弹性力学试题及标准答案样本.docx
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弹性力学试题及标准答案样本
弹性力学与有限元分析复习题及其答案
一・填空题
k弹性力学研究弹性体由于受外力作用、边界约束或温度改变等原因而发生的应力.形变和位移。
2、在弹性力学中规定,线应变以雌时为正,缩短时为负,与正应力的正负号规定相适应。
3、在弹性力学中规定,切应变以育角变小时为正,变左时为负,与切应力的正负号规定相适应。
4、物体受外力以后,其内部将发生内力,它的集度称为应力。
与物体的形变和材料强度直接有关的,杲应力在其作用截面的法线方向和切线方宜的分量,也棘杲正应力和切应力。
应力及其分量的量纲是
5、弹性力学的基本假定为连续性、完全弹性.均匀性、各向同性。
6、平面冋题分为平面应力冋题和平面应变冋题°
7、己知一点处的应力分量6=100MPa,6=50MPa,心.=10何MPa,则主应力(7,=150MPa, 8、己知一点处的应力分量,6=200MPa,crv=0MPa,乙广-400MPa,则主应力6=512MPa,6—312MPa,a.=-37°57zo 9、已知一点处的应力分量,o-r=-2000MPa, 10、在弹性力学里分析问题,要考虑静力学、几何学和物理学三方面条 件,分别建立三套方程。 11、表示应力分量与体力分量之间关系的方程为壬衡微分方程。 12、边界条件表示边界上位移与约束,或应力与面力之间的关系式。 分为位移边界条件、应力边界条件和混合边界条件。 13、按应力求解平面冋题时常采用逆解法和半逆解法。 14、有限单元法首先将连续体变换成为融化结狗,然后再用结构力学位移法讲行求解。 其具体步骤分为单元分析和整体分析两部分。 15、每个单元的位移一般总是包含着两部分: —部分杲由本单元的形变引起的,异一部分是由于其它单元发生了形变而连带引起的。 16、每个单元的应变一般总是包含着两部分: 一部分是与该单元中各点的位置坐标有关的,杲各点不相同的,即所谓变量应变;号一部分是与位置坐标无关的,是各点相同的,即所谓常量应变。 17、为了能从有限单元法得出正确的解答,位移模式必须能反映单元的刚体位移和常量应变,还应当尽可能反映相邻单元的位移连续性。 18、为了使得单元内部的位移保持连续,必须把位移模式取为坐标的单值连续函数,为了使得相邻单元的位移保持连续,就不但要使它们在公共结点外具有相同的位移吋,也能在整个公共边界上具有相同的位移。 19、在有限单元法中,单元的形函数M在i结点在其它结点及£M=lo 20、为了提高有限单元法分析的精度,一般能够采用两种方法: —是将单元的尺寸减小,以便较好地反映位移和应力变化情况;二杲采用句含 更高次项的位移模式,使位移和应力的精度提高。 2.判断题(请在正确命题后的括号内打”丿”,在错误命题后的括号内打”X”) 1、连续性假定杲指整个物体的体积都被组成这个物体的介质所填满,不留下任何空隙。 (丿) 5、如果某一问题中,只存在平面应力分量crv,Txy,且它们不沿z方向变化,仅为兀,y的函数,此冋题是平廂应力问题。 (丿) 6、如果某一问题中,£•.=/.,=/^.=0,只存在平面应变分量①,£、.,rxy,且它们不沿Z方向变化,仅为X,)',的函数,此问题是平廂应变问题。 (丿) 9、当物体的形变分量完全确定时,位移分量却不能完全确定。 (丿) 10、当物体的位移分量完全确定时,形变分量即完全确定。 (丿) K在有限单元法中,结点力是指结点对单元的作用力。 (丿) 15、在平廂三结点三角形单元的公共边界上应变和应力均有突变。 (丿) 3.分析计算题 K试写出无体力情况下平廁问题的应力分量存在的必要条件,并考虑下列平面问题的应力分量是否可能在弹「性体中存在。 (1)=Ax+By,a,=Cx+Dy,Txv=Ex+Fy; (2) 其中,4,B,C,D,E,F为常数。 解: 应力分量存在的必要条件杲必须满足下列条件: (1)在区域内的平衡 条件。 (1)此组应力分量满足相容方程。 为了满足平衡微分方程,必须D=E。 另外还应满足应力边界条件。 (2)为了满足相容方程,其系数必须满足A+B=O;为了满足平衡微分方程,其系数必须满足A=B=C/2。 上两式是矛唐的,因此,此组应力分量不可能存在。 2、己知应力分量(r=-Qxy~+Cxx: \ay=-^C2xyr,rxy=^C2yy-Cyx2y,体力不计,Q为常数。 试利用平衡微分方程求系数Cl,C2,C3。 解: 将所给应力分量代入平衡微分方程 -Qy2+3C]/-3C2y2-C,x2=O -3C2xy-2Cvvy=0 (3C-C3>2-te+3C2)y2=O (3C2+2C5)xy=O 由X,y的任意性,得 3C厂q=o 3C2+2C3=0 由此解得,g=¥,。 2=-¥,g=¥ o32 3.已知应力分量bfb、=—q,r,v=0,判断该应力分量是否满足平衡微 分方程和相容方程。 解: 将已知应力分量bfbff=0,代入平衡微分方程 dx 竺 dy 可知,已知应力分量m,…,0=0—般不满足平衡微分方程,只有 体力忽略不计时才满足。 按应力求解平直应力问题的相容方程: 筹©",)+鲁©"*2(1+”)篇 将已知应力分量6=-q,b、.=-g,代入上式,可知满足相容方程。 按应力求解平廂应变问题的相容方程: V、夕/V2d~Txy 豕b厂口碍1舐26_百6)_]_”喻 将已知应力分量6=-g,b、.=-g,f=0代入上式,可知满足相容方程。 4、试写出平面冋题的应变分量存在的必要条件,并考虑下列平⑥冋题的应变分量是否可能存在。 (1)£x=Axy,£>,=〃)',/Xy=c-Dv2; (2)£x=Ay2,sy=Bx2y,/x>=Cxy; 资料内容仅供您学习参考,如有不X之处,请联系改正或者删除。 (3)£x=0,巧.=0,yxy=Cxy; 其中,4,B,C,D为常数。 解: 应变分量存在的必要条件是满足形变协调条件,即 勿2dx2dxdy 将以上应变分量代入上廂的形变协调方程,可知: (1)相容。 (2)2A+2B.v=C(1分);这组应力分量若存在,则须满足: B=0,2A=CO (3)0=C;这组应力分量若存在,则须满足: C=0,则宁0,叨0,/x.v=°(1分)O 5、证明应力函数严竹卫能满足相容方程,并考察在如图所示的矩形板和坐标系中能解决什么问题(体力不计,/曲))。 J/r >小 1〜 解: 将应力函数严"代入相容方程 学+2*+学=0 dx4dx~dyrdyA 可知,所给应力函数严好2能满足相容方程。 由于不计体力,对应的应力分量为 件,上下左右四个边上的面力分别为: 6、证明应力函数处①能满足相容方程,并考察在如图所示的矩形板和坐标系中能解决什么问题(体力不计,曲0)。 解: 将应力函数輕“巧代入相容方程 学+2*+学=0dxAdx~dyrdyA 可知,所给应力函数鬥心能满足相容方程。 由于不计体力,对应的应力分量为 件,上下左右四个边上的面力分别为: 上边,y=~7,/=0,/7/=-1,A=-(rxv)日,fv=-(av)/,=0; ■v=-—v=~— 厶22 下边,y=|,2=0,m=l,fx=(r)„=-a,人=(bv)A=0; 7•y=_•丿y=— 乙-22 左边,X=_\/=-l,7/7=0,人=_(bj_/=o,/v=-(rxv)t=a\ 2'v=_2 右边,x=! -,/=1,7W=O,A=(bJ/=0,fy=(r)t=-ao 2-^2" 可见,在左右两边分别受有向下和向上的均布直力a,而在上下两边分别受有向右和向左的均布廁力為因此,应力函数鬥®'能解决矩形板受均布剪力的冋题。 试求应力分量。 解: 根据结构的特点和受力情况,能够假定纵向纤维 互不挤压,即设6=0。 由此可知 将上式代入应力函数所应满足的相容方程则可得 厶4〃十 这是y的线性方程,但相容方程要求它有无数多的解(全柱内的y值都应 该满足它),可见它的系数和自由项都应该等于零,即 这两个方程要求 /j(x)=Ar3+Bx2+Cx+I,f2(x)=Zh3+Ex2+Jx+K 代入应力函数表示式,并略去对应力分量无影响的一次项和常数项后,便得 0=y(Ay'+Bx2+Cx)+Dx'+Ex2 对应应力分量为 V莎$ =^-^=v(6Ax+2B)+6Dx+2E-pgydx^' 『議-WSY 以上常数能够根据边界条件确定。 左边,x=o,—“=o,沿y方向无面力,因此有 一g).q)=C=O 右边,x=b,/=1,m=0,沿y方向的面力为彳,因此有 (TQx=b=-3A什一2Bb=q 上边,y=o,/=o,,H=-1,没有水平面力,这就要求心在这部分边界上合成的主矢量和主矩均为零,即 将。 的表示式代入并考虑到C=o,则有 £(-3Ar2-2Bx)dx=-Ax3-Bx? R=—A/Z—劭2=0 而)‘、』0厶=0自然满足。 又由于在这部分边界上没有垂直面力,这就要 求5•在这部分边界上合成的主矢量和主矩均为零,即 [(6)v.odx=O,[(6)zxdx=O 将6•的表示式代入,则有 £(6Dx+2E)Ja=3Da-2+2E.r|: =3Db2+2Eb=0 j\6Dx+2E)xdx=2Dx3+Ex2\^=2Db3+Eh2=0 虽然上述结果并不严格满足上端庖处()=0)的边界条件,但按照圣维南原理,在稍远离)=0处这一结果应是适用的。 8、证明: 如果体力分量虽然不杲常量,但却是有势的力,即体力分量能 够表示为f~,A=--,其中V是势函数,则应力分量亦可用应力oxoy 函数表示为,k龚+V,k学+V,龚,试导出相应的相容方 dyOrdxdy 程。 证明: 在体力为有势力的情况下,按应力求解应力边界问题时,应力分量 6,f应当满足平衡微分方程 % oV门—n dx 6 V dx 6b, % s dy 卜dx dy (1分) 还应满足相容方程 并在边界上满足应力边界条件(1分)o对于多连体,有时还必须考虑位移单值条件。 首先考察平衡微分方程。 将其改写为 这是一个齐次微分方程组。 为了求得通解,将其中第一个方程改写为 根据微分方程理论,一定存在某一函数A(x,y),使得 同样,将第二个方程改写为 可见也一定存在某一函数B(兀j),使得 由此得 dxdy 因而又一定存在某一函数讽•“),使得 心,B西 dydx 代入以上各式,得应力分量 b仝+V,咕斗甘邑 '勿2>&2 为了使上述应力分量能同量满足相容方程,应力函数eg〉,)必须满足 —定的方程,将上述应力分量代入平面应力冋题的相容方程,得 简写为 将上述应力分量代入平面应变冋题的相容方程,得 简写为 9、如图所示三角形悬臂梁只受重力作用,而梁的密度为°,试用纯三次的应力函数求解。 解: 纯三次的应力函数为 (p=ax'+bx2y+cxy2+dy' 相应的应力分量表示式为 这些应力分量是满足平衡微分方程和相容方程的。 现在来考察,如果适当选择各个系数,是否能满足应力边界条件。 上边,尸0,/=0,也=-1,没有水平面力,因此有 对上端面的任意兀值都应成立,可见 b=0 同时,该边界上没有竖直⑥力,因此有 一9儿=6“%=0 对上端面的任意X值都应成立,可见 因此,应力分量能够简化为 ax=2cx+6dy,6・=-恣儿rx=-2cy (/cr+/wrvr)=0 (〃Q、+/rJ=0 \>x>^v=.vtana 由第一个方程,得 ~(2cv+6rZvtan 对斜廂的任意X值都应成立,这就要求-4c~6Jtan 2cxXanasina-p^xtanacosa=2cxtM\asii\a-pgxsina=0 对斜面的任意X值都应成立,这就要求 由此解得 2ctana-朋=0(1分) c=|/^cota(1分),〃=一瓠cot,a 从而应力分量为 a=pgxcota-lpgycQVa,6=-pg»%.=-怒ycota 设三角形悬臂梁的长为/,高为h,则⑺吨斗。 根据力的平衡,固定端对梁的约束反力沿x方向的分量为0,沿y方向的分量为-^pgiho因此,所求S在这部分边界上合成的主矢应为零,「应当合成为反力冷MO J(丁)t/y=J(/c^/cot [(G-)-Jy=^(rPSycot6Z\ly^~pgh2cota=-^pglh 可见,所求应力分量满足梁固定端的边界条件。 10、设有楔形体如图所示,左面铅直,右廂与铅直面成角S下端作为无限长,承受重力及液体压力,楔形体的密度为Q,液体的密度为血,试求应力分量。 解: 采用半逆解法。 首先应用量纲分析方法来假设应力分量的函数形式。 取坐标轴如图所示。 在楔形体的任意一点,每一个应力分量都将由两部分组成: 一部分由重力引起,应当与加成正比(g是重力加速度);另一部分由液体压力引起,应当与成正比。 另外,每一部分还与y有关。 由于应力的量纲是 资料内容仅供您学习参考,如有不X之处,请联系改正或者删除。 L*MT'2,pg和“g的量纲是L'2MT'2,&杲量纲一的 量,而x和y的量纲是L,因此,如果应力分量具有多项式的解答,那么它们的表示式只可能是ggx,切gy,CT,%2gy四项的组合,而其中的AB,C,£>是量纲一的量,只与q有关。 这就是说,各应力分量的表示式只可能是x和y的纯一次式。 其次,由应力函数与应力分量的关系式可知,应力函数比应力分量的长度量纲高二次,应该是x和y纯三次式,因此,假设 (p=ax3+bx2y+cxy2 相应的应力分量表示式为 6詈如咕罟-血6俶+2陌。 跖”-器一加-2巧 这些应力分量是满足平衡微分方程和相容方程的。 现在来考察,如果适当选择各个系数,是否能满足应力边界条件。 左0,A=o,/=-1,777=0,作用有水平廁力Cgy,因此有 一(6山=-6〃尸pgy 对左面的任意y值都应成立,可见 pig 6 同时,该边界上没有竖直面力,因此有 -(rtv).v-o=2cy=0 对左面的任意y值都应成立,可见因此,应力分量能够简化为 6=-Q2g)',b、=6o¥+”y-ogy,rxv=-2bx 斜面,A-ytan =cos—+a|=-sina、没有面力,因此有 0bv+〃2Z\・J=0 \xyx^xsylana (〃Q、.+/rJ=0 由第一个方程,得 -Qigycosa+2bytunasina=0 对斜廂的任意y值都应成立,这就要求 -/92gcosa+2/? tan«sin 由第二个方程,得 -(6©tana+2/? y-0gy)sina-2bytcmacosa=(-6dtanasincr-4Z? sina+p}gsina)y=0 对斜面的任意X值都应成立,这就要求 -6dtana-4/? +/? ]g=0 由此解得 从而应力分量为 bx=-p? gy,bv=(/7|gcoa—2QjgcoFak+(P! gcorQ—Q|g)y,rxy=-p2gxcova 第二种状态可瑕为弹性体受均旬压力p的状态(图3-1⑹),应力分量为6=67= 心=拦丄6十6•十6)=-上二"0,任何方向的正应变都是e="P,力EE、EE 尸作用点之间的距离为z,在第二种状态下这段距离的缩短为第二种状态边界 E 上面力为t2-=-p(nvn.,n.'),冬)为边畀法向方向,根振功的互等定理,有 —P耳丛,也就是说体积缩小"守几
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