高中数学人教a版选修44创新应用教学案 第二讲 第2节 第1课时 椭圆的参数方程 含答案.docx
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高中数学人教a版选修44创新应用教学案第二讲第2节第1课时椭圆的参数方程含答案
第1课时 椭圆的参数方程
[核心必知]
椭圆的参数方程
中心在原点,焦点在x轴上的椭圆
+
=1的参数方程是
(φ是参数),规定参数φ的取值范围是[0,2π).
[问题思考]
1.中心在原点,焦点在y轴上的椭圆
+
=1的参数方程是什么?
提示:
由
得
即参数方程为
(φ为参数).
2.圆的参数方程
中参数θ的意义与椭圆的参数方程中参数φ的意义相同吗?
提示:
圆的参数方程:
(θ为参数)中的参数θ是动点M(x,y)的旋转角,但在椭圆的参数方程
(φ为参数)中的参数φ不是动点M(x,y)的旋转角,它是点M所对应的圆的半径OA=a(或OB=b)的旋转角,称为离心角,不是OM的旋转角.
已知椭圆
+
=1有一内接矩形ABCD,求矩形ABCD的最大面积.
[精讲详析] 本题考查椭圆的参数方程的求法及应用.解答此题需要设出A点的坐标,然后借助椭圆的对称性即可知B、C、D的坐标,从而求出矩形的面积的表达式.
∵椭圆方程为
+
=1,
∴可设A点的坐标为(10cosα,8sinα).
则|AD|=20|cosα|,|AB|=16|sinα|,
∴S矩形=|AB|·|AD|=20×16|sinα·cosα|=160|sin2α|.
∵|sin2α|≤1,
∴矩形ABCD的最大面积为160.
利用椭圆的参数方程求函数(或代数式)最值的一般步骤为:
(1)求出椭圆的参数方程;
(2)利用椭圆中的参数表示已知函数(或代数式);
(3)借助三角函数的知识求最值.
1.已知实数x,y满足
+
=1,求目标函数z=x-2y的最大值与最小值.
解:
椭圆
+
=1的参数方程为
(φ为参数).
代入目标函数得
z=5cosφ-8sinφ=
cos(φ+φ0)
=
cos(φ+φ0)(tanφ0=
).
所以目标函数zmin=-
,zmax=
.
已知A,B分别是椭圆
+
=1的右顶点和上顶点,动点C在该椭圆上运动,求△ABC的重心G的轨迹方程.
[精讲详析] 本题考查椭圆的参数方程及轨迹方程的求法.解答此题需要先求出椭圆的参数方程,即C点的坐标,然后利用重心坐标公式表示出重心G的坐标即可求得轨迹.
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