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最经典总结函数图象
◆高考导航·顺风启程◆
最新考纲
1.在实际情境中,会根据不同的需要选择图象
法、列表法、解析法表示函数.
2.会运用函数图象理解和研究函数的性质,解
决方程解的个数与不等式的解的问题.
函数图象
常见题型
图象是高考的一个热点,常以选择题,填空
题形式出现,中、低档题,占 5 分.
[知识梳理]
1.利用描点法作函数图象
其基本步骤是列表、描点、连线.首先:
①确定函数的定义域;②化简函数解析式;③
讨论函数的性质(奇偶性、单调性、周期性、对称性等);其次:
列表(尤其注意特殊点、零点、
最大值点、最小值点、与坐标轴的交点等),描点,连线.
2.图象变换
(1)平移变换
(2)对称变换
于 轴对
于 轴对
③y=f(x)关于 ― 对称y=-f(-x);
=x
边图象
关于y轴对称的图象
(3)伸缩变换
①y=f(x)错误!
y=f(ax).
a>1,纵坐标伸长为原来的a倍,横坐标不变
af(x) .
(4)翻转变换
――→
①y=f(x)的图象x轴下方部分翻折到上方y=|f(x)|的图象;
x轴及上方部分不变
y轴右侧部分翻折到左侧
[知识感悟]
1.辨明两个易误点
y
(1)在解决函数图象的变换问题时,要遵循“只能对函数关系式中的 x, 变换”的原则,
11
如从 f(-2x)的图象到 f(-2x+1)的图象是向右平移2个单位,其中是把 x 变成 x-2.
(2)明确一个函数的图象关于 y 轴对称与两个函数的图象关于 y 轴对称的不同,前者是
自身对称,且为偶函数,后者是两个不同函数的对称关系.
2.会用两种数学思想
数形结合思想和函数与方程的思想
借助函数图象,可以研究函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、对称性等性质;利用
函数的图象,还可以判断方程 f(x)=g(x)的解的个数、求不等式的解集等.
[知识自测]
1.判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)函数 y=2|x|的图象关于直线 x=0 对称.()
(2)当 x∈(0,+∞)时,函数 y=|f(x)|与 y=f(|x|)的图象相同.()
(3)函数 y=f(x)与 y=-f(x)的图象关于原点对称.()
(4)若函数 y=f(x)满足 f(1+x)=f(1-x),则函数 f(x)的图象关于直线 x=1 对称.()
(5)将函数 y=f(-x)的图象向右平移 1 个单位得到函数 y=f(-x-1)的图象.
[答案]
(1)√
(2)×(3)×(4)√(5)×
2.函数 y=⎨
⎪2x-1,x≥0
的图象大致是( )
[解析]当 x<0 时,函数的图象是抛物线;当 x≥0 时,只需把 y=2x 的图象在 y 轴右
侧的部分向下平移 1 个单位即可,故大致图象为 B.
[答案]B
3.已知函数 f(x)=⎨
⎪2x(x≤0),
且关于 x 的方程 f(x)-a=0 有两个实根,则实数 a 的
取值范围是________.
[解析]当 x≤0 时,0<2x≤1,要使方程 f(x)-a=0 有两个实根,即函数 y=f(x)与 y=
a 的图象有两个交点,所以由图象可知 0<a≤1.
[答案](0,1]
题型一作函数图象(基础保分题,自主练透)
作出下列函数的图象:
1
(2)y=|log2(x+1)|;
2x-1
x-1
(4)y=x2-2|x|-1.
11
⎛1⎫⎛1⎫
部分.
(2)将函数 y=log2x 的图象向左平移 1 个单位,再将 x 轴下方的部分沿 x 轴翻折上去,
即可得到函数 y=|log2(x+1)|的图象,如图.
2x-111
(3)∵y=x-1,故函数图象可由 y=x的图象向右平移 1 个单位,再向上平移
2 个单位而得,如图.
(4)∵y=⎨
⎪x2+2x-1,x<0
且函数为偶函数,先用描点法作出 [0,+∞)上的图象,
再根据对称性作出(-∞,0)上的图象,即得函数图象如图.
方法感悟
函数图象的画法
1.直接法:
当函数表达式(或变形后的表达式)是熟悉的基本函数时,就可根据这些函
数的特征找出图象的关键点直接作出图象.
2.转化法:
含有绝对值符号的函数,可脱掉绝对值符号,转化为分段函数来画图象.
3.图象变换法:
若函数图象可由某个基本函数的图象经过平移、翻折、对称得到,可
利用图象变换作出,但要注意变换顺序,对不能直接找到熟悉的基本函数的要先变形,并应
注意平移变换的顺序对变换单位及解析式的影响.
【针对补偿】
1.分别画出下列函数的图象:
(1)y=|lg(x-1)|;
(2)y=2x+1-1;
(3)y=x2-|x|-2.
[解]
(1)首先作出 y=lg x 的图象 C1,然后将 C1 向右平移 1 个单位,得到 y=lg(x-1)
的图象 C2,再把 C2 在 x 轴下方的图象作关于 x 轴对称的图象,即为所求图象 C3:
y=|lg(x
-1)|.如图 1 所示(实线部分).
(2)y=2x+1-1 的图象可由 y=2x 的图象向左平移 1 个单位,得 y=2x+1 的图象,再向下
平移一个单位得到,如图 2 所示(实线部分).
⎧⎪x2-x-2(x≥0),
⎩
(3)y=x2-|x|-2=⎨
⎪x2+x-2(x<0),
其图象如图 3 所示.
题型二函数图象的识别(高频考点题,多角突破)
考向一借助实际问题情境探究函数图象
1.(2018·昆明模拟)如图是张大爷离开家
晨练过程中离家距离 y 与行走时间 x 的函数 y=f(x)的图象.若用黑点表示张大爷家的位
置,则张大爷行走的路线可能是()
[解析]由图象知,张大爷晨练时,离家的距离 y 随行走时间 x 的变化规律是先匀速增
加,中间一段时间保持不变,然后匀速减小.
[答案]D
考向二借助动点探究函数图象
2.(2018·北京市东城区二模)动点 P 从点 A 出发,按逆时针方向沿周长为 l 的平面图形
运动一周,
A、P 两点间的距离与动点所走过的路程 x 的关系如图所示,那么动点 P 所走的图形可
能是()
[解析]由题意可知:
对于 A、B,当位于 A,B 图形时,函数变化有部分为直线关系,
不可能全部是曲线,
由此即可排除 A、B,对于 D,其图象变化不会是对称的,由此排除 D,故选 C.
[答案]C
考向三同一坐标下辨析不同函数的图象
(
3.
(1)在同一坐标系中画出函数 y=logax,y=ax,y=x+a 的图象,可能正确的是 )
a
3
象可能是()
[解析]
(1)当 a>1 时,A 中的直线位置错误,排除 A;D 中的三个函数图象都正确;
当 0<a<1 时,B 中的直线位置错误,排除 B;C 中的直线与指数函数的图象都错误,排除
C.故选 D.
(2)因为 f′(x)=ax2+2ax+c,则函数 f′(x)即 g(x)图象的对称轴为 x=-1,故可排除 A,
a
3
单调递增,但图象中函数 f(x)在(0,+∞)上不具有单调性,故排除 C.选 B.
[答案]
(1)D
(2)B
考向四函数图象与解析式对应关系的识别
4. (2018·广东深圳 4 月调研)函数 f(x)=(x2-2x)ex 的图象大致是()
[解析]因为 f′(x)=(2x-2+x2-2x)ex=(x2-2)ex,所以当 x∈(-∞,- 2)时,f′(x)
>0,函数单调递增;当 x∈(- 2, 2)时,f′(x)<0,函数单调递减;当 x∈( 2,+∞)
时,f′(x)>0,函数单调递增;又 x<- 2时,x2-2x>0,即 f(x)>0,应选答案 B.
[答案]B
(2)(2018·南昌二模)函数 y=
1+x2
3π 3π
)
2x2sin x
1+x2
(4xsin x+2x2cos x)(1+x2)-2x2sin x·2x4xsin x+2x2cos x+2x4cos x⎛π⎫
(1+x2)2(1+x2)2
⎛π⎫
满足条件的只有 A,故选 A.
[答案]A
考向五函数图象的变换问题
5.(2018·临沂一模)已知 a 是常数,函数
11
32
的图象可能是()
11
32
得 f′(x)=x2+(1-a)x-a,
1-a
根据 y=f′(x)的图象知- 2 >0,∴a>1.
则函数 g(x)=|ax-2|的图象是由函数 y=ax 的图象向下平移 2 个单位,然后将 x 轴下方
的图象翻折到 x 轴上方得到的,故选 D.
[答案]D
方法感悟
函数图象的识辨可从以下五个方面入手
(1)从函数的定义域,判断图象的左右位置;从函数的值域,判断图象的上下位置;
(2)从函数的单调性,判断图象的变化趋势;
(3)从函数的奇偶性,判断图象的对称性;
(4)从函数的周期性,判断图象的循环往复;
(5)从函数的特征点,排除不合要求的图象.
【针对补偿】
2.(2018·安徽宿州质检)函数 f(x)=ex2-2x2 的图像大致为()
[解析]因为 f(-x)=e(-x)2-2(-x)2=f(x),所以函数 y=f(x)是偶函数,当 x>0 时,′(x)
=2xex2-4x=2x(ex2-2),若 x∈(0, ln2), ′(x)<0,函数 y=f(x)单调递减;若 x∈( ln 2,
+∞),f′(x)>0,函数 y=f(x)单调递增,则 fmin(x)=f( ln 2)=2-2ln 2>0,结合图象的对
称性可知应选答案 A.
[答案]A
3.(2018·杭州模拟)已知函数 f(x)是定义在 R 上的增函数,则函数 y=f(|x-1|)-1 的图
象可能是()
[解析]
(1)根据题意,由于函数 f(x)是定义在 R 上的增函数,那么可知函数 y=f(|x-1|)
-1 的图象先是保留在 y 轴右侧的图象不变为增函数,再作关于 y 轴对称的图象,再整体向
右平移一个单位,再整体向下平移一个单位,那么可知为先减后增,同时关于直线 x=1 对
称,故选 B.
[答案]B
题型三函数图象的应用(重点保分题,共同探讨)
考向一研究函数性质
1.已知函数 f(x)=x|x|-2x,则下列结论正确的是()
A.f(x)是偶函数,递增区间是(0,+∞)
B.f(x)是偶函数,递减区间是(-∞,1)
C.f(x)是奇函数,递减区间是(-1,1)
D.f(x)是奇函数,递增区间是(-∞,0)
⎧x2-2x,x≥0,
[解析]将函数 f(x)=x|x|-2x 去掉绝对值得 f(x)=⎨
⎪-x2-2x,x<0,
画出函数 f(x)的图象,如图,观察图象可知,函数f(x)的图象关于原点对称,故函数 f(x)
为奇函数,且在(-1,1)上单调递减.
[答案]C
考向二确定方程根的个数
2.(2016·山东卷)已知函数 f(x)=⎨
⎪x2-2mx+4m,x>m,
其中 m>0,若存在实数 b,
使得关于 x 的方程 f(x)=b 有三个不同的根,则 m 的取值范围是______.
[解析]因为 x2-2mx+4m=(x-m)2+4m-m2,
所以函数 y=f(x)的图象如图所示.
要使存在实数 b,使方程 f(x)-b=0 有三个不同实根只需函数 y=f(x)的图象与直线 y=b
有三个不同交点,所以只需 m>4m-m2,即 m2-3m>0.又 m>0,所以 m>3.
[答案](3,+∞)
考向三解不等式
3.函数 f(x)是定义域为(-∞,0)∪(0,+∞)的奇函数,在(0,+∞)上单调递增,
图象如图所示,若 x·[f(x)-f(-x)]<0,则 x 的取值范围为________.
[解析]∵f(x)为奇函数,∴x·[f(x)-f(-x)]=2x·f(x)<0,
结合图象知 x 的范围为(-3,0)∪(0,3).
[答案](-3,0)∪(0,3)
考向四求参数的值或取值范围
4.(2018·杭州五校联盟诊断)若直角坐标平面内两点 P,Q 满足条件:
①P,Q 都在函数
y=f(x)的图象上;②P,Q 关于原点对称,则称(P,Q)是函数 y=f(x)的一个“伙伴点组”(点
⎧⎪kx-1,x>0,
组(P,Q)与(Q,P)看作同一个“伙伴点组”).已知函数 f(x)=⎨有两个“伙
⎩
⎪-ln(-x),x<0
伴点组”,则实数 k 的取值范围是()
A.(-∞,0)
1
B.(0,1)
D.(0,+∞)
[解析]依题意,“伙伴点组”的点满足:
都在 y=f(x)的图象上,且关
于坐标原点对称.
可作出函数 y=-ln(-x)(x<0)关于原点对称的函数 y=ln x(x>0)的图象,
使它与直线 y=kx-1(x>0)的交点个数为 2 即可.
当直线 y=kx-1 与 y=ln x 的图象相切时,
1
设切点为(m,ln m),又 y=ln x 的导数为 y′=x,
1
则 km-1=ln m,k=m,解得 m=1,k=1,
可得函数 y=ln x(x>0)的图象过(0,-1)点的切线的斜率为 1,
结合图象可知 k∈(0,1)时两函数图象有两个交点.
[答案]B
考向五利用函数对称性求值
x+1
5.(2016·全国甲卷)已知函数 f(x)(x∈R )满足 f(-x)=2-f(x),若函数 y=
m
i=
A.0
C.2m
B.m
D.4m
[解析]∵f(-x)=2-f(x),∴f(-x)+f(x)=2.
-x+xf(-x)+f(x)
22
x+11
函数 y= x =1+x,故其图象也关于点(0,1)对称.
x+1m
i=1
∴函数 y= x 与 y=f(x)图象的交点成对出现,且每一对均关于点(0,1)对称,所以∑xi
mmm
i=1i=1
[答案]B
方法感悟
函数图象应用的常见题型与求解策略
(1)研究函数性质:
①根据已知或作出的函数图象,从最高点、最低点,分析函数的最值、极值.
②从图象的对称性,分析函数的奇偶性.
③从图象的走向趋势,分析函数的单调性、周期性.
④从图象与 x 轴的交点情况,分析函数的零点等.
(2)研究方程根的个数或由方程根的个数确定参数的值(范围):
构造函数,转化为两函数
图象的交点个数问题,在同一坐标系中分别作出两函数的图象,数形结合求解.
(3)研究不等式的解:
当不等式问题不能用代数法求解,但其对应函数的图象可作出时,
常将不等式问题转化为两函数图象的上、下关系问题,从而利用数形结合求解.
【针对补偿】
⎧⎪|lg x|,x>0,
4.(2018·日照一模)已知 f(x)=⎨
⎪⎩2|x|,x≤0,
则函数 y=2f2(x)-3f(x)+1 的零点个数是
________.
1
2
的个数为 5.
[答案]5
f(x)
cos x
<0 的解集为______.
ππ
⎛π⎫f(x)
f(x)f(x)⎛π⎫ ⎛π⎫
ππ
◆牛刀小试·成功靠岸◆
课堂达标(十)
[A 基础巩固练]
1.(2018·桂林一调)函数 y=(x3-x)2|x|的图象大致是()
[解析]由于函数 y=(x3-x)2|x|为奇函数,故它的图象关于原点对称,当 0<x<1 时,y
<0;当 x>1 时,y>0,故选 B.
[答案]B
1
x
111x-1
[解析]当 x>0,函数 f(x)=xxx= x2 ,当 x∈(0,1)时,′(x)<0,
f(x)单调递减,当 x∈(1,+∞)时,f′(x)>0,f(x)单调递增,故排除 A,D,当 x<0 时,f(x)
1
=x+ln(-x)单调递减,排除 C,选 B.
[答案]B
3.如图,函数 f(x)的图象为折线 ACB,则不等式 f(x)≥log2(x+1)的解集是()
A.{x|-1<x≤0}
C.{x|-1<x≤1}
B.{x|-1≤x≤1}
D.{x|-1<x≤2}
[解析]令 g(x)=y=log2(x+1),作出函数 g(x)图象
如图.
⎧x+y=2,
由⎨
⎪ y=log2(x+1),
⎧x=1,
得⎨
⎪y=1.
∴结合图象知不等式 f(x)≥log2(x+1)的解集为{x|-1 [答案]C 4.(2018·甘肃省庆阳市镇原县高三月考)已知函数 f(x)=xa,g(x)=ax,h(x)=logax(其中 a>0,a≠1)在同一坐标系中画出其中两个函数在第一象限内的图象,其中正确的是() [解析]幂函数 f(x)的图象一定经过(1,1),当 a>0 时经过原点; 指数函数 g(x)的图象经过点(0,1),当 a>1 时,图象递增,当 0<a<1 时,图象递减; 对数函数 h(x)的图象经过点(1,0),当 a>1 时,图象递增,当 0<a<1 时,图象递减, 对于 A,其中指数底数应大于 1,而幂函数的指数应小于 0,故 A 不对; 对于选项 B,其中幂函数的指数大于 1,对数函数的底数也应大于 1,故 B 对; 对于选项 C,其中指数函数图象递增,其底数应大于 1,而对数函数图象递减,其底数 小于 1,故 C 不对; 对于选项 D,其中幂函数的图象递增,递增的越来越快,指数函数的图象递减,故幂函 数的指数应大于 1,而指数函数的底数小于 1,故 D 不对. 由上,B 正确.故选 B. [答案]B 5.(2018·贵州模拟考试)某地一年的气温 Q(t)(单位: ℃)与时间 t(月份)之间的关系如图 所示.已知该年的平均气温为 10℃,令 C(t)表示时间段的平均气温,下列四个函数图象中, 最能表示 C(t)与 t 之间的函数关系的是() [解析]∵气温图象在前 6 个月的图象关于点(3,0)对称,∴C(6)=0,排除 D; 注意到后几个月的气温单调下降,则从 0 到 12 月前的某些时刻,平均气温应大于 10℃, 可排除 C; ∵该年的平均气温为 10℃,∴t=12 时,C(12)=10,排除 B;故选 A. [答案]A (2-m)x 6.(2018·吉林三校联考)若函数 f(x)=的图象如图所示, 则 m 的取值范围为() A.(-∞,-1) B.(-1,2) C.(0,2) D.(1,2) [解析]根据图象可知,函数图象过原点, 即 f(0)=0,∴m≠0. 当 x>0 时,f(x)>0,∴2-m>0, 即 m<2,函数 f(x)在[-1,1]上是单调递增的, ∴f′(x)>0 在[-1,1]上恒成立, (2-m)(x2+m)-2x(2-m)x f′(x)= (m-2)(x2-m) (x2+m)2 <0,∴m>1, 综上所述,1<m<2,故选 D. [答案]D 7.已知函数 f(x)的图象如图所示,则函数 g(x)=log 2f(x)的定义域是________. [解析]当 f(x)>0 时,函数 g(x)=log 2f(x)有意义, 由函数 f(x)的图象知满足 f(x)>0 的 x∈(2,8]. [答案](2,8] 8.设函数 f(x)=|x+a|,g(x)=x-1,对于任意的 x∈R,不等式 f(x)≥g(x)恒成立,则实 数 a 的取值范围是______. [解析]如图,作出函数 f(x)=|x+a|与 g(x)=x-1 的图象,观察图象可知: 当且仅当- a≤1,即 a≥-1 时,不等式 f(x)≥g(x)恒成立,因此 a 的取值范围是[-1,+∞). [答案][-1,+∞) 9.(2016·天津卷)已知函数 f(x)= ⎧⎪x2+(4a-3)x+3a,x<0, ⎨(a>0 且 a≠1)在 R 上单调递减,且关于 x 的方程|f(x)|=2- ⎩ ⎪loga(x+1)+1,x≥0 x 3恰有两个不相等的实数解,则 a 的取值范围是______. ⎧⎪x(x-4),x≥4,
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