全等三角形的判定常考典型例题及练习.docx
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全等三角形的判定常考典型例题及练习
全等三角形的判定
1、知识点复习
①“边角边”定理:
两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等。
(SAS)
图形分析:
书写格式:
在△ABC和△DEF中
∴△ABC≌△DEF(SAS)
②“角边角”定理:
两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等。
(ASA)
图形分析:
书写格式:
在△ABC和△DEF中
∴△ABC≌△DEF(ASA)
③“角角边”定理:
两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等。
(AAS)
图形分析:
书写格式:
在△ABC和△DEF中
∴△ABC≌△DEF(AAS)
④“边边边”定理:
三边对应相等的两个三角形全等。
(SSS)
图形分析:
书写格式:
在△ABC和△DEF中
∴△ABC≌△DEF(AAS)
⑤“斜边、直角边”定理:
斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。
(HL)
图形分析:
书写格式:
在△ABC和△DEF中
∴△ABC≌△DEF(HL)
一个三角形共有三条边与三个角,你是否想到这样一问题了:
除了上述四种识别法,还有其他的三角形全等识别法吗?
比如说“SSA”、“AAA”能成为判定两个三角形全等的条件吗?
两个三角形中对应相等的元素
两个三角形是否全等
反例
SSA
AAA
二、常考典型例题分析
第一部分:
基础巩固
1.下列条件,不能使两个三角形全等的是( )
A.两边一角对应相等B.两角一边对应相等C.直角边和一个锐角对应相等D.三边对应相等
2.如图,点D,E分别在线段AB,AC上,CD与BE相交于O点,已知AB=AC,现添加以下的哪个条件仍不能判定△ABE≌△ACD( )
A.∠B=∠CB.AD=AEC.BD=CED.BE=CD
3.下列各图中a、b、c为三角形的边长,则甲、乙、丙三个三角形和左侧△ABC全等的是( )
A.甲和乙B.乙和丙C.甲和丙D.只有丙
4.如图,E,B,F,C四点在一条直线上,EB=CF,∠A=∠D,再添一个条件仍不能证明△ABC≌△DEF的是( )
A.AB=DEB.DF∥ACC.∠E=∠ABCD.AB∥DE
5.如图,已知∠ABC=∠DCB,下列所给条件不能证明△ABC≌△DCB的是( )
A.∠A=∠DB.AB=DCC.∠ACB=∠DBCD.AC=BD
6.如图,∠AOB是一个任意角,在边OA,OB上分别取OM=ON,移动角尺,使角尺两边相同的刻度分别与M,N重合,过角尺顶点C的射线OC便是∠AOB的平分线OC,作法用得的三角形全等的判定方法是( )
A.SASB.SSSC.ASAD.HL
第二部分:
考点讲解
考点1:
利用“SAS”判定两个三角形全等
1.如图,A、D、F、B在同一直线上,AD=BF,AE=BC,且AE∥BC.求证:
△AEF≌△BCD.
2.如图,AB=AC,AD=AE,∠BAC=∠DAE.求证:
△ABD≌△ACE.
考点2:
利用“SAS”的判定方法解与全等三角形性质有关的综合问题
3.已知:
如图,A、F、C、D四点在一直线上,AF=CD,AB∥DE,且AB=DE,求证:
考点3:
利用“SAS”判定三角形全等解决实际问题
4.有一座小山,现要在小山A、B的两端开一条隧道,施工队要知道A、B两端的距离,于是先在平地上取一个可以直接到达A和B的点C,连接AC并延长到D,使CD=CA,连接BC并延长到E,使CE=CB,连接DE,那么量出DE的长,就是A、B的距离,你能说说其中的道理吗?
考点4:
利用“ASA”判定两个三角形全等
5.如图,已知AB=AD,∠B=∠D,∠1=∠2,求证:
△AEC≌△ADE.
6.如图,∠A=∠B,AE=BE,点D在AC边上,∠1=∠2,AE和BD相交于点O.求证:
△AEC≌△BED;
考点6:
利用“ASA”与全等三角形的性质解决问题:
7.如图,已知EC=AC,∠BCE=∠DCA,∠A=∠E;求证:
BC=DC
考点7:
利用“SSS”证明两个三角形全等
8.如图,A、D、B、E四点顺次在同一条直线上,AC=DF,BC=EF,AD=BE,求证:
△ABC≌△EDF.
考点8:
利用全等三角形证明线段(或角)相等
9.如图,AE=DF,AC=DB,CE=BF.求证:
∠A=∠D.
考点9:
利用“AAS”证明两个三角形全等
10.如图,在△ABC中,AB=AC,BD⊥AC,CE⊥AB,求证:
△ABD≌△ACE.
考点10:
利用“AAS”与全等三角形的性质求证边相等
11.(2017秋•娄星区期末)已知:
如图所示,△ABC中,∠ABC=45°,高AE与高BD交于点M,BE=4,EM=3.
(1)求证:
BM=AC;
(2)求△ABC的面积.
考点11:
利用“HL”证明两三角形全等
12.如图,在△ABC中,D是BC边的中点,DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别为E、F,且DE=DF。
求证:
∠B=∠C.
13.已知:
BE⊥CD,BE=DE,BC=DA,求证:
①△BEC≌△DEA;②DF⊥BC
第三部分:
能力提升
难点1:
运用分析法进行几何推理
14.如图所示,在△ABC中,D是BC的中点,DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别是点E,F,且BE=CF,求证:
AD是△ABC的角平分线.
15.如图,已知≌,,与相交于点,连接,.求证:
。
难点2:
利用三角形全等探索线段或角之间的关系
15.在△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,直线MN经过点C,且AD⊥MN于D,BE⊥MN于E.
(1)当直线MN绕点C旋转到图1的位置时,求证:
①△ADC≌△CEB;②DE=AD+BE;
(2)当直线MN绕点C旋转到图2的位置时,求证:
DE=AD-BE;
(3)当直线MN绕点C旋转到图3的位置时,试问DE,AD,BE具有怎样的等量关系?
请写出这个等量关系,并加以证明.
第四部分:
课后作业
1.选择题
1.如图,将两根钢条AA′、BB′的中点O连在一起,使AA′、BB′能绕着点O自由转动,就做成了一个测量工具,由三角形全等可知A′B′的长等于内槽宽AB,那么判定△OAB≌△OA′B′的理由是( )
A.SASB.ASAC.SSSD.AAS
2.如图,已知CD⊥AB于点D,BE⊥AC于点E,CD、BE交于点O,且AO平分∠BAC,则图中的全等三角形共有( )
A.1对B.2对C.3对D.4对
3.如图,点A在DE上,AC=CE,∠1=∠2=∠3,则DE的长等于( )
A.DCB.BCC.ABD.AE+AC
4.如图,点B、F、C、E在一条直线上,AC=DF,BF=CE,那么添加下列一个条件后,仍无法判断△ABC≌△DEF的是( )
A.∠A=∠D=90°B.∠BCA=∠EFDC.∠B=∠ED.AB=DE
5.如图,∠ACB=90°,AC=BC,AD⊥CE,BE⊥CE,若AD=3,BE=1,则DE=( )
A.1B.2C.3D.4
6.(2017秋•蓬溪县期末)如图,OA=OB,∠A=∠B,有下列3个结论:
①△AOD≌△BOC,②△ACE≌△BDE,③点E在∠O的平分线上,其中正确的结论是( )
A.只有①B.只有②C.只有①②D.有①②③
二.填空题
7.(2017秋•怀柔区期末)如图,AB=AC,点D,E分别在AB,AC上,CD,BE交于点F,只添加一个条件使△ABE≌△ACD,添加的条件是:
。
8.(2017秋•平邑县期末)如图所示,AB=AC,AD=AE,∠BAC=∠DAE,∠1=25°,∠2=30°,则∠3=.
9.(2017秋•浠水县期末)如图,点D在BC上,DE⊥AB于点E,DF⊥BC交AC于点F,BD=CF,BE=CD.若∠AFD=145°,则∠EDF=。
10.(2017秋•上杭县期中)如图,在△PAB中,PA=PB,M,N,K分别是PA,PB,AB上的点,且AM=BK,BN=AK,若∠MKN=44°,则∠P的度数为。
11.(2017春•建平县期末)小明不慎将一块三角形的玻璃摔碎成如图所示的四块(即图中标有1、2、3、4的四块),你认为将其中的哪一块带去,就能配一块与原来一样大小的三角形?
应该带第块.
12.如图,AC=BC,DC=EC,∠ACB=∠ECD=90°,且∠EBD=42°,则∠AEB=。
13.(2017秋•老河口市期中)如图,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,分别过点B,C作过点A的直线的垂线BD,CE,若BD=4cm,CE=3cm,则DE=cm.
14.(2017春•滕州市校级月考)如图,AD=BD,AD⊥BC,垂足为D,BF⊥AC,垂足为F,BC=6cm,DC=2cm,则AE=cm.
15.(2017秋•湛江期末)如图为6个边长相等的正方形的组合图形,则∠1+∠2+∠3=°
16.(2016秋•费县期中)如图,在3×3的正方形网格中,∠1+∠2+∠3+∠4+∠5=。
三.解答题
17.如图,△ABC和△CDE都是等边三角形,且B,C,D三点共线,连接AD,BE相交于点P,求证:
BE=AD
18.(2017秋•上杭县期中)如图:
在△ABC,AB=AC,BD⊥AC于D,CE⊥AB于E,BD、CE相交于F.求证:
AF平分∠BAC.
19.如图四边形ABCD中,AD//BC,,BD=BC,于点.求证:
.
20.已知:
如图,BF⊥AC于点F,CE⊥AB于点E,且BD=CD。
求证:
(1)△BDE≌△CDF;
(2)点D在∠A的平分线上
21.已知,如图在△ABC中,AC=BC,AC⊥BC,直线EF交AC于F,交AB于E,交BC的延长线于D,且CF=CD,连接AD、BF,则AD与BF之间有何关系?
请证明你的结论.
22.已知等边三角形ABC中,BD=CE,AD与BE相交于点P,求∠APE的大小。
参考答案:
第一部分:
基础巩固
1
2
3
4
5
6
A
D
B
A
D
B
第二部分:
考点讲解
略
第三部分:
能力提升
略
第四部分:
课后作业
一.选择题
1
2
3
4
5
6
A
D
C
C
B
D
2.填空题
6.;答案不唯一8.;9.;10.;
11.②;12.;13.7;14.2;15.;16.。
3.解答题
略
8、这个世界并不是掌握在那些嘲笑者的手中,而恰恰掌握在能够经受得住嘲笑与批忍不断往前走的人手中。
9、障碍与失败,是通往成功最稳靠的踏脚石,肯研究、利用它们,便能从失败中培养出成功。
10、在真实的生命里,每桩伟业都由信心开始,并由信心跨出第一步。
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