步步高高中数学一轮复习《单元滚动检测卷》滚动检测七.docx
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步步高高中数学一轮复习《单元滚动检测卷》滚动检测七
高三单元滚动检测卷·数学
考生注意:
1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,共4页。
2.答卷前,考生务必用蓝、黑色字迹的钢笔或圆珠笔将自己的姓名、班级、学号填写在相应位置上。
3.本次考试时间120分钟,满分150分。
滚动检测七
第Ⅰ卷
一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.如果复数z=,则( )
A.|z|=2B.z的实部为1
C.z的虚部为-1D.z的共轭复数为1+i
2.等比数列{an}中,a1=1,q=2,则Tn=++…+的结果为( )
A.1-B.1-
C.D.
3.已知研究x与y之间关系的一组数据如下表所示,则y对x的线性回归方程y=bx+a必过点( )
x
0
1
2
3
y
1
3
5
7
A.(1,2)B.C.(2,2)D.
4.设M是△ABC边BC上任意一点,且2=,若=λ+μ,则λ+μ的值为( )
A.B.C.D.1
5.下面图
(1)是某学习小组学生数学考试成绩的茎叶图,1号到16号同学的成绩依次为A1、A2、…、A16,图
(2)是统计茎叶图中成绩在一定范围内的学生人数的算法框图,那么该算法框图输出的结果是( )
A.6B.10C.91D.92
6.某同学在纸上画出如下若干个三角形:
△▲△△▲△△△▲△△△△▲△△△△△▲……,若依此规律,得到一系列的三角形,则在前2015个三角形中共有▲的个数是( )
A.64B.63C.62D.61
7.已知集合表示的平面区域为Ω,若在区域Ω内任取一点P(x,y),则点P的坐标满足不等式x2+y2≤2的概率为( )
A.B.C.D.
8.已知函数f(x)=ex+x,对于曲线y=f(x)上横坐标成等差数列的三个点A,B,C,给出以下判断:
①△ABC一定是钝角三角形;
②△ABC可能是直角三角形;
③△ABC可能是等腰三角形;
④△ABC不可能是等腰三角形.
其中,正确的判断是( )
A.①③B.①④
C.②③D.②④
9.(2015·洛阳统考)设实轴长为2的等轴双曲线的焦点为F1,F2,以F1F2为直径的圆交双曲线于A、B、C、D四点,则|F1A|+|F1B|+|F1C|+|F1D|等于( )
A.4B.2
C.D.
10.某班有60名学生,一次考试后数学成绩ξ~N(110,102),若P(100≤ξ≤110)=0.35,则估计该班学生数学成绩在120分以上的人数为( )
A.10B.9
C.8D.7
11.设n=ʃ04sinxdx,则二项式(x-)n的展开式的常数项是( )
A.12B.6C.4D.1
12.(2015·济源模拟)已知F1,F2是椭圆的左,右焦点,若椭圆上存在点P,使得PF1⊥PF2,则椭圆的离心率的取值范围是( )
A.B.
C.D.
第Ⅱ卷
二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在题中横线上)
13.已知双曲线-=1(a>0,b>0)的左,右焦点分别为F1,F2,点P在双曲线的右支上,且|PF1|=2016|PF2|,则此双曲线的离心率e的最大值为________.
14.给出定义:
设f′(x)是函数y=f(x)的导数,f″(x)是函数f′(x)的导数,若方程f″(x)=0有实数解x0,则称点(x0,f(x0))为函数y=f(x)的“拐点”.经探究发现:
任何一个三次函数f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0)都有“拐点”,且该“拐点”也为该函数的对称中心.
若f(x)=x3-x2+x+1,则f+f+…+f=________.
15.已知集合M=N={0,1,2,3},定义函数f:
M→N,且点A(0,f(0)),B(i,f(i)),C(i+1,f(i+1))(其中i=1,2).若△ABC的内切圆圆心为I,且+=λ(λ∈R),则满足条件的△ABC有________个.
16.以下给出的是计算+++…+的值的一个算法框图,其中判断框内应填入的条件是________.
三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17.(10分)(2015·北京西城区二模)已知函数f(x)=sin(ωx+φ)+cos(ωx+φ)的部分图像如图所示,其中ω>0,φ∈.
(1)求ω与φ的值;
(2)若f=,求的值.
18.(12分)已知函数f(x)=ax-ln(1+x2).
(1)当a=时,求函数f(x)在(0,+∞)上的极值;
(2)证明:
当x>0时,ln(1+x2) (3)证明: … 19.(12分)数列{an}的前n项和为Sn,a1=1,且对任意正整数n,点(an+1,Sn)在直线2x+y-2=0上. (1)求数列{an}的通项公式; (2)是否存在实数λ,使得数列{Sn+λn+}为等差数列? 若存在,求出λ的值;若不存在,请说明理由. 20.(12分)(2015·咸阳模拟)如图,四边形PCBM是直角梯形,∠PCB=90°,PM∥BC,PM=1,BC=2.又AC=1,∠ACB=120°,AB⊥PC,直线AM与直线PC所成的角为60°. (1)求证: PC⊥AC; (2)求平面MAC与平面ABC夹角的余弦值; (3)求点B到平面MAC的距离. 21.(12分)某产品按行业生产标准分成6个等级,等级系数ξ依次为1,2,3,4,5,6,按行业规定产品的等级系数ξ≥5的为一等品,3≤ξ<5的为二等品,ξ<3的为三等品. 若某工厂生产的产品均符合行业标准,从该厂生产的产品中随机抽取30件,相应的等级系数组成一个样本,数据如下: 1 3 1 1 6 3 3 4 1 2 4 1 2 5 3 1 2 6 3 1 6 1 2 1 2 2 5 3 4 5 (1)以此30件产品的样本来估计该厂产品的总体情况,试分别求出该厂生产的产品为一等品、二等品和三等品的概率; (2)已知该厂生产一件产品的利润y(单位: 元)与产品的等级系数ξ的关系式为y=若从该厂大量产品中任取两件,其利润记为Z,求Z的分布列和均值. 22.(12分)(2015·合肥质检)焦点分别为F1,F2的椭圆C: +=1(a>b>0)过点M(2,1),且△MF2F1的面积为. (1)求椭圆C的方程; (2)过点(0,3)作直线l,直线l交椭圆C于不同的两点A,B,求直线l倾斜角θ的取值范围; (3)在 (2)的条件下,使得|MA|=|MB|成立的直线l是否存在? 若存在,求直线l的方程;若不存在,请说明理由. 答案解析 1.C [由z===-1-i,所以|z|=,z的实部为-1,z的虚部为-1,z的共轭复数为-1+i.] 2.C [依题意,知an=2n-1,===×,所以Tn= =,选C.] 3.D 4.B 5.B [由算法框图可知,其统计的是数学成绩大于等于90的人数,所以由茎叶图知: 数学成绩大于等于90的人数为10,因此输出结果为10.故选B.] 6.C [前n个▲中所包含的所有三角形的个数是1+2+3+…+n+n=,由=2015,解得n=62.] 7.D 8.B 9.A 10.B [∵考试的成绩ξ服从正态分布N(110,102). ∴考试的成绩ξ关于ξ=110对称, ∵P(100≤ξ≤110)=0.35, ∴P(ξ≥120)=P(ξ≤100)=(1-0.35×2)=0.15, ∴该班数学成绩在120分以上的人数为0.15×60=9.] 11.B [由定积分得n=-4cosx|0=4, 二项式的通项公式为Tr+1=Cx4-r(-)r =C(-1)rx4-2r, 由4-2r=0,得r=2, 所以常数项为T3=C(-1)2=6,故选B.] 12.B [设P(x,y),=(-c-x,-y),=(c-x,-y),由PF1⊥PF2,得⊥=0,即(-c-x,-y)·(c-x,-y)=x2+y2-c2=x2+b2-c2=+b2-c2=0,∴x2=≥0,∴c2-b2≥0,∴2c2≥a2,∴e≥.又∵e<1,∴椭圆的离心率e的取值范围是.] 13. 解析 由题意得|PF1|+|PF2|≥2c,|PF1|-|PF2|=2a, e≤==. 14.2015 15.18 解析 由+=λ(λ∈R)知△ABC是以B为顶点的等腰三角形,A点是4×4的格点中第一列的点. 当i=1时,B点是第二列格点中的点,C点是第三列格点中的点,此时腰长为,,的△ABC分别有6个、4个、2个,当i=2时,B点是第三列格点中的点,C点是第四列格点中的点,此时腰长为的△ABC有6个,如图,△ABC为其中的一个.综上,满足条件的△ABC共有18个. 16.i≤10 解析 这是一个循环结构,s=0,n=2,i=1,其中变量i是计数变量,它应使循环体执行10次,因此条件应是i≤10. 17.解 (1)f(x)=2sin(ωx+φ+). 设f(x)的最小正周期为T. 由图像可得=-=,所以T=π,ω=2. 由f(0)=2,得sin=1, 因为φ∈,所以φ=. (2)f(x)=2sin=2cos2x. 由f=2cos=,得cos=, 所以cosα=2cos2-1=. 所以== =. 18. (1)解 当a=时,f(x)=x-ln(1+x2), ∴f′(x)=-=. x,f′(x),f(x)变化如下表: x (0,) (,2) 2 (2,+∞) f′(x) + 0 - 0 + f(x) 极大值 极小值 ∴f(x)极大值=f=-ln,f(x)极小值=f (2)=-ln5. (2)证明 令g(x)=x-ln(1+x2), 则g′(x)=1-=≥0. ∴g(x)在(0,+∞)上为增函数,∴g(x)>g(0)=0, ∴ln(1+x2) (3)证明 由 (2)知ln(1+x2) 令x=,得ln<<=-, ∴ln+ln+…+ln <1-+-+-+…+-=1-<1, ∴… 19.解 (1)由题意,可得2an+1+Sn-2=0.① 当n≥2时,2an+Sn-1-2=0.② ①-②,得2an+1-2an+an=0, 所以=(n≥2). 因为a1=1,2a2+a1=2,所以a2=. 所以{an}是首项为1,公比为的等比数列. 所以数列{an}的通项公式为an=()n-1. (2)由 (1)知,Sn==2-. 若{Sn+λn+}为等差数列,则S1+λ+,S2+2λ+,S3+3λ+成等差数列, 则2(S2+)=S1++S3+, 即2(+)=1+++,解得λ=2. 又λ=2时,Sn+2n+=2n+2, 显然{2n+2}成等差数列,故存在实数λ=2, 使得数列{Sn+λn+}为等差数列. 20. (1)证明 ∵PC⊥BC,PC⊥AB, ∴PC⊥平面ABC,又AC平面ABC,∴PC⊥AC. (2)解 在平面ABC内,过点C作BC的垂线,并建立空间直角坐标系如图所示. 设P(0,0,z),则C(0,0,0),A, M(0,1,z),B(0,2,0), ∴=(0,0,z), =(0,1,z)-=. ∵cos60°=|cos〈,〉|==,且z>0,∴=,得z=1, ∴=. 设平面MAC的一个法向量为n=(x,y,1), 则由得得 ∴n=. ∵平面ABC的一个法向量为=(0,0,1). ∴cos〈n,〉==. ∴平面MAC与平面ABC夹角的余弦
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