高考福建卷理科数学试题精析详解.docx
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高考福建卷理科数学试题精析详解
普通高等学校招生全国统一考试(福建卷)
数学(理工农医类)
YCY本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,共150分,考试用时120
分钟.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回.祝各位考生考试顺利!
第I卷(选择题共60分)
注意事项:
1.答第I卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卡上.
2.每小题选出答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号.不能答在试题卷上.
一、选择题:
本大题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.复数z=
1的共轭复数是()
1-i
A.1+1i
B.1-1i
C.1-i
D.1+i
2222
解:
z=
1
1-i
=1+i,∴-=1-i22
选(B)
2.已知等差数列{an}中,a7+a9=16,a4=1,则a12的值是()
A.15B.30C.31D.64
解:
由a+a=16,得a8=8,∴d=8-1=7,∴a12=1+8×7=15,选(A)
798-444
3.在△ABC中,∠C=90°,AB=(k,1),AC=(2,3),则k的值是()
A.5B.-5C.3D.-3
22
解:
∵∠C=90°,∴CB⋅AC=0,∴(AB-AC)⋅AC=0,即((k-2,-2)·(2,3)=0,解得K=3,选(A)
4.已知直线m、n与平面α,β,给出下列三个命题:
①若m//α,n//α,则m//n;
②若m//α,n⊥α,则n⊥m;
③若m⊥α,m//β,则α⊥β.
其中真命题的个数是
(
)
A.0B.1C.2D.3
解:
②③命题为真命题,选(C)
5.函数f(x)=ax-b的图象如图,其中a、b为常数,则下列结论正确的是
(
)
A.a>1,b<0
B.a>1,b>0
C.00
D.0 解: 从曲线走向可知00, 即b<0,选(D) 6.函数y=sin(ωx+ϕ)(x∈R,ω>0,0≤ϕ<2π)的部分图象如图,则() A.ω= π,ϕ=π 24 B.ω= π,ϕ=π 36 C.ω= π,ϕ=π 44 T D.ω= π,ϕ=5π44 2πππ 解: 由图得 =2,∴T=8,由T= 4 得ω=,在y=sin( ω4 x+ϕ)中令x=1,y=1,得 4 ππππ +ϕ=2kπ+,ϕ=2kπ+,得ϕ=,选(C) 4244 7.已知p: |2x-3|<1,q: x(x-3)<0,则p是q的() A.充分不必要条件B.必要不充分条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件 解: 由|2x-3|<1,得-1 的子集,(0,3)也不是(-1,2)的子集,选(D)8.如图,长方体ABCD—A1B1C1D1中,AA1=AB=2, 案word版+微 购买1951年至今各地全部高考数学试卷及答信 AD=1,点E、F、G分别是DD1、AB、CC1的中点,则异面直线A1E与GF所成的角是() A.arccos15B.π 54 C.arccos10D.π 52 解: ∵GB1∥A1E,∠B1GF即为A1E与GF所成的角,B1G=== B1F== ∠B1GF=90°,选(D) =,GF= =,B1G2+FG2=B1F2∴ 9.从6人中选4人分别到巴黎、伦敦、悉尼、莫斯科四个城市游览,要求每个城市有一人 游览,每人只游览一个城市,且这6人中甲、乙两人不去巴黎游览,则不同的选择方案共有() A.300种B.240种C.144种D.96种 4 解: 分三种情况: 情况一,不选甲、乙两个去游览: 则有P4种选择方案,情况二: 甲、乙中有一 人去游览: 有C1C1C3P3种选择方案;情况三: 甲、乙两人都去游览,有C2C2C1P3种选择方 23432433 案,综上不同的选择方案共有P4+C1C1C3P3+C2C2C1P3=240,选(B) 423432433 x2 10.已知F1、F2是双曲线 a2 - y2 b2 =1(a>0,b>0)的两焦点,以线段F1F2为边作正三角形 MF1F2,若边MF1的中点在双曲线上,则双曲线的离心率是() A.4+2 B.-1 3+1 C. 2 D.+1 解: 设E是正三角形MF1F2的边MF1与双曲线的交点,则点E的坐标为(-c, ),代入双曲 22 线方程,并将c=ae代入,整理得e4-8e2+4=0,由e>! 解得e= +1,选(D) 11.设a,b∈R,a2+2b2=6,则a+b的最小值是() A.-2 B.-53 3 C.-3D.-72 解: a=6sinα,b=3cosα,则a+b=3sin(α+ϕ),其中ϕ=arctan 选(C) ∴a+b的最小值为-3. 2 2 12.f(x)是定义在R上的以3为周期的奇函数,且f (2)=0在区间(0,6)内解的个数的最小值是() A.2B.3C.4D.5 解: 由题意至少可得f(0)=f (2)=f(-2)=f(3)=f(-3)=f(-5)=f(5)=f (1)=f(4)=0,即在区间(0,6)内f(x)=0 的解的个数的最小值是5,选(D) 第Ⅱ卷(非选择题共90分) 二、填空题: 本大题共4小题,每小题4分,共16分,把答案填在答题卡的相应位置。 13.(2 - 1)6展开式中的常数项是(用数字作答)。 x 6 16-3r1 6 解: Tr+1=Cr(- 的常数项是240 )r(2 x x)6-r=Cr(-1)r26-rx2 ⎧2x+y-4≤0 令6-3r=0得r=2,故(2 x-)6展开式中 x ⎩ 14.非负实数x,y满足⎨x+y-3≤0 则x+3y的最大值为。 解: 如右图,在同一平面直角坐标系中画出下列曲线方程的图象: 2x+y-4=0(x≥0,y≥0)x+y-3=0(x≥0,y≥0) 它们分别是线段AB,CD 则非负实数x、y满足的不等式组 ⎧2x+y-4≤0 b, ⎩ ⎨x+y-3≤0 表示的区域为DMAO,令x+3y= 使直线系x+3y=b通过区域DMAO且使b为取得最大值,当且仅当直线x+3y=b过点D(0,3) 这时最大值b=9. 15.若常数b满足|b|>1,则lim n→∞ 1+b+b2++bn-1bn =. 解: lim 1+b+b2++bn-1 =lim 1-bn1-b =lim 1-bn =1lim bn-11 = n→∞bn n→∞bn n→∞bn(1-b) b-1n→∞bn b-1 16.把下面不完整的命题补充完整,并使之成为真命题: 若函数f(x)=3+log2x的图象与g(x)的图象关于对称,则函数g(x)= 。 解: 若函数f(x)=3+log2x的图象与g(x)的图象关于y=x对称,则函数g(x)=2x-3. (注: 填上你认为可以成为真命题的一件情形即可,不必考虑所有可能的情形). 三、解答题: 本大题共6小题,共74分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17.(本小题满分12分) 已知-π 2 5 (I)求sinx-cosx的值; 3sin2x-2sinxcosx+cos2x (Ⅱ)求2222的值. tanx+cotx 解: (Ⅰ)由 sinx+cosx=1 5 49 得(sinx+cosx)2= π (1)2 5 得2sinxcosx= 7 -24,∵ 25 (sinx-cosxx)2=1-2sinxcosx= 25 又- 25 3sin2x-xx+cos2x2sin2x-sinx+1 (Ⅱ) 2222=2=sinxcosx(2-cosx-sinx) tanx+cotx sinx+cosx =(-12)⨯(2-1)=-108255125 18.(本小题满分12分) cosxsinx 12 甲、乙两人在罚球线投球命中的概率分别为 与,投中得1分,投不中得0分. 25 (Ⅰ)甲、乙两人在罚球线各投球一次,求两人得分之和ξ的数学期望; (Ⅱ)甲、乙两人在罚球线各投球二次,求这四次投球中至少一次命中的概率;解: (Ⅰ)依题意,记“甲投一次命中”为事件A,“乙投一次命中”为事件B,则 P(A)=1,P(B)=2,P(A)=1,P(B)=3,甲、乙两人得分之和ξ的可取值为0、1、2,则ξ概率 2525 分布为 Eξ=0×3+1×1+2×1=9 102 510 9 答: 甲、乙两人在罚球线各投球一次,两人得分之和ξ的数学期望为 10 (Ⅱ)∵事件“甲、乙两人在罚球线各投球二次不命中”的概率是P=1⨯1⨯3⨯3=9 2255100 991 ∴甲、乙两人在罚球线各投球二次,至少有一次命中的概率为P=1-P=1- 91 = 100100 答: 甲、乙两人在罚球线各投球二次,至少有一次命中的概率为 19.(本小题满分12分) ax-6 . 100 已知函数f(x)= x2+b 的图象在点M(-1,f(x))处的切线方程为x+2y+5=0. (Ⅰ)求函数y=f(x)的解析式; (Ⅱ)求函数y=f(x)的单调区间. 解: (Ⅰ)由函数f(x)的图象在点(-1,f(-1))处的切线方程为x+2y+5=0,知-1+2f(-1)+5=0,即 ⎧-a-6=-2 f(-1)=-2,f'(-1)= -1.∵f 2 '(x)= a(x2+b)-2x(ax-6)(x2+b)2 ⎪1+b ∴⎨a(1+b)+2(-a-6)1 =- ⎧a=2b-4 ⎪ ⎩⎪(1+b)22 即⎨a(1+b)-2(a+6)=-1解得a=2,b=3(∵b+1≠0,∴b=-1舍去) ⎩⎪(1+b)2 2 2x-6 ∴所求函数y=f(x)的解析式是y= x2+3 (Ⅱ)f '(x)= -2x2+12x+6(x2+3)2 令-2x2+12x+6=0,解得x1=3-2 x2=3+2 当x<3-2 或x>3+2 2x-6 时,f'(x)<0;当3-2 所以f(x)= x2+3 在(-∞,3-2 )内是减函数;在(3-2 3+2 )内是增函数; 在(3+2 +∞)内是减函数 20.(本小题满分12分) 如图,直二面角D—AB—E中,四边形ABCD是边长为2的正方形,AE=EB,F为CE 上的点,且BF⊥平面ACE. (Ⅰ)求证AE⊥平面BCE; (Ⅱ)求二面角B—AC—E的大小; (Ⅲ)求点D到平面ACE的距离. 解法一: (Ⅰ)∵BF⊥平面ACE,∴BF⊥AE,∵二面角D-AB-E为直二面角,且CB⊥AB, ∴CB⊥平面ABE,∴CB⊥AE,∴AE⊥平面BCE (Ⅱ)连结BD交AC于G,连结FG,∵正方形ABCD边长为2,∴BG⊥AC,BG=, ∵BF⊥平面ACE,由三垂线定理的逆定理得FG⊥AC,∴∠BCF是二面角B-AC-E的平面角, 由(Ⅰ)AE⊥平面BCE,∴AE⊥EB.又∵AE=EB,∴在等腰直角三角形中,BE=. BC⋅BE 又∵直角三角形BCE中,EC= =,BF=== EC3 23 BF366 ∴直角三角形BFG中,sin∠BGF===,∴二面角B-AC-E等于arcsin. BG233 (Ⅲ)过E作EO⊥AB交AB于O,OE=1,∵二面角D-AB-E为直二面角,∴EO⊥平面ABCD. 设D到平面ACE的距离为h,∵VD-ACE=VE-ACD,∴3SACE⋅h=3SACD⋅EO. 1AD⋅BC⋅EO1⨯2⨯2⨯1 ∵AE⊥平面BCE,∴AE⊥EC.∴h=2=2=23. 1AE⋅EC1⨯2⨯63 22 ∴点D点D到平面ACE的距离为. 3 解法二: (Ⅰ)同解法一. (Ⅱ)以线段AB的中点为原点O,OE所在直线为x轴,AB所在直线为y轴,过O点平行于AD 的直线为z轴,建立空间直角坐标系O-xyz,如图 ∵AE⊥平面BCE,BE⊂面BCE,∴AE⊥BE,在直角三角形AEB中,AB=2,O为AB的中点 ∴OE=1,A(0,-1,0),E(1,0,0),C(0,1,2),AE=(1,1,0),AC=(0,2,2) ⎧ ⎪AE⋅n=0 ⎧x+y=0 ⎧y=-x, 设平面AEC的一个法向量n=(x,y,z),则⎨即⎨2y+2z=0,解得⎨z=x. ⎪⎩AC⋅n=0,⎩⎩ 令x=1,得n=(1,-1,1)是平面EAC的一个法向量,又平面BAC的一个法向量为m=(1,0,0), m⋅n ∴cos(m,n)= |m|⋅|n| =1= 3 ∴二面角B-AC-E的大小为arccos. 3 (Ⅲ)∵AD∥z轴,AD=2,∴AD=(0,0,2),∴点D到平面ACE的距离 |AD⋅n|2 d=|AD|⋅|cos〈AD⋅n〉|===. |n|3 21.(本小题满分12分)已知方向向量为v=(1, )的直线l过点(0,-2 x2y2 )和椭圆C: + a2b2 =1(a>b>0) 的焦点,且椭圆C的中心关于直线l的对称点在椭圆C的右准线上. (Ⅰ)求椭圆C的方程; (Ⅱ)是否存在过点E(-2,0)的直线m交椭圆C于点M、N,满足OM⋅ON=46, 3 cot∠MON≠0(O为原点).若存在,求直线m的方程;若不存在,请说明理由. 解: (Ⅰ)由题意可得直线ι: y=3x-2,① 过原点垂直ι的方程为y=- 3 3x,② 3 解①②得x= 2 .∵椭圆中心O(0,0)关于直线ι的对称点在椭圆C的右准线上, 2 ∴2⨯=3.∵直线ι过椭圆焦点,∴该焦点坐标为(2,0). c2 2 ∴a2=6,c=2,b2=2,故椭圆C的方程为xy1.③ 62 (Ⅱ)设M(x1,y1),N(x2,y2),当直线m不垂直x轴时,直线m: y=k(x+2)代入③,整理得 (3k2+1)x2+12k2x+12k2-6=0,则x1+x2=- 12k2 3k2+1 x1x2= 12k2-6 3k2+1 |MN|= = |2k| 4 3k2+1 点O到直线MN的距离d=.∵OM⋅ON= 1+k23 6cot∠MON,即 |OM|⋅|ON|cos∠MON= 46cos∠MON 3sin∠MON 4 ≠0, 2 ∴|OM|⋅|ON|sin∠MON= 3 6,∴SOMN=3 6,∴|MN|⋅d=, 即4|k| =46(1+3k2).整理得k2=1,∴k=±3. 333 当直线m垂直x轴时,也满足SOMN= 故直线m的方程为y=x+ 33 或y=- x-或x=-2. 33 经检验上述直线均满足OM⋅ON≠0. 所在所求直线方程为y= 22.(本小题满分14分) 3x+23,或y=- 33 3x-23或x=-2.. 33 已知数列{an}满足a1=a,an+1=1+1 an 我们知道当a取不同的值时,得到不同的数列,如 当a=1时,得到无穷数列: 1,2, 3,5 23 ;当a=- 1 时,得到有穷数列: - 2 1,-1,0. 2 (Ⅰ)求当a为何值时a4=0; (Ⅱ)设数列{bn}满足b1=-1,bn+1= bn -1(n∈N+),求证a取数列{bn}中的任一个数, 都可以得到一个有穷数列{an}; (Ⅲ)若2 1a+1 12a+1 13a+1 解: (Ⅰ)∵a1=a,∴1+=a2,∴a2= a1 a,a3=1+a= a+1 a4=1+ 3 =, 2a+1 故当a=-3时,a4=0 11 (Ⅱ)∵b1=-1,bn+1=b-1,∴bn=b +1, nn+1 1 当a=b1时,a1=1+=0 b1 当a=b2时,a2=1+ b2 =b1,∴a2=0, 111 当a=b3时,a3=1+=b2,∴a3=1+ b3a =1+ 2b2 =b1,∴a4=0, …… 一般地,当a=bn时,an+1=0,可得一个含育n+1项的有穷数列a1,a2,a3,…,an+1. 可用数学归纳法加以证明: 1当n=1时,a=b1,显然a2=0,得到一个含2项的有穷数列a1,a2. 2假设当n=k时,a=bk,得到一个含有k+1项的有穷数列a1,a2,a3,…,ak+1,其中ak+1=0,则n=k+1 1 时.a=bk+1,∴a2=1+ bk+1 =bk. 由假设可知,可得到一个含有k+1项的有穷数列a2,a3,…,ak+2,其中ak+2=0. 由①②知,对一切n∈N+,命题都成立. 331 (Ⅲ)要使2 3 n-1 <2,,∴1 3 ∴要使2 33 ∴只须当a4∈(2,2),都有an∈(2,2)(n≥5). 3a+233a+2 由a4=2a+1,得2<2a+1<2, ⎧3<3a+2 ⎧a>-1 解不等式组⎪22a+1得⎪2 3a+2 故a>0. 1 ⎪<2 ⎩2a+1 ⎪a>0或a<- ⎩2
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