第二十一章二重积分.docx
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第二十一章二重积分
第二十一章重积分
§1二重积分概念
1.把重积分作为积分和的极限,计算这个积分值,其中并用直线网分割这个正方形为许多小正方形,每一小正方形取其右上顶点为其节点。
证明:
2.证明:
若函数在有界闭区域D上可积,则在D上有界。
证明:
假设在D上可积,但在D上无界。
则对D的任一分割T=,必在某个小区间上无界。
当时,任取,令G=
由于在上无界,即存在使得。
从而
另一方面,由于在D上可积,取,故存在,对任意D的分割当时,
3.证明二重积分中值定理(性质7)。
证明:
函数在有界闭区域D上连续,则在D上存在最大值M与最小值m,且对D中一切点,有
有性质6知,
即
有介值定理存在使得
4:
若为有界闭区域D上的非负连续函数,且在D上不恒为零,则
证明:
由已知,存在,使则存在,
对一切,其中,有
而在有界闭域D上非负连续,则有其中(表示为的面积)
5.若在有界闭区域D上连续,且在D内任一子区域上有则在D上
证明:
用反证法:
假设在D内存在一点使,不妨设
。
则存在。
使得一切(其中),有。
这时,,这与题设产生矛盾(表示为的面积)
§21.2直角坐标系下二重积分的计算
1.设在区域D上连续,试将二重积分化为不同顺序的累次积分:
(1)D有不等式所确定的区域。
(2)D由不等式所确定的区域;
(3)D由不等式所确定的区域;
(4)
解:
(1):
积分区域D如图21-1.
(2):
积分区域D如图所示
(3):
积分区域如图所示
(4):
积分区域如图所示
2.在下列积分中改变累次积分的顺序:
(1)
(2)
(3)
(4).
解:
(1)=
(2)=
(3)
=
(4)
=
3.计算下列二重积分:
(1)
(2)
(3),其中D为图中的阴影部分
(4),其中D=
解:
(1)
(2):
(3):
;(4)
4.求由坐标平面及所围的角柱体的体积;
解:
§3格林公式曲线积分与路线的无关性
1.应用格林公式计算下列曲线积分:
(1),其中是以为顶点的三角形,方向取正向;
(2),其中为常数,为由到经过圆上半部的路线。
解:
(1)AB的方程:
;
BC的方程:
;
CA的方程:
。
,,
则三角形域S被分成两部分。
原式
(2)连接点与点,构成封闭路线,在险段.
于是
而
由格林公式
因此原式
2.应用格林公式计算下列曲线所围的平面面积:
(1)星形线:
;
(2)双扭线:
解
(1)有图的对称性可知
(2)令,可得
利用图的对称性,
3.证明:
若L为平面上封闭曲线,为任意方向向量,则,其中n为曲线L的外法线方向。
证:
设分别表示外法线与轴正向、与外法线以及轴正向的夹角,则
,
于是,其中
由格林公式,有
4.求积分值其中L为包围有界区域的封闭曲线,n为L的外法线方向。
解:
设T为L的切线方向,S为区域Dde面积,
5.验证下列积分与路线无关,并求它们的值:
(1)
(2)
(3),沿在右半平面的路线;
(4)沿不通过原点的路线;
(5)
解:
(1)
故积分与路径无关。
取路线
(2)
(3)
(4)当
(5)
6.求下列全微分的原函数:
(1)
(2)
(3)
解
(1):
(2):
(3):
则原函数
7.为了使曲线积分与积分路线无关,则可微函数应满足怎样的条件?
解:
即
§4二重积分的变量变换
1.对积分进行极坐标变换并写出变换后不同顺序的累次积分:
(1)当D为由不等式所确定的区域;
(2)
(3)
解:
(1)令则将变成
从而
(2)令则将变成,从而
(3)令则
2.用极坐标计算下列二重积分:
(1)
解:
令将变换成极坐标平面下区域
则
(2)
解:
令由方程可知则极坐标下区域
则
(3)为圆域:
解:
令将变换成极坐标平面下区域则
(4)为圆域
解:
令极坐标平面下区域
则
3.在下列积分中引入新变量后,试将它化为累次积分:
(1)
解:
由得则变换后的区域,
(2),其中
若
解:
在变换下,区域为
(3),其中
解:
由将变换成
则
=
4.试作适当变换,计算下列积分:
(1)
解令
则
于是
(2)
解令则
于是
5.求由下列曲面所围立体的体积:
(1)是由和所围的立体;
解立体在平面上投影区域为:
令则
所以
(2)是由曲面和所围的立体
解:
体在平面上的投影区域为
6.求由下列曲线所围的平面图形面积:
(1)
(2)(
(3)
解:
令则
所以,
(2)令则
所以
(3)解;圆与双纽线在第一象限交点为(令则
§5三重积分
1.计算下列积分:
所围成的区域。
解:
(3)积分区域如图21-18,
(4)积分区域如图21-19。
2.试改变下列累次积分的顺序。
(1);
(2);
(1)三重积分积分区域如图所示,体V在xoz平面上的投影则
=
(2)三重积分积分区域如图所示。
体在平面投影
3.计算下列三重积分与累次积分:
(1),其中V由和所确定;
(2).
解:
(1)用平行于平面去截积分区域V,截面为:
所以=
.
(2)因为在平面上的投影区域
所以
4.利用适当的坐标变换,计算下列各曲线面所围成的体积:
(1)
(2)
解
(1)因为由两个旋转抛物面,平面和母线平行于轴的柱面所围成,在平面上的投影区域
所以
(2)作变换
则
5.设球体积上各点的密度等于该点到坐标原点的距离。
求这球体体积的质量。
解:
密度函数,则球体的质量,应用球面坐标变换将球体变成
所以
§6重积分的应用
1.求曲面包含在圆柱内那部分的面积.
解:
设曲面面积为,由于则
其中由广义极坐标变换,得
2.求锥面被柱面所截部分的曲面面积。
解:
曲面在平面上的投影区域而
则
3.求下列均匀密度的平面的平面薄板重心:
(1)求椭圆
解:
设重心坐标为由对称性
则重心为
(2)高为,底分别为和的等腰梯形。
解:
设重心坐标为,由对称性=0,
其中,
4.求下列均匀密度物体的重心:
(1)
解设物体重心坐标为
由对称性知,
(应用柱面坐标变换),所求重心坐标为
(2)由四面体的重心坐标为
由于物体为均匀密度,且
所以,
所求重心坐标为
5.求下列均匀密度的平面薄板的转动惯量:
(1)半径为的圆关于其切线的转动惯量;
解:
如图21-23,沿切线为,密度为对任一点到的距离为
所以
(2)边长为和,且夹角为的平行四边形,关于底边的转动惯量.
解
6.计算下列引力:
(1)均匀薄片+,Z=0对于轴上一点(0,0,c)(c>0)处的单位质量的引力;
解由对称性,引力必在z轴方向上
因此=0,=0,
=k
=kcddr
=2k(1-),故F=.
(2)均匀柱体对于点(0,0,c)(c>h)处的单位质量的引力;
解由对称性,=0,=0,
=K
=k
=2,
故F=
(3)均匀密度的正圆锥体(高h,底半径R)对于在它的顶点处的质量为m质点的引力;
解由对称性知==0,只需求,设顶点坐标为(0,0,h),=km,
由柱坐标变换(体V面在XOY面投影区域D:
),
=
则引力为
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