等腰三角形底边上任一点到两腰的距离之和等于一腰上的高证明.docx
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等腰三角形底边上任一点到两腰的距离之和等于一腰上的高证明.docx
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等腰三角形底边上任一点到两腰的距离之和等于一腰上的高证明
等腰三角形底边上任一点到两腰的距离之和等于一腰上的高证明
等腰三角形底边上任一点到两腰的距离之和等于一腰上的高证明
例一:
如图所示,已知△ABC中,AB=AC=8,P是BC上任意一点,PD⊥AB于点D,PE⊥AC点E,若△ABC的面积为14。
问:
PD+PE的值是否确定若能确定,是多少若不能确定,
请说明理由。
解:
三角形ABC的面积为14,所以PD+PE的值为定值。
由已知:
AB=AC=8,S(△ABC)=14,得
S(△ABC)=1/2*AB*PD+1/2*AC*PE=1/2*8*PD+1/2*8*PE)=14
1/2*8*(PD+PE)=14
PD+PE=14/4=3.5
即 PD+PE=3.5
这道题得出的结论是:
等腰三角形底边上任一点到两腰上的距离之和等于一腰上的高。
结论虽简单,我们又应当如何证明呢?
关于这道题的证明方法有很多种。
求证;等腰三角形底边上任一点到两腰的距离之和等于一腰上的高。
这是一道常见的几何证明问题,难度不大,但很经典,证明方法也很多。
已知:
等腰三角形ABC中,AB=AC,BC上任意点D,DE⊥AB,DF⊥AC,BH⊥AC
求证:
DE+DF=BH
证法一:
连接AD
则△ABC的面积=AB*DE/2+AC*DF/2=(DE+DF)*AC/2
而△ABC的面积=BH*AC/2
所以:
DE+DF=BH
即:
等腰三角形底边上任意一点到两腰的距离之和等于腰上的高
证法二:
作DG⊥BH,垂足为G
因为DG⊥BH,DF⊥AC,BH⊥AC
所以四边形DGHF是矩形
所以GH=DF
因为AB=AC
所以∠EBD=∠C
因为GD//AC
所以∠GDB=∠C
所以∠EBD=∠GDB
又因为BD=BD
所以△BDE≌△DBG(ASA)
所以DE=BG
所以DE+DF=BG+GH=BH
证法三:
提示:
过B作直线DF的垂线,垂足为M
运用全等三角形同样可证
另外运用三角函数也能进行证明
如果D在BC或CB的延长线上,有下列结论:
|DE-DF|=BH
问题:
这个问题的另外一个表达形式:
将此结论推广到等边三角形:
等边三角形中任意一点到三边的距离的和等于等边三角形的一条高。
证明的方法与上面的方法类似。
这是两条很有用的性质。
如果点在三角形外部,结论形式有所不同,道理是一样的
如图,已知等边三角形ABC和点P,设点P到三角形ABC三边AB\AC\BC(或其延长线)的距离分别为h1、h2、h3,三角形ABC的高为h。
解答提示:
如图,过P作BC的平行线交AB、AC的延长线于G、H,作HQ⊥AG
先证明PD+PE=HQ
(见:
)
而HQ=AN,FP=MN
所以PD+PE-PF
=AN-PF
=AM+MN-PF
=AM
即h1+h2-h3=h
另外一个变式问题:
已知:
如图,在△ABC中,∠C=90°,点D、P分别在边AC、AB上,且BD=AD,PE⊥BD,PF⊥AD,垂足分别为点E、F。
(1)当∠A=30°时,求证:
PE+PF=BC
(2)当∠A≠30°(∠A<∠ABC)时,试问以上结论是否依然正确?
如果正确,请加以证明:
如果不正确,请说明理由。
腰长5厘米底边长6厘米p是底边任意一点pd垂直于abpe垂直于ac垂足为depd+pe=
解:
作底边BC上的高AM,设腰上的高=h,连接PA
因为AB=AC=5,BC=6
所以BM=CM=3
所以根据勾股定理得AM=4
因为S△ABC=BC*AM/2=AB*h/2=12
所以h=24/5
因为S△ABC=S△ABP+S△ACP
=AB*PD/2+AC*PE/2
所以5*PD/2+5*PE/2=12
所以PD+PE=24/5
如图,点P是矩形ABCD的边AD上的一个动点,矩形的两天边长AB/BC分别为8和15,求点P到矩形的两条对角线AC和BD的距离之和。
解:
设AC、BD交于O,作AE⊥BD,PM⊥AC,PN⊥BD,连接OP
因为AB=8,BC=AD=15
所以根据勾股定理得BD=17
因为S△ABC=AB*AD/2=AE*BD/2
所以可得AE=120/17
因为四边形ABCD是矩形
所以OA=OD
因为S△OAD=S△OPA+S△OPD
=OA*PM/2+OD*PN/2
=(PM+PN)*OD/2
S△OAD=AE*OD/2
所以PM+PN=AE=120/17
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