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区块设计之理论
第1章區塊設計之介紹
§1.1區塊設計之理論
組合設計是從一個有限集合中,選取出子集所成之集合,而此集合之元素滿足某些條件。
若此子集含k個元素,我們稱此為k子集,在設計理論上稱之為區塊。
為方便起見,我們將集合{a,b,c}記為abc,其它之集合亦同。
如果xÎB,則我們稱元素x在區塊B中,或稱區塊B中包含有元素x。
以下我們介紹二個簡單的設計。
問題1.1:
設V={1,2,3,4},求一個V中2子集之集合D,使得V中任2個元素恰好落在唯一的區塊中?
答案:
D={12,13,14,23,24,34}
問題1.2:
設V={1,2,3,4,5,6,7},求一個V中3子集之集合D,使得每個元素出現3次,並且任兩個區塊的交集只有1個元素?
答案:
{123,145,167,245,267,346,357}
設V為v個元素之集合。
一個在集合V上的區塊設計是V中k子集(稱之為區塊)所成之集合D,且滿足V中每個元素出現在r個區塊中(即每個元素出現r次)。
為了方便,此區塊設計之區塊個數,我們用b表示之,且稱此設計(V,D)為(v,b,r,k)區塊設計。
定理1.3:
在任一個(v,b,r,k)區塊設計中,vr=bk。
証明:
在(v,b,r,k)區塊設計D上,有v個元素,每元素出現r次,顯然此集合D共出現vr個元素,但從另一角度來看,D中共有b個區塊,且每個區塊中均有k個元素,顯然此集合共出現bk個元素。
綜合上述二個觀察,我們得到vr=bk。
在集合S={1,2,3}上的區塊設計有下列數種,D1={123},D2={123,123},D3={123,123,123},…。
不過這些設計上的區塊就是集合S本身,且重覆選取此區塊,雖然它也是某種區塊設計,但我們對它較不感興趣。
因此我們定義所謂不完全設計。
一個區塊設計是不完全設計,如果區塊大小小於所有的元素,也就是k 若k=v,則稱其為完全設計。 對於任意在S中的x,y元素,lx,y是指同時包含有x,y的區塊之個數,我們稱之為x與y之共價數。 例如: 對於組合設計D={123,456,712,345,671,234,567},l1,2=2,即同時出現1與2之區塊個數有2個123與712,其他l1,3=1,l1,4=0,....,亦同。 定義1.4: 若一個不完全區塊設計,如果對在集合S中任取二個元素x與y,其共價數為一常數l,則稱其為平衡不完全區塊設計,簡稱BIBD(balanceincompleteblockdesign),亦稱(v,b,r,k,l)-設計。 例1.5﹕(7,7,3,3,1)-設計: {124,235,346,457,561,672,713}。 (7,7,4,4,2)-設計: {1234,1256,1357,1467,2367,2457,3456} (6,10,5,3,2)-設計: {123,124,135,146,156,236,245,256,345,346} 如果l=0(也就是同時出現兩元素之區塊個數為零),換句話說,即是在任一區塊中根本就沒有超過兩個元素的,這時區塊只有1個元素,亦即k=1。 例如在集合S={1,2,3}上,若l=0,顯而易見的是區塊設計D={1,2,3,1,2,3,1,2,3,1,2,3,...}。 在這種結果下產生的區塊設計,我們並沒有太大的興趣,因此我們均設l>0。 給一(v,b,r,k,l)-設計(V,D),它的對偶設計的定義如下: 集合S為V中所有2子集所成之集合,(集合S共有 個元素),它的區塊是{xy|xÎB,yÎB,x¹y},其中BÎD。 所以,此設計(V,D)的對偶設計之區塊個數亦為b個。 新設計中每個元素均落入l個新區塊,且新的區塊之大小為 個元素。 例1.6: 求(4,4,3,3,2)-設計之對偶設計,其中(4,4,3,3,2)-設計為{123,124,134,234}。 解: 其對偶設計考慮在集合S={12,13,14,23,24,34}上,而新的區塊將原區塊123換成{12,13,23},124換成{12,14,24},134換成{13,14,34},234換成23,24,34。 則其對偶設計為(6,4,2,3)區塊設計: {{12,13,23},{12,14,24},{13,14,34},{23,24,34}}但此設計並不是平衡不完全設計。 因為l12,34=0,但l12,13=1。 定理1.7: (v,b,r,k,l)-設計之對偶設計是一種區塊設計,其所考慮之集合是 個元素,共有b個區塊,每個元素落在l個區塊,而區塊所含的元素個數為 。 定理1.8: 對於任一個(v,b,r,k,l)-設計,則有l(v-1)=r(k-1)之關係式。 證明: 由前述定理知道(v,b,r,k,l)-設計之對偶設計為(v’,b’,r’,k’,l’)-設計,其中v’= ,b’=b,r’=l,k’= 。 由區塊設計之等式 v’ r’=b’ k’………………………………….. (1) 則有 l=b ………...……… (2) 因為v r=b k,所以 (2)式可改寫為 l=b =vr 因此,最後得到關係式為l (v-1)=r (k-1)。 因為任一個(v,b,r,k,l)-設計恆有下列二個關係式 v r=b k l (v-1)=r (k-1) 因此這5個未知數v,b,r,k,l,只須知三個值,另二個數可由此等式求出,因此(v,b,r,k,l)-設計,只需寫為(v,k,l)-設計即可。 意即只要提供v、k、l,剩下的b與r即可輕易被算出。 平衡不完全區塊設計的基本定理: 若一個佈於v個元素t1,t2,…,tv的區塊設計,而它的b個區塊為B1,B2,..Bb,我們定義一個v´b的矩陣A,其中 此矩陣A稱為區塊設計的關聯矩陣。 例如(7,7,3,3,1)-設計: {124,235,346,457,561,672,713},其所對應的關聯矩陣如下式: 。 又如(7,7,4,4,2)-設計: {1234,1256,1357,1467,2367,2457,3456},其關聯矩陣為 從矩陣A的定義,知道每一列”1”的個數為r(元素重複數),而每一行”1”的個數為k(區塊內所含之元素個數)。 設J為每個位置均為1之矩陣,而In為n階單位矩陣。 設區塊設計的v´b階關聯矩陣為A,則有 JvA=kJvb 和 AJb=rJvb。 (說明: 其為顯然,因為矩陣A之每一列”1”之個數為r,而每一行的”1”之個數為k,由線性代數矩陣運算即可得上式。 ) 反過來說,任給一個佈於{0,1}上的v´b階矩陣A,若其滿是上面兩個等式,則其必為某一區塊設計的關聯矩陣。 定理1.9: 如果A是(v,b,r,k,l)-設計之關聯矩陣,則有下列二恆等式 AAT=(r-l)Iv+lJv 和 JvA=kJvb 反之,若存在一個佈於{0,1}上的v´b階矩陣A,滿是上面兩個等式k 證明: 已知(AB)ij=A(i)B(j),,其中A(i)表示矩陣A之第i列,B(j)表列矩陣B之第j行。 所以 (AAT)ij=A(i)(AT)(j)=A(i)A(j)= 因此, AAT= =(r-l)Iv+lJv 反之,若存在一個佈於{0,1}上的v´b階矩陣A,滿是二兩等式AAT=(r-)Iv+Jv與JvA=kJvb,我們定義子集B1,B2,…,Bb如下 iBj若且為若aij=1。 則此區塊設計為一個(v,b,r,k,)-設計,其關聯矩陣為A。 由上面定理之証明得知AAT= ,而此方陣之行列式值我們可經由一些矩陣的基本運算求得: det(AAT)=det =det =det =(r-l)v-1[r+(v-1)l]。 定理1.10: 對於任意之平衡不完全區塊設計,均有b v。 證明: 因為 det(AAT)=(r-l)v-1[r+(v-1)l]……………….. (1) 且l(v-1)=r(k-1),所以 (1)式可寫為 det(AAT)=(r-l)v-1[r+r(k-1)]=(r-l)v-1rk。 並且因為l(v-1)=r(k-1),加上區塊設計的基本條件k 因此det(AAT)>0,所以AAT為可逆矩陣,且 v=rank(AAT)£rank(A)£min{v,b}。 故b v。 設A是一個佈於{0,1}上的v´b階矩陣,其為某個區塊設計的關聯矩陣之充要條件為JvA=kJvb與AJb=rJvb。 任給一區塊設計,其關聯矩陣為A,則JvA=kJvb和AJb=rJvb。 將此二等式取轉置,則有JbAT=rJbv與ATJv=kJbv。 AT所對應之區塊設計稱為原區塊設計之偶設計,此偶設計為(v’,b’,r’,k’)-設計 其中 v’=b,b’=v,r’=k,k’=r。 此偶設計之建構如下: 設一原始設計有b個區塊B1,B2,…,Bb和v個元素t1,t2,…,tv,則其偶設計之v個區塊C1,C2,…,Cv和b個元素u1,u2,…,ub之關係如下 uiÎCj若且為若tjÎBi 例1.11: 區塊設計(6,4,2,3)-設計: {123,145,246,356},則其關聯矩陣A為 則AT為 所以其偶設計為{12,13,14,23,24,34},其中v=4,b=6,r=3,k=2。 關於偶設計,我們有如下之觀察: ●區塊設計(v,b,r,k)-設計之偶設計為(b,v,k,r)-設計。 ●一個不完全的區塊設計,其偶設計也是一個不完全的區塊設計。 (因為vr=bk,已知原設計為不完全所以有k ) ●BIBD之偶設計不一定就是BIBD(因為在BIBD中,bv)。 定理1.12: (v,b,r,k,l)-設計之偶設計是BIBD若且為若v=b 證明: “Þ”利用反證法,假設v¹b,因此b>v。 此式表示其偶設計之區塊個數v小於所有元素之個數b,所以其偶設計不是BIBD。 “Ü”: 若v=b,因為v r=b k,所以得到r=k。 現在只需證明JAT=kJ和ATA=(k-l)I+lJ即可。 (1)已知JA=kJ和AJ=rJ。 因為r=k,所以可得到 JA=kJ-------- (1) 和 AJ=kJ--------- (2) 將 (2)式做轉置動作,則(AJ)T=JAT=kJ,故得證。 (2)已知AAT=(k-l)I+lJ並且det(AAT)>0,因為det(AAT)=det(A)det(AT)¹0則det(A)¹0,所以A為非奇異的,即A有反矩陣,因此AJ=kJ,J=kA-1J,A-1J=k-1J。 利用AAT=A-1(AAT)A=A-1[(k-l)I+lJ]A 則ATA=A-1(k-l)IA+lA-1JA =(k-l)I+lk-1JA =(k-l)I+lk-1kJ =(k-l)I+lJ 故得證。 定義1.13: 若一區塊設計滿足v=b,則此區塊設計稱之為對稱的區塊設計。 引理1.14: 對稱的BIBD中任兩個區塊,其交集為l。 證明: 觀察ATA= 。 所以當i¹j時,第i個區塊與第j個區塊之交集為A(i)A(j)=(AT)(i)A(j)=(ATA)ij=l,即為ATA矩陣之(i,j)位置。
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