的图象,它应满足③;图象丁是y=x的图象,满足①. 答案D 6.如右图,已知正四棱锥S-ABCD所有棱长都为1,点E是侧棱SC上一动点,过点E垂直于SC的截面将正四棱锥分成上、下两部分.记SE=x(0 解析 (1)当0 由SC与该截面垂直知,SC⊥EF,SC⊥EI,∴EF=EI=SEtan60°=x,SI=2SE=2x,IH=FG=BI=1-2x,FI=GH=AH=2x,∴五边形EFGHI的面积S=FG×GH+FI×=2x-3x2, ∴V(x)=VC-EFGHI+2VI-BHC=(2x-3x2)×CE+2×××1×(1-2x)×(1-2x)=x3-x2+,其图象不可能是一条线段,故排除C,D. (2)当≤x<1时,过E点的截面为三角形,如图2,设此三角形为△EFG,则EG=EF=ECtan60°=(1-x),CG=CF=2CE=2(1-x),三棱锥E-FGC底面FGC上的高h=ECsin45°=(1-x), ∴V(x)=×CG·CF·h=(1-x)3, ∴V′(x)=-(1-x)2, 又显然V′(x)=-(1-x)2在区间上单调递增,V′(x)<0, ∴函数V(x)=(1-x)3在区间上单调递减,且递减的速率越来越慢,故排除B,应选A. 答案 A 二、填空题 7.函数y=的图象与函数y=2sinπx(-2≤x≤4)的图象所有交点的横坐标之和等于________. 解析 函数y==和y=2sinπx的图象有公共的对称中心(1,0),画出二者图象如图所示,易知y=与y=2sinπx(-2≤x≤4)的图象共有8个交点,不妨设其横坐标为x1,x2,x3,x4,x5,x6,x7,x8,且x1 由对称性得x1+x8=x2+x7=x3+x6=x4+x5=2,∴x1+x2+x3+x4+x5+x6+x7+x8=8. 答案 8 8.使log2(-x)<
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- 高考数学复习同步练习 第6讲 幂函数与二次函数 高考 数学 复习 同步 练习 函数 二次
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