九年级圆知识点及习题含答案.docx
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九年级圆知识点及习题含答案
圆
圆的有关概念与性质
1.圆上各点到圆心的距离都等于半径。
2.圆是轴对称图形,任何一条直径所在的直线都是它的对称轴;圆又是中心对称图形,圆心是它的对称中心。
3.垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对的弧;平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的弧。
4.在同圆或等圆中,如果两个圆心角,两条弧,两条弦,两条弦心距,两个圆周角中有一组量相等,那么它们所对应的其余各组量都分别相等。
5.同弧或等弧所对的圆周角相等,都等于它所对的圆心角的一半。
6.直径所对的圆周角是90°,90°所对的弦是直径。
7.三角形的三个顶点确定1个圆,这个圆叫做三角形的外接圆,三角形的外接圆的圆心叫外心,是三角形三边垂直平分线的交点。
8.与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆,内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点的交点,叫做三角形的内心。
9.圆内接四边形:
顶点都在圆上的四边形,叫圆内接四边形.
10.圆内接四边形对角互补,它的一个外角等于它相邻内角的对角
与圆有关的位置关系
1.点与圆的位置关系共有三种:
①点在圆外,②点在圆上,③点在圆内;对应的点到圆心的距离d和半径r之间的数量关系分别为:
①d>r,②d=r,③d 2.直线与圆的位置关系共有三种: ①相交,②相切,③相离; 对应的圆心到直线的距离d和圆的半径r之间的数量关系分别为: ①d 3.圆与圆的位置关系共有五种: ①内含,②相内切,③相交,④相外切,⑤外离; 两圆的圆心距d和两圆的半径R、r(R≥r)之间的数量关系分别为: ①d 4.圆的切线垂直于过切点的半径;经过直径的一端,并且垂直于这条 直径的直线是圆的切线. 5.从圆外一点可以向圆引2条切线,切线长相等,这点与圆心之间的连线平分这两条切线的夹角。 与圆有关的计算 1.圆的周长为2πr,1°的圆心角所对的弧长为 ,n°的圆心角所对的弧长 为 ,弧长公式为 n为圆心角的度数上为圆半径). 2.圆的面积为πr2,1°的圆心角所在的扇形面积为 ,n°的圆心角所在的扇形面积为S= = (n为圆心角的度数,R为圆的半径). 3.圆柱的侧面积公式: S=2 (其中 为底面圆的半径, 为圆柱的高.) 4.圆锥的侧面积公式: S= (其中 为底面的半径, 为母线的长.) 圆锥的侧面积与底面积之和称为圆锥的全面积 测试题 一、选择题(每小题3分,共45分) 1.在△ABC中,∠C=90°,AB=3cm,BC=2cm,以点A为圆心,以2.5cm为半径作圆,则点C和⊙A的位置关系是()。 A.C在⊙A上B.C在⊙A外 C.C在⊙A内D.C在⊙A位置不能确定。 2.一个点到圆的最大距离为11cm,最小距离为5cm,则圆的半径为()。 A.16cm或6cmB.3cm或8cm C.3cm D.8cm 3.AB是⊙O的弦,∠AOB=80°则弦AB所对的圆周角是()。 A.40°B.140°或40° C.20° D.20°或160° 4.O是△ABC的内心,∠BOC为130°,则∠A的度数为()。 A.130°B.60°C.70°D.80° 5.如图1,⊙O是△ABC的内切圆,切点分别是D、E、F,已知∠A=100°,∠C=30°,则∠DFE的度数是()。 A.55°B.60°C.65°D.70° 6.如图2,边长为12米的正方形池塘的周围是草地,池塘边A、B、C、D 处各有一棵树,且AB=BC=CD=3米.现用长4米的绳子将一头羊拴在其 中的一棵树上.为了使羊在草地上活动区域的面积最大,应将绳子拴在()。 A.A处B.B处C.C处D.D处 图1图2 7.已知两圆的半径分别是2和4,圆心距是3,那么这两圆的位置是()。 A.内含B.内切C.相交D.外切 8.已知半径为R和r的两个圆相外切。 则它的外公切线长为()。 A.R+rB. C. D.2 9.已知圆锥的底面半径为3,高为4,则圆锥的侧面积为()。 A.10πB.12πC.15πD.20π 10.如果在一个顶点周围用两个正方形和n个正三角形恰好可以进行平面镶嵌,则n的值是()。 A.3B.4C.5D.6 11.下列语句中不正确的有()。 ①相等的圆心角所对的弧相等 ②平分弦的直径垂直于弦 ③圆是轴对称图形,任何一条直径都是它的对称轴 ④长度相等的两条弧是等弧 A.3个B.2个C.1个D.4个 12.先作半径为 的第一个圆的外切正六边形,接着作上述外切正六边形的外接圆,再作上述外接圆的外切正六边形,…,则按以上规律作出的第8个外切正六边形的边长为()。 A. B. C. D. 13.如图3,⊿ABC中,∠C=90°,BC=4,AC=3,⊙O内切于⊿ABC,则阴影部分面积为() A.12-πB.12-2πC.14-4πD.6-π 14.如图4,在△ABC中,BC=4,以点A为圆心、2为半径的⊙A与BC相切于点D,交AB于E,交AC于F,点P是⊙A上的一点,且∠EPF=40°,则图中阴影部分的面积是()。 A.4- πB.4- πC.8- πD.8- π 15.如图5,圆内接四边形ABCD的BA、CD的延长线交于P,AC、BD交于E,则图中相似三角形有()。 A.2对B.3对C.4对D.5对 图3图4图5 二、填空题(每小题3分,共30分) 1.两圆相切,圆心距为9cm,已知其中一圆半径为5cm,另一圆半径为_____. 2.两个同心圆,小圆的切线被大圆截得的部分为6,则两圆围成的环形面积为_________。 3.边长为6的正三角形的外接圆和内切圆的周长分别为_________。 4.同圆的外切正六边形与内接正六边形的面积之比为_________。 5.矩形ABCD中,对角线AC=4,∠ACB=30°,以直线AB为轴旋转一周得到圆柱的表面积是_________。 6.扇形的圆心角度数60°,面积6π,则扇形的周长为_________。 7.圆的半径为4cm,弓形弧的度数为60°,则弓形的面积为_________。 8.在半径为5cm的圆内有两条平行弦,一条弦长为6cm,另一条弦长为8cm,则两条平行弦之间的距离为_________。 9.如图6,△ABC内接于⊙O,AB=AC,∠BOC=100°,MN是过B点而垂直于OB的直线,则∠ABM=________,∠CBN=________; 10.如图7,在矩形ABCD中,已知AB=8cm,将矩形绕点A旋转90°,到达A′B′C′D′的位置,则在转过程中,边CD扫过的(阴影部分)面积S=_________。 图6图7 三、解答下列各题(第9题11分,其余每小题8分,共75分) 1.如图,P是⊙O外一点,PAB、PCD分别与⊙O相交于A、B、C、D。 (1)PO平分∠BPD; (2)AB=CD;(3)OE⊥CD,OF⊥AB;(4)OE=OF。 从中选出两个作为条件,另两个作为结论组成一个真命题,并加以证明。 2.如图,⊙O1的圆心在⊙O的圆周上,⊙O和⊙O1交于A,B,AC切⊙O于A,连结CB,BD是⊙O的直径,∠D=40°求: ∠AO1B、∠ACB和∠CAD的度数。 3.已知: 如图20,在△ABC中,∠BAC=120°,AB=AC,BC=4 ,以A为圆心,2为半径作⊙A,试问: 直线BC与⊙A的关系如何? 并证明你的结论。 4.如图,ABCD是⊙O的内接四边形,DP∥AC,交BA的延长线于P,求证: AD·DC=PA·BC。 5.如图⊿ABC中∠A=90°,以AB为直径的⊙O交BC于D,E为AC边中点,求证: DE是⊙O的切线。 6.如图,已知扇形OACB中,∠AOB=120°,弧AB长为L=4π,⊙O′和弧AB、OA、OB分别相切于点C、D、E,求⊙O的周长。 7.如图,半径为2的正三角形ABC的中心为O,过O与两个顶点画弧,求这三条弧所围成的阴影部分的面积。 8.如图,ΔABC的∠C=Rt∠,BC=4,AC=3,两个外切的等圆⊙O1,⊙O2各与AB,AC,BC相切于F,H,E,G,求两圆的半径。 9.如图①、②、③中,点E、D分别是正△ABC、正四边形ABCM、正五 边形ABCMN中以C点为顶点的相邻两边上的点,且BE=CD,DB交AE于P点。 ⑴求图①中,∠APD的度数; ⑵图②中,∠APD的度数为___________,图③中,∠APD的度数为___________; ⑶根据前面探索,你能否将本题推广到一般的正n边形情况.若能,写出推广问题和结论;若不能,请说明理由。 参考答案 一、1、C 2、B 3、B 4、D 5、C 6、B7、C8、D 9、C10、A11、D12、A13、D14、B15、C 二、1、4cm或14cm;2、9π;3、 π, π;4、4: 3; 5、 π;6、12+2π;7、( π- )cm2;8、7cm或1cm; 9、65°,50°;10、16πcm2。 三、 1、命题1,条件③④结论①②,命题2,条件②③结论①④. 证明: 命题1∵OE⊥CD,OF⊥AB,OE=OF, ∴AB=CD,PO平分∠BPD。 2、∠AO1B=140°,∠ACB=70°,∠CAD=130°。 3、作AD⊥BC垂足为D,∵AB=AC,∠BAC=120°,∴∠B=∠C=30°. ∵BC=4 ∴BD= BC=2 .可得AD=2.又∵⊙A半径为2, ∴⊙A与BC相切。 4、连接BD,证△PAD∽△DCB。 5、连接OD、OE,证△OEA≌△OED。 6、12π。 7、4π- 。 【解析】解: 三条弧围成的阴影部份构成"三叶玫瑰",其总面积等于6个弓形的面 积之和.每个弓形的半径等于△ABC外接园的半径R=(2/sin60°)/2 =2√3/3.每个弓形对应的园心角θ=π/3.每个弓形的弦长b=R=2√3/3. ∴一个弓形的面积S=(1/2)R^2(θ-sinθ) =(1/2)(2√3/3)^2[π/3-sin(π/3)] =(2/3)(π/3-√3/2) 于是三叶玫瑰的总面积=6S=4(π/3-√3/2)=2(2π-3√3)/3. 8、 。 提示: 将两圆圆心与已知的点连接,用面积列方程求。 9、 (1)∵△ABC是等边三角形∴AB=BC,∠ABE=∠BCD=60° ∵BE=CD∴△ABE≌△BCD∴∠BAE=∠CBD ∴∠APD=∠ABP+∠BAE=∠ABP+∠CBD=∠ABE=60° (2)90°,108° (3)能.如图,点E、D分别是正n边形ABCM…中以C点为顶点的相邻两边上的点,且BE=CD,BD与AE交于点P,则∠APD的度数为 。 圆 一、选择题(每小题5分,共25分) 1.如图,△ABC内接于⊙O,∠A=400,则∠OBC的度数为() A.200B.400C.800D.700 2.如图,⊙O的直径为10,圆心O到弦AB的距离OM的长是3,则弦AB的长是() A.4B.6C.7D.8 3.下列命题中正确的是() A.平分弦的直径垂直于这条弦;B.切线垂直于圆的半径 C.三角形的外心到三角形三边的距离相等;D.圆内接平行四边形是矩形 4.以下命题中,正确的命题的个数是() (1)同圆中等弧对等弦. (2)圆心角相等,它们所对的弧长也相等. (3)三点确定一个圆.(4)平分弦的直径必垂直于这条弦. A.1个B.2个C.3个D.4个 5.如图,AB是半圆O的直径,∠BAC=200,D是弧AC点,则∠D是() A.1200B.1100C.1000D.900 6.若⊙O所在平面内一点P到⊙O上的点的最大距离为a,最小距离为b(a>b),则此圆的半径为() A. B. C. 或 D.a+b或a-b 7.如图,顺次连接圆内接矩形各边的中点,得到菱形ABCD,若BD=10,DF=4,则菱形ABCD的边长为() A.4 B.5 C.6D.9 8.过⊙O内一点M的最长的弦长为6cm,最短的弦长为4cm.则OM的长为() A. cmB. cmC.2cmD.3cm 二、填空题(每小题5分,共25分) 9.在半径为1的圆中,弦AB、AC的长是 存和 ,则∠BAC的度数为. 10.如图,扇形OAB中,∠AOB=900,半径OA=1,C是线段AB的中点,CD//OA,交弧AB于点D,则CD=. 11.如图,AB是⊙O的直径,AB=2,OC是⊙O的半径,OC⊥AB,点D在 上,点P是半径OC上一个动点,那么AP+DP的最小值等于. 三、解答题(共50分) 12.(10分)如图,已知△ABC内接于⊙O,AD是⊙O的直径,CF⊥AD,E为垂足,CE的延长线交AB于F.求证: AC2=AF·AB. 13.(l0分)如图,△ACF内接于⊙O,AB是⊙O的直径,弦CD⊥AB于点E. (l)求证: ∠ACE=∠AFC; (2)若CD=BE=8,求sin∠AFC的值. 14.(l5分)如图,已知AB为⊙O的直径,弦CD⊥AB,垂足为H. (l)求证: AH·AB=AC2; (2)若过A的直线AF与弦CD(不含端点)相交于点E,与⊙O相交于点F、求证: AE·AF=AC2; (3)若过A的直线AQ与直线CD相交于点P,与⊙O相交于点Q,判断AP·AQ=AC2是否成立(不必证明). 15.(15分)如图,AM是⊙O的直径,过⊙O上一点B作BN⊥AM,垂足为N,其延长线交⊙O于点C,弦CD交AM于点E. (1)如果CD⊥AB,求证: EN=NM; (2)如果弦CD交AB于点F,且CD=AB,求证: CE2=EF·ED; (3)如果弦CD、AB的延长线交于点F,且CD=AB,那么 (2)的结论是否还成立? 若成立,请证明;若不成立,请说明理由. 参考答案
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