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下面对几种典型的排列组合问题进行策略分析
下面对几种典型的排列组合问题进行策略分析,拟找到解决相应问题的有效方法。
一、特殊优先,一般在后
对于问题中的特殊元素、特殊位置要优先安排。
在操作时,针对实际问题,有时“元素优先”,有时“位置优先”。
例10、2、3、4、5这五个数字,组成没有重复数字的三位数,其中偶数共有几个?
解法一:
(元素优先)分两类:
第一类,含0,0在个位有A42种,0在十位有A21·A31种;第二类,不含0,有A21·A32种。
故共有(A42+A21A31)+A32A21=30。
注:
在考虑每一类时,又要优先考虑个位。
解法二:
(位置优先)分两类:
第一类,0在个位有A42种;第二类,0不在个位,先从两个偶数中选一个放个位,再选一个放百位,最后考虑十位,有A21A31A31种。
故共有A42+A21A31A31=30。
练习1(89年全国)由数字1、2、3、4、5组成没有重复数字的五位数,其中小于50000的偶数共有个(用数字作答)。
答案:
36
二、排组混合,先选后排
对于排列与组合的混合问题,宜先用组合选取元素,再进行排列。
例2(95年全国)4个不同的小球放入编号为1、2、3、4的四个盒内,则恰有一个空盒的放法有几种?
解:
由题意,必有一个盒内有2个球,同一盒内的球是组合,不同的球放入不同的盒子是排列。
因此,有C42A43=144种放法。
练习2由数字1,2,3,4,5,6,7组成有3个奇数字,2个偶数字的五位数,数字不重复的有多少个?
答案:
有C43C32A55=1440(个)
三、元素相邻,整体处理
对于某些元素要求相邻排列的问题,可先将相邻元素捆绑成整体并看作一个元素再与其它元素进行排列,同时对相邻元素进行自排。
例35个男生3个女生排成一列,要求女生排一起,共有几种排法?
解:
先把3个女生捆绑为一个整体再与其他5个男生全排列。
同时,3个女生自身也应全排列。
由乘法原理共有A66·A33种。
练习3四对兄妹站一排,每对兄妹都相邻的站法有多少种?
答案:
A44·24=384
四、元素间隔,分位插入
对于某些元素要求有间隔的排列,用插入法。
例45个男生3个女生排成一列,要求女生不相邻且不可排两头,共有几种排法?
解:
先排无限制条件的男生,女生插在5个男生之间的4个空隙,由乘法原理共有A55A43种。
注意:
①必须分清“谁插入谁”的问题。
要先排无限制条件的元素,再插入必须间隔的元素;②数清可插的位置数;③插入时是以组合形式插入还是以排列形式插入要把握准。
练习44男4女站成一行,男女相间的站法有多少种?
答案:
2A44·A44
例5马路上有编号为1、2、3、…、9的9盏路灯,现要关掉其中的三盏,但不能同时关掉相邻的两盏或三盏,也不能关两端的路灯,则满足要求的关灯方法有几种?
解:
由于问题中有6盏亮3盏暗,又两端不可暗,故可在6盏亮的5个间隙中插入3个暗的即可,有C53种。
练习5从1、2、…、10这十个数中任选三个互不相邻的自然数,有几种不同的取法?
答案:
C83。
五、元素定序,先排后除或选位不排或先定后插
对于某些元素的顺序固定的排列问题,可先全排,再除以定序元素的全排,或先在总位置中选出定序元素的位置而不参加排列,然后对其它元素进行排列。
也可先放好定序的元素,再一一插入其它元素。
例65人参加百米跑,若无同时到达终点的情况,则甲比乙先到有几种情况?
解法一:
先5人全排有A55种,由于全排中有甲、乙的全排种数A22,而这里只有1种是符合要求的,故要除以定序元素的全排A22种,所以有A55/A22=60种。
解法二:
先在5个位置中选2个位置放定序元素(甲、乙)有C52种,再排列其它3人有A33,由乘法原理得共有C52A33=60种。
解法三:
先固定甲、乙,再插入另三个中的第一人有3种方法,接着插入第二人有4种方法,最后插入第三人有5种方法。
由乘法原理得共有3×4×5=60种。
练习6要编制一张演出节目单,6个舞蹈节目已排定顺序,要插入5个歌唱节目,则共有几种插入方法?
答案:
A1111/A66或C116A55=C115A55或7×8×9×10×11种
六、“小团体”排列,先“团体”后整体
对于某些排列问题中的某些元素要求组成“小团体”时,可先按制约条件“组团”并视为一个元素再与其它元素排列。
例7四名男歌手与两名女歌手联合举行一场演唱会,演出的出场顺序要求两名女歌手之间有两名男歌手,则出场方案有几种?
解:
先从四名男歌手中选2人排入两女歌手之间进行“组团”有A42A22种,把这个“女男男女”小团体视为1人再与其余2男进行排列有A33种,由乘法原理,共有A42A22A33种。
练习76人站成一排,其中一小孩要站在爸妈之间的站法有多少种?
答案:
A22·A44
七、不同元素进盒,先分堆再排列
对于不同的元素放入几个不同的盒内,当有的盒内有不小于2个元素时,不可分批进入,必须先分堆再排入。
例85个老师分配到3个班搞活动,每班至少一个,有几种不同的分法?
解:
先把5位老师分3堆,有两类:
3、1、1分布有C53种和1、2、2分布有C51C42C22/A22种,再排列到3个班里有A33种,故共有(C53+C51C42C22/A22)·A33。
注意:
不同的老师不可分批进入同一个班,须一次到位(否则有重复计数)。
即“同一盒内的元素必须一次进入”。
练习8有6名同学,求下列情况下的分配方法数:
①分给数学组3人,物理组2人,化学组1人;
②分给数学组2人,物理组2人,化学组2人;
③分给数学、物理、化学这三个组,其中一组3人,一组2人,一组1人;
④平均分成三组进行排球训练。
答案:
①C63C32C11;②C62C42C22;③C63C32C11·A33;④C62C42C22/A33。
八、相同元素进盒,用档板分隔
例910张参观公园的门票分给5个班,每班至少1张,有几种选法?
解:
这里只是票数而已,与顺序无关,故可把10张票看成10个相同的小球放入5个不同的盒内,每盒至少1球,可先把10球排成一列,再在其中9个间隔中选4个位置插入4块“档板”分成5格(构成5个盒子)有C94种方法。
注:
档板分隔模型专门用来解答同种元素的分配问题。
练习9从全校10个班中选12人组成排球队,每班至少一人,有多少种选法?
答案:
C119
九、两类元素的排列,用组合选位法
例1010级楼梯,要求7步走完,每步可跨一级,也可跨两级,问有几种不同的跨法?
解:
由题意知,有4步跨单级,3步跨两级,所以只要在7步中任意选3步跨两级即可。
故有C73种跨法。
注意:
两类元素的排列问题涉及面很广,应予重视。
练习103面红旗2面黄旗,全部升上旗杆作信号,可打出几种不同的信号?
答案:
C52
例11沿图中的网格线从顶点A到顶点B,最短的路线有几条?
解:
每一种最短走法,都要走三段“|”线和四段“—”线,这是两类元素不分顺序的排列问题。
故有C74或C73种走法。
例12从5个班中选10人组成校篮球队(无任何要求),有几种选法?
解:
这个问题与例12有区别,虽仍可看成4块“档板”将10个球分成5格(构成5个盒子),是球与档板两类元素不分顺序的排列问题。
但某些盒子中可能没有球,故4块“档板”与10个球一样也要参与排成一列而占位置,故有C144种选法。
练习11(a+b+c+d)10的展开式有几项?
提示:
因为每一项都是由a,b,c,d中的一个或多个相乘而得到的10次式,所以可以看成是10个球与3块档板这两类元素不分顺序的排列,故共有C133项。
注意:
怎样把问题等价转化为“两类元素的排列”问题是解题的关键。
十、个数不少于盒子编号数,先填满再分隔
例1315个相同的球放入编号为1、2、3的盒子内,盒内球数不少于编号数,有几种不同的放法?
解:
先用6个球按编号数“填满”各盒(符合起码要求),再把9个球放入3个盒内即可,可用2块档板与9个球一起排列(即为两类元素的排列问题),有C112种。
十一、多类元素组合,分类取出。
例14车间有11名工人,其中4名车工,5名钳工,AB二人能兼做车钳工。
今需调4名车工和4名钳工完成某一任务,问有多少种不同调法?
解:
不同的调法按车工分为如下三类:
第一类调4车工4钳工;第二类调3车工4钳工,从AB中调1人作车工;第二类调2车工4钳工,把AB二人作为车工。
故共有C44C74+C43C21C64+C42C22C54=185种不同调法。
注:
本题也可按钳工分类。
若按A、B分类,会使问题变得复杂
《排列组合应用题的解法》
排列组合应用题的解题方法既有一般的规律,又有很多特别的技巧,它要求我们要认真地审题,对题目中的信息进行科学地加工处理。
下面通过一些例题来说明几种常见的解法。
一.运用两个基本原理
二.特殊元素(位置)优先
三.捆绑法
四.插入法
五.排除法
六.机会均等法
七.转化法
八.隔板法
《排列、组合、二项式定理•解题技巧》
排列组合问题是高考必考题,它联系实际生动有趣,但题型多样,思路灵活,不易掌握,实践证明,备考有效方法是题型与解法归类、识别模式、熟练运用,本文介绍十二类典型排列组合题的解答策略.
1.相邻问题并组法
2.相离问题插空法
3.定序问题缩倍法
4.标号排位问题分步法
5.有序分配问题逐分法
6.多元问题分类法
7.交叉问题集合法
8.定位问题优先法
9.多排问题单排法
10.“至少”问题间接法
11.选排问题先取后排法
12.部分合条件问题排除法
解答排列组合问题,首先必须认真审题,明确是属于排列问题还是组合问题,或者属于排列与组合的混合问题,其次要抓住问题的本质特征,灵活运用基本原理和公式进行分析,同时还要注意讲究一些策略和方法技巧。
下面介绍几种常用的解题方法和策略。
一、合理分类与准确分步法(利用计数原理)
解含有约束条件的排列组合问题,应按元素性质进行分类,按事情发生的连续过程分步,保证每步独立,达到分类标准明确,分步层次清楚,不重不漏。
例1 、五个人排成一排,其中甲不在排头,乙不在排尾,不同的排法有 ( )
A.120种 B.96种 C.78种 D.72种
分析:
由题意可先安排甲,并按其分类讨论:
1)若甲在末尾,剩下四人可自由排,有 种排法;2)若甲在第二,三,四位上,则有 种排法,由分类计数原理,排法共有 种,选C。
解排列与组合并存的问题时,一般采用先选(组合)后排(排列)的方法解答。
例 2、 4个不同小球放入编号为1,2,3,4的四个盒中,恰有一空盒的方法有多少种?
分析:
因恰有一空盒,故必有一盒子放两球。
1)选:
从四个球中选2个有 种,从4个盒中选3个盒有 种;2)排:
把选出的2个球看作一个元素与其余2球共3个元素,对选出的3盒作全排列有 种,故所求放法有 种。
二、特殊元素与特殊位置优待法
对于有附加条件的排列组合问题,一般采用:
先考虑满足特殊的元素和位置,再考虑其它元素和位置。
例3、 用0,2,3,4,5,五个数字,组成没有重复数字的三位数,其中偶数共有( )。
A.24个 B。
30个 C。
40个 D。
60个
[分析]由于该三位数为偶数,故末尾数字必为偶数,又因为0不能排首位,故0就是其中的“特殊”元素,应该优先安排,按0排在末尾和0不排在末尾分两类:
1)0排末尾时,有 个,2)0不排在末尾时,则有 个,由分数计数原理,共有偶数 =30个,选B。
例4、 马路上有8只路灯,为节约用电又不影响正常的照明,可把其中的三只灯关掉,但不能同时关掉相邻的两只或三只,也不能关掉两端的灯,那么满足条件的关灯方法共有多少种?
分析:
表面上看关掉第1只灯的方法有6种,关第二只,第三只时需分类讨论,十分复杂。
若从反面入手考虑,每一种关灯的方法对应着一种满足题设条件的亮灯与关灯的排列,于是问题转化为“在5只亮灯的4个空中插入3只暗灯”的问题。
故关灯方法种数为 。
三、插空法、捆绑法
对于某几个元素不相邻的排列问题,可先将其他元素排好,再将不相邻元素在已排好的元素之间及两端空隙中插入即可。
例5、7人站成一排照相, 若要求甲、乙、丙不相邻,则有多少种不同的排法?
分析:
先将其余四人排好有 种排法,再在这人之间及两端的5个“空”中选三个位置让甲乙丙插入,则有 种方法,这样共有 种不同排法。
对于局部“小整体”的排列问题,可先将局部元素捆绑在一起看作一个元,与其余元素一同排列,然后在进行局部排列。
例6、 7人站成一排照相,甲、乙、丙三人相邻,有多少种不同排法?
分析:
把甲、乙、丙三人看作一个“元”,与其余4人共5个元作全排列,有 种排法,而甲乙、丙、之间又有 种排法,故共有 种排法。
四、排除法
对于含有否定字眼的问题,可以从总体中把不符合要求的除去,此时需注意不能多减,也不能少减。
例如在例3中,也可用此法解答:
五个数字组成三位数的全排列有 个,排好后发现0不能排首位,而且数字3,5也不能排末位,这两种排法要除去,故有 个偶数。
五、顺序固定问题用“除法”( 对等法 )
对于某几个元素顺序一定的排列问题,可先把这几个元素与其他元素一同排列,然后用总排列数除以这几个元素的全排列数。
例7、 6个人排队,甲、乙、丙三人按“甲---乙---丙”顺序排的排队方法有多少种?
分析:
不考虑附加条件,排队方法有 种,而其中甲、乙、丙的 种排法中只有一种符合条件。
故符合条件的排法有 种。
作者:
202.101.10.* 2006-3-1215:
31 回复此发言
2
排列组合的解题策略
六、构造模型 “挡板法”
对于较复杂的排列问题,可通过设计另一情景,构造一个隔板模型来解决问题。
例8、 方程a+b+c+d=12有多少组正整数解?
分析:
建立隔板模型:
将12个完全相同的球排成一列,在它们之间形成的11个间隙中任意插入3块隔板,把球分成4堆,每一种分法所得4堆球的各堆球的数目,对应为a、b、c、d的一组正整解,故原方程的正整数解的组数共有 。
例9、把10本相同的书发给编号为1、2、3的三个学生阅览室,每个阅览室分得的书的本数不小于其编号数,试求不同分法的种数?
解:
先让2、3号阅览室依次分得1本书、2本书;再对余下的7本书进行分配,保证每个阅览室至少得一本书,这相当于在7本相同书之间的6个“空档”内插入2块隔板共有 C62种插法,即有15种分法。
又如六个“优秀示范员”的名额分配给四个班级,有多少种不同的分配方法?
经过转化后都可用此法解。
七、分排问题“直排法”
把几个元素排成前后若干排的排列问题,若没有其它的特殊要求,可采取统一排成一排的方法来处理。
例9、7个人坐两排座位,第一排3个人,第二排坐4个人,则不同的坐法有多少种?
分析:
7个人可以在前两排随意就坐,再无其它条件,故两排可看作一排来处理,不同的坐法共有 种。
八、构造方程或不等式
例10:
某赛季足球比赛的记分规则是:
胜一场得3分;平一场得1分;负一场得0分。
一球队打完15场积33分,若不考虑顺序,该队胜、负、平情况共有( )
A.3种 B.4种 C.5种 D.6种
解析:
设该队胜x场,平y场,则负(15-x-y)场,由题意得3x+y=33
y=33-3x 0, x 11且x+y 15
因此,有以下三种情况:
x=11,y=0或x=10,y=3或x=9,y=6 故选A
例12、把一张20元面值的人民币换成1元、2元或5元面值的人民币,有多少种不同的换法?
解:
设对换成1元的人民币x张,2元的人民币y张,5元的人民币z张,
则 x+2y+5z=20
当z = 0时,x+2y=20 , x可以取0、2、4…20,有11种方法。
当z = 1时,x+2y=15 , x可以取1、3、5…15,有8种方法。
当z = 2时,x+2y=10 , x可以取0、2、4…10,有6种方法。
当z = 3时,x+2y=5 , x可以取1、3、5有3种方法。
当z = 4时,x+2y=0 , x=0,y=0, 1种方法。
故共有11+8+6+3+1=29种方法。
九、枚举法:
有些计数问题由于条件过多,从排列或组合的角度思考不太方便,可以尝试用枚举法,枚举时也要按照一定的思路进行,才能做到不重不漏。
例11:
某寝室4名同学各写了一张新年贺卡,先集中起来,然后每人从中取走一张别人写的贺卡,问有多少种不同的取法?
解:
设4位同学分别为A、B、C、D,各人取别人贺卡的不同取法可罗列成下表:
同学A同学B同学C同学D
1BADC
2BCDA
3BDAC
4CADB
5CDAB
6CDBA
7DABC
8DCAB
9DCBA
故共有9种不同的取法。
排列组合是高中数学的重点和难点之一,也是进一步学习概率的基础。
这一类问题不仅内容抽象,解法灵活,而且解题过程极易出现“重复”和“遗漏”的错误,这些错误甚至不容易检查出来,所以解题时要注意不断积累经验,总结解题规律,掌握若干技巧,最终达到能够灵活运用。
问题一、街道旁有编号1、2、3、4、5、6、7、8、9、10共十只路灯,为节约用电又不影响照明,可以把其中的三只灯相灭,但不能同时熄灭相邻两只,在两端的两只路灯不熄灭的情况下,问不同的熄灯方法有多少种?
①通过复习提问总结解决排列组合问题的基本思路和方法。
②设置问题情景,激发学生的学习欲望。
通过引导,学生得出多种解法,从而优化思维,发现规律为构造数学模型一做好铺垫。
2、创设情景
练习
(1):
四个相同苹果分给三个人,没人至少一个,有多少种分配方案?
(提问,多解),电脑演示。
(2):
把六个名额分给三个班级,没班至少一个名额,有多少种分法?
(提问多解),电脑演示,介绍插板法。
巩固创设情景。
体现化归思想,并将问题发散,从不同角度展示出问题的共性,给学生自主发现、探索的空间,引入“插板”这一解决问题的策略。
3、提出猜想
你能编一道与本题意思相近的习题或将本题推广吗?
学生是学习的主体,是课堂教学的探索者、发现者和创造者,让他们的智慧火花充分闪亮。
4、探得索出分结析论
模型一:
把n个相同的小球放入m个不同的盒子中,要求每盒至少有一个球,问有多少种不同的方法?
归纳出共性,推广到一般,抽象出数学模型,使学生的思维得到提升。
5、问题解决进一步推广
练习:
(分组讨论)
(1)求方程x+y+z=16的正整数解的组数。
(2)15个苹果分给三个人,每人至少两个,有多少种分法?
(3)把二十个相同的小球放入编号为1、2、3、4、的四个盒子中,要求每个盒子中的小球数目不少于编号数,求不同的放法种数。
弄清问题本质,将问题转化为模型,并能应用模型解决问题。
6、新情境设计
(1)第二小题条件改为每人至少三个,有多少种分法?
(2)学生总结规律。
(3)如果条件改为每人分得苹果个数不限,有多少种分法种数?
(4)你能将本题推广吗?
(5)改变条件提出新问题,让学生有一个再发现,再创造的过程。
(6)培养学生自主探索创新意识。
7、探索分析
用电脑演示每人至少分得一个苹果、二个苹果和三个苹果的情形,并由学生总结规律。
体现从特殊到一般的思维方法,模拟发现,激励探索,激活思路。
8、得出结论
模型二、把n个相同的小球放入m个不同盒子(n≥m≥1),每个盒子容量不限,有多少种不同方法?
比较差异,将模型一进一步推广,使学生在“好奇”中产生“内驱力”,进而产生不断探索的愿望。
9、问题
(1)中日围棋擂台赛规定各国各出7名队员,按事先排好的顺序出场参加围棋擂台赛,双方先由1号队员比赛,负者被淘汰,胜者再与负方2号队员比赛…,直到有一方队员全被淘汰为止,另一方获得胜利,形成一个比赛过程,试求中方获胜的所有可能出现的比赛过程的种数?
(2)从7个学校选出12人组成足球联队,要求每校至少有一个人参加,问各校名额分配共有多少种不同情况?
一、特殊优先,一般在后
对于问题中的特殊元素、特殊位置要优先安排。
在操作时,针对实际问题,有时“元素优先”,有时“位置优先”。
例1 0、2、3、4、5这五个数字,组成没有重复数字的三位数,其中偶数共有几个?
解法一:
(元素优先)分两类:
第一类,含0,0在个位有A42种,0在十位有A21·A31种;第二类,不含0,有A21·A32种。
故共有(A42+A21A31)+A32A21=30。
注:
在考虑每一类时,又要优先考虑个位。
解法二:
(位置优先)分两类:
第一类,0在个位有A42种;第二类,0不在个位,先从两个偶数中选一个放个位,再选一个放百位,最后考虑十位,有A21A31A31种。
故共有A42+A21A31A31=30。
练习1 (89年全国)由数字1、2、3、4、5组成没有重复数字的五位数,其中小于50000的偶数共有 个(用数字作答)。
答案:
36
二、排组混合,先选后排
对于排列与组合的混合问题,宜先用组合选取元素,再进行排列。
例2 (95年全国)4个不同的小球放入编号为1、2、3、4的四个盒内,则恰有一个空盒的放法有几种?
解:
由题意,必有一个盒内有2个球,同一盒内的球是组合,不同的球放入不同的盒子是排列。
因此,有C42A43=144种放法。
练习2 由数字1,2,3,4,5,6,7组成有3个奇数字,2个偶数字的五位数,数字不重复的有多少个?
答案:
有C43C32A55=1440(个)
三、元素相邻,整体处理
对于某些元素要求相邻排列的问题,可先将相邻元素捆绑成整体并看作一个元素再与其它元素进行排列,同时对相邻元素进行自排。
例3 5个男生3个女生排成一列,要求女生排一起,共有几种排法?
解:
先把3个女生捆绑为一个整体再与其他5个男生全排列。
同时,3个女生自身也应全排列。
由乘法原理共有A66·A33种。
练习3 四对兄妹站一排,每对兄妹都相邻的站法有多少种?
答案:
A44·24=384
四、元素间隔,分位插入
对于某些元素要求有间隔的排列,用插入法。
例4 5个男生3个女生排成一列,要求女生不相邻且不可排两头,共有几种排法?
解:
先排无限制条件的男生,女生插在5个男生之间的4个空隙,由乘法原理共有A55A43种。
注意:
①必须分清“谁插入谁”的问题。
要先排无限制条件的元素,再插入必须间隔的元素;②数清可插的位置数;③插入时是以组合形式插入还是以排列形式插入要把握准。
练习4 4男4女站成一行,男女相间的站法有多少种?
答案:
2A44·A44
例5 马路上有编号为1、2、3、…、9的9盏路灯,现要关掉其中的三盏,但不能同时关掉相邻的两盏或三盏,也不
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