第二章 二元关系.docx

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第二章二元关系

第二章二元关系

1.设A={1,2,3,4},A上二元关系R={（a,b）|a=b+2},xS={（x,y）|y=x+1ory=}2求R⋅S,S⋅R,S⋅R⋅S,S2,S3,S⋅Rc。

R⋅S={（3,2）,（4,3）,（4,1）}S⋅R={（2,1）,（3,2）}S⋅R⋅S={（2,2）,（3,3）,（3,1）}S2={（1,1）,（1,3）,（2,2）,（2,4）,（3,2）,（4,1）,（4,3）}S3={（1,2）,（1,4）,（2,1）,（2,2）,（2,3）,（3,1）,（3,3）,（4,2）,（4,4）}S⋅Rc={（1,4）,（2,3）,（4,4）}2．A={a,b,c,d,e,f,g,h}，给定A上关系R的关系图如下：

关系图如下：

图3－14求最小正整数ｍ，ｎ，ｍ＜ｎ，ｍ，ｎ，ｍ＜ｎ，使求最小正整数ｍ，ｎ，ｍ＜ｎ，使Ｒm＝Ｒn。

1Ｒ＝Ｒ16个自回路，这是因为R15是8个顶点以及8个自回路，相当于左图的点各走了当于左图的点各走了5圈，左图的点各走了3圈，R16就成了原来的R．３．证明：

证明：

（1）（IA）n=IA∀（a,a）∈IA,a∈A,（a,a）∈IA,...,（a,a）∈IA,

2n

∀（b,b）∈IA,b∈A,（b,b）∈IA.

n

22

（2）IA⋅R=R⋅IA=R∀（a,b）∈R,Qa,b∈A,（a,a）∈IA,（b,b）∈IA,∴（a,b）∈IA⋅R,（a,b）∈R⋅IA,即R⊆IA⋅R,R⊆R⋅IA;∀（a,b）∈IA⋅R,若（a,b）∉R,则（a,b）∉IA⋅R,矛盾,得IA⋅R⊆R;同理,R⋅IA⊆R.

事实上，有限时，复合，事实上，当|A|有限时，R与IA复合，相当于矩阵与有限时单位矩阵相乘，不会变化。

单位矩阵相乘，不会变化。

（3）（RUIA）n=IAURUR2U...URnn=1（RUIA）=IAUR;设（RUIA）k=IAURUR2U...URk（RUIA）k+1=（IAURUR2U...URk）（RUIA）=（RUR2U...URk+1）U（IAURUR2U...URk）=IAURUR2U...URkURk+1

４．判断下列等式是否成立（ＲＲ1,Ｒ2均是Ａ到Ｂ的判断下列等式是否成立（Ｒ,ＲＲ均是Ａ（Ｒ二元关系）二元关系）

（1）（R1UR2）c=R1UR2

c

c

对,（a,b）∈（R1UR2）c⇔（b,a）∈R1UR2⇔（b,a）∈R1or（b,a）∈R2⇔（a,b）∈R1or（a,b）∈R2

cc

⇔（a,b）∈R1UR2

c

c

（2）（R1IR2）c=R1IR2

c

c

对（a,b）∈（R1IR2）c⇔（b,a）∈R1IR2⇔（b,a）∈R1and（b,a）∈R2⇔（a,b）∈R1and（a,b）∈R2

cc

⇔（a,b）∈R1IR2

c

c

23

（3）（R1−R2）c=R1−R2

c

c

对（a,b）∈（R1−R2）c=（R1IR2）c⇔（b,a）∈R1IR2⇔（b,a）∈R1,（b,a）∉R2⇔（a,b）∈R1,（a,b）∉R2

ccccc

⇔（a,b）∈R1IR2=R1−R2

c

（4）（A×B）c=A×B否,例:

A={1,2},B={3,4},A×B={（1,3）,（2,3）,（1,4）,（2,4）}（A×B）c={（3,1）,（3,2）,（4,1）,（4,2）}（5）φc=φ否,φc与φ的定义域,值域对换了一下.（6）（R）c=（Rc）对,（a,b）∈（R）c⇔（b,a）∈R⇔（b,a）∉R⇔（a,b）∉Rc⇔（a,b）∈Rc（7）（R1⋅R2）c=R2⋅R1

cc

否,R2的定义域不一定与R1的值域相同.（8）如果R1⊆R2,则R1⊆R2

ccc

对,∀（a,b）∈R1,（b,a）∈R1⊆R2,（a,b）∈R2.

c

（9）如果R1⊂R2,则R1⊂R2

cc

c

对,∀（a,b）∈R1,（b,a）∈R1⊂R2,（a,b）∈R2,

c

QR1⊂R2,∃（c,d）∈R2,（c,d）∉R1,（d,c）∈R2,而（d,c）∉R1.

cc

24

（10）R1⋅R2=R2⋅R1否,R2的定义域不一定与R1的值域相同.

5.设R1,R2是集合A上的二元关系，如果R2⊆R1，上的二元关系，分别是自反闭包，对称闭包，其中r,s,t分别是自反闭包，对称闭包，传递闭包的记号。

试证明:

记号。

试证明

（1）r（R2）⊆r（R1）QR2⊆R1,IA⊆IA,∴R2UIA⊆R1UIA

（2）s（R2）⊆s（R1）QR2⊆R1,R2⊆R1

cccc

∴R2UR2⊆R1UR1

（3）t（R2）⊆t（R1）

QR2⊆R1⇒（R2）1⊆（R1）1（即R2UR2⊆R1UR1）

22

（a,b）∈R2⊆R1⊆（R1）12（a,b）∈（R2）1（a,b）∈R2,∃c∈A,（a,c）,（c,b）∈R2⊆R1,2（a,b）∈R1,（a,b）∈（R1）1∀（a,b）∈t（R2）,∃k,使（a,b）∈（R2）k⊆（R1）k⊆t（R1）.

6.设R1,R2,R3,R4分别是A到B，B到C，B到C，，，，的二元关系，证明Ｃ到D的二元关系，证明

（1）R1⋅（R2UR3）=R1⋅R2UR1⋅R3（x,y）∈R1⋅（R2UR3）

⇔∃z,（x,z）∈R1,（z,y）∈R2or（z,y）∈R3⇔∃z,（x,z）∈R1,（z,y）∈R2or（x,z）∈R1,（z,y）∈R3⇔（x,y）∈R1⋅R2or（x,y）∈R1⋅R3⇔（x,y）∈R1⋅R2UR1⋅R3

25

（2）R1⋅（R2IR3）⊆R1⋅R2IR1⋅R3∀（x,y）∈R1⋅（R2IR3）⇒∃z,（x,z）∈R1,（z,y）∈R2and（z,y）∈R3⇒∃z,（x,z）∈R1,（z,y）∈R2and（x,z）∈R1,（z,y）∈R3⇒（x,y）∈R1⋅R2and（x,y）∈R1⋅R3⇒（x,y）∈R1⋅R2IR1⋅R3

（3）（4）类

（1）

（2）证明。

类证明。

证明7.设R是A上的二元关系，证明对任意自然数m,n，上的二元关系，，

（1）Rm⋅Rn=Rm+n

（2）（Rm）n=Rm⋅n

由归纳定义：

由归纳定义：

（1）1）n=1,Rm+1=Rm⋅R2）假定Rm⋅Rn=Rm+n={（a,b）|∃c∈A,（a,c）∈Rm,（c,b）∈Rn}

Rm⋅Rn+1={（a,b）|∃c∈A,（a,c）∈Rm,（c,b）∈Rn+1}其中,Rn+1={（c,b）|∃d∈A,（c,d）∈Rn,（d,b）∈R}Rm⋅Rn+1={（a,b）|∃c,d∈A,（a,c）∈Rm,（c,d）∈Rn,（d,b）∈R}={（a,b）|∃d∈A,（a,d）∈Rm+n,（d,b）∈R}=Rm+n⋅R=R（m+n）+1=Rm+（n+1）

（2）1）n=1,Rm=Rm2）假定（Rm）n=Rm⋅n（Rm）n+1=（Rm）n⋅Rm=Rm⋅n⋅Rm由

（1）m⋅n+mR=Rm⋅（n+1）

8.设R是A上的二元关系，｜｜＝，证明存在上的二元关系，｜｜＝n，，｜A｜＝自然数s,t，使R=R,且0≤s

stn2

，其中定义

R={（a,a）|a∈A}。

0

26

0证:

R=（rij）n×n,rij=1

222

（ai,aj）∉R（ai,aj）∈R

至多有2n个不同的Rk（k∈N）出现,0≤k≤2n,由鸽洞原理,（2n+1）个Rk中必存在s,t,0≤s

2

.

9.R1，R2是Ａ上的二元关系，判别下列命题正确与否上的二元关系，判别下列命题正确与否

（1）如果R1，R2自反，则R1⋅R2也自反。

自反，也自反。

如果

对,∀a∈A,（a,a）∈R1,（a,a）∈R2,

∴（a,a）∈R1⋅R2

如果反自反，也反自反。

（2）如果R1，R2反自反，则R1⋅R2也反自反。

否,若（a,b）∈R1,（b,a）∈R2,（a,a）∈R1⋅R2

（3）如果R1，R2对称，则R1⋅R2也对称。

对称，也对称。

如果

否,例:

A={1,2,3},R1={（1,2）,（2,1）},R2={（2,3）,（3,2）},（1,2）∈R1,（2,3）∈R2,（1,3）∈R1⋅R2,而（3,1）∉R1⋅R2

（4）如果R1，R2反对称，则R1⋅R2也反对称。

反对称，也反对称。

如果

否,例:

A={1,2,3},

R1={（1,2）,（3,2）},R2={（2,3）,（2,1）},（1,2）∈R1,（2,3）∈R2,（1,3）∈R1⋅R2,（3,2）∈R1,（2,1）∈R2,（3,1）∈R1⋅R2

（5）如果R1，R2传递，则R1⋅R2也传递。

如果传递，也传递。

否,例:

A={1,2,3,4},R1={（1,1）,（2,3）},R2={（1,2）,（3,3）},（1,1）∈R1,（1,2）∈R2,（1,2）∈R1⋅R2,（2,3）∈R1,（3,3）∈R2,（2,3）∈R1⋅R2,但（1,3）∉R1⋅R2

10.设A={a,b,c}，以下分别给出一个P（A）上的二元设，上的二元关系，确定它们哪些是自反的，反自反的，对称的，关系，确定它们哪些是自反的，反自反的，对称的，反对称的，传递的。

反对称的，传递的。

27

P（A）={φ,{a},{b},{c},{a,b},{a,c},{b,c},{a,b,c}}φ（１）ｘ是ｙ的一个真子集的一个真子集

R1={（x,y）|x⊂y,x,y∈P（A）}

反自反，不对称，反对称，反自反，不对称，反对称，传递不相交（２）ｘ与ｙ不相交

R2={（x,y）|xIy=φ,x,y∈P（A）}不自反，也不反自反对称，不自反，也不反自反（φIφ=φ），对称，不传递（３）xUy=AR3={（x,y）|xUy=A,x,y∈P（A）}不自反，不自反，也不反自反{a,b,c}U{a,b,c}=A，

对称，不传递。

对称，不传递。

11.设R是A上二元关系，证明R是传递的当且仅当上二元关系，任（a,b）∈R2,∃C,（a,c）（c,b）∈R,由R传递∈∃∈由传递（a,b）∈R,∈2即R⊆R;若（a,b）∈R,（b,c）∈R,即（a,c）∈R2⊆R,∈∈∈传递。

所以R传递。

12.R是A上反对称的二元关系，问t（R）总是反对称上反对称的二元关系，总是反对称的吗？

010111否,例：

R=001,t（R）=11110011113．设R是A上的一个自反关系，证明当且仅当．上的一个自反关系，（a,b）和（a,c）属于R推出和属于推出（b,c）属于R时，R是一个等价属于关系。

关系。

所以对称；若（a,b）∈R，又自反∈，又自反（a,a）∈R,推出∈推出（b,a）∈R,所以对称；∈由对称（b,a）（b,c）∈R,推出推出（a,c）∈R,所以传若（a,b）（b,c）∈R,由对称∈∈∈所以传由对称性（b,a）（a,c）∈R,由传递性,（b,c）递。

R等价（a,b）（a,c）∈R,由对称性若等价,∈∈∈R。

。

14.设R是A上的一个对称和传递的关系，上的一个对称和传递的关系，证明如果对A中的每个a，，是一个等价关系。

在A中存在b，使得，使得（a,b）∈R，则R是一个等价关系。

∈，

R2⊆R。

∀a∈A,∃b∈A,（a,b）∈R,由对称性,（b,a）∈R,又由传递性,（a,a）∈R.

15.设R是A上的一个传递和自反的关系，设T是上的一个传递和自反的关系，A上的一个二元关系，使得当且仅当上的一个二元关系，使得当且仅当（a,b）和（b,a）同时和同时是一个等价关系。

属于R时，（a,b）∈T，证明T是一个等价关系。

∈，∀a（a,a）∈R,（a,a）∈R=>（a,a）∈T若（a,a）∈T,（a,b）（b,a）∈R,即（b,a）（a,b）∈R

28

=>（b,a）∈T∈若（a,b）（b,c）∈T,（a,b）（b,a）（b,c）（c,b）∈R=>（a,c）∈R,（c,a）∈R=>（a,c）∈T16.设R是A上一个二元关系，设上一个二元关系，S={（a,b）｜对某个C，（a,c）∈R且（c,b）∈R｝｜，∈∈｝证明如果R是等价关系，则Ｓ也是等价关系。

是等价关系，也是等价关系。

∀a,（a,a）∈R,（a,a）∈R=>（a,a）∈S若（a,b）∈S,存在c,（a,c）（c,b）∈R对称,所以（b,a）∈S由R对称（b,c）（c,a）∈R,所以若（a,b）（b,c）∈S存在d,e（a,d）（d,b）（b,e）（e,c）∈R传递（a,b）（b,c）∈R所以所以（a,c）∈S由R传递17.设R是A上的二元关系，对所有的xi,xj,xk∈A，上的二元关系，，为循环关系，如果xiRxj∧xjRxk⇒xkRxi，则称R为循环关系，是等价关系时，才是自反的和循环的。

（其中试证明当且仅当R是等价关系时，R才是自反的和循环的。

其中aRb（表示（a,b）∈Ｒ）表示∈。

等价,当然自反，则由传递性，R等价当然自反，如果xiRxj且xjRxk则由传递性，xiRxk,由对称性xkRxi，R是自反循环的；是自反,循环的；若（a,b）∈R,由R自反∀a,（a,a）∈R,又（a,b）∈R,由循环（b,a）∈R，对称，由循环，对称，由对称（a,c）∈R，若（a,b）（b,c）∈R，由循环∈，由循环（c,a）∈R,由对称，传递。

传递。

18．设R1，R2是A上二元关系，证明上二元关系，证明．

（1）r（R1UR2）=r（R1）Ur（R2）

（2）s（R1UR2）=s（R1）Us（R2）（3）t（R1UR2）⊇t（R1）Ut（R2）

（1）r（R1UR2）=（R1UR2）UIA=R1UIAUR2

=R1U（IAUIA）UR2=（R1UIA）U（IAUR2）=（R1UIA）U（R2UIA）=r（R1）Ur（R2）

（2）s（R1UR2）=（R1UR2）U（R1UR2）c

c=R1UR2UR1URc2c=（R1UR1）U（R2URc）=s（R1）Us（R2）2

（3）（R1UR2）2={（a,b）|∃c,（a,c）∈R1orR2,（c,b）∈R1orR2}

2=R1UR2UR1⋅R2UR2⋅R12

29

2R1UR2⊆（R1UR2）22

用归纳法可证R1UR2⊆（R1UR2）

nn

n

n→∞,可得t（R1）Ut（R2）⊆t（R1UR2）

19.设A={a,b,c,d},A上二元关系R={（a,b）,（b,a）,（b,c）,（c,d）}（１）用矩阵算法和作图法求r（R）,s（R）,t（R）。

。

（２）用Warshall算法求t（R）。

。

11r（R）=00

0100100001001100

1000110110s（R）=0101100100

010i=1101⇒010j=2000111i=3110⇒001j=200001001100

00111110t（R）=00011000

1100110000101100

11110100

1i=31⇒

0j=20

011i=2101⇒010j=1,200011i=411⇒01j=1,2,300

1100

1110

20.讨论正实数集上二元关系Ｒ的几何意义。

讨论正实数集上二元关系Ｒ的几何意义。

）Ｒ是自反的是自反的（１）Ｒ是自反的）Ｒ是对称是对称的（２）Ｒ是对称的）Ｒ是传递的是传递的（３）Ｒ是传递的提示：

以第一象限的点讨论）（提示：

以第一象限的点讨论）

（1）第一象限角平分线第一象限角平分线

（2）关于对角平分线对称的点对集合关于对角平分线对称的点对集合（3）若有P1（x1,y1）、P2（x2,y2）,若x2=y1,若有、必有第三个点P3（x1,y2）

30