反比例函数的图象性质及其应用.docx
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反比例函数的图象性质及其应用
反比例函数的图象、性质及其应用
一、选择题
1.(2014·扬州)若反比例函数y=(k≠0)的图象经过点P(-2,3),则该函数的图象不经过的点是( )
A.(3,-2) B.(1,-6)
C.(-1,6) D.(-1,-6)
2.(2014·随州)关于反比例函数y=的图象,下列说法正确的是( )
A.图象经过点(1,1)
B.两个分支分布在第二、四象限
C.两个分支关于x轴成轴对称
D.当x<0时,y随x的增大而减小
3.(2014·哈尔滨)在反比例函数y=的图象的每一条曲线上,y都随x的增大而减小,则k的取值范围是( )
A.k>1 B.k>0
C.k≥1 D.k<1
4.(2014·常州)已知反比例函数y=的图象经过P(-1,2),则这个函数的图象位于( )
A.第二、三象限
B.第一、三象限
C.第三、四象限
D.第二、四象限
5.(2014·兰州)若反比例函数y=的图象位于第二、四象限,则k的取值可以是( )
A.0 B.1
C.2 D.以上都不是
6.(2014·安顺)如果点A(-2,y1)、B(-1,y2)、C(2,y3)都在反比例函数y=(k>0)的图象上,那么y1、y2、y3的大小关系是( )
A.y1 C.y1 7.(2014·泉州)在同一平面直角坐标系中,函数y=mx+m与y=(m≠0)的图象可能是( ) 8.(2014·牡丹江)在同一直角坐标系中,函数y=kx+1与y=-(k≠0)的图象大致是( ) 9.(2014·鄂州)A为双曲线y=(k≠0)上一点,B为x轴上一点,且△AOB为等边三角形,△AOB的边长为2,则k的值为( ) A.2 B.±2C. D.± 10.(2014·天水)已知函数y=的图象如图,以下结论: ①m<0;②在每个分支上y随x的增大而增大;③若点A(-1,a)、点B(2,b)在图象上,则a A.4 B.3 C.2 D.1 11.(2014·湘潭)如图,A、B两点在双曲线y=上,分别经过A、B两点向x轴作垂线段,已知S阴影=1,则S1+S2的值为( ) A.3 B.4 C.5D.6 12.(2014·黔东南)如图,正比例函数y=x与反比例函数y=的图象相交于A、B两点,BC⊥x轴于点C,则△ABC的面积为( ) A.1 B.2 C.32 D.52 13.(2014·绥化)如图,过点O作直线与双曲线y=(k≠0)交于A、B两点,过点B作BC⊥x轴于点C,作BD⊥y轴于点D.在x轴、y轴上分别取点E、F,使点A、E、F在同一条直线上,且AE=AF.设图中矩形ODBC的面积为S1,△EOF的面积为S2,则S1、S2的数量关系是( ) A.S1=S2 B.2S1=S2 C.3S1=S2 D.4S1=S2 14.(2014·咸宁)如图,双曲线y=与直线y=kx+b交于点M、N,并且点M的坐标为(1,3),点N的纵坐标为-1.根据图象信息可得关于x的方程=kx+b的解为( ) A.x1=-3,x2=1 B.x1=-3,x2=3 C.x1=-1,x2=1 D.x1=-1,x2=3 15.(2014·重庆)如图,正方形ABCD的顶点B、C在x轴的正半轴上,反比例函数y=(k≠0)在第一象限的图象经过顶点A(m,2)和CD边上的点E,过点E的直线l交x轴于点F,交y轴于点G(0,-2),则点F的坐标是( ) A. B. C. D. 16.(2014·盐城)如图,反比例函数y=(x<0)的图象经过点A(-1,1),过点A作AB⊥y轴,垂足为B,在y轴的正半轴上取一点P(0,t),过点P作直线OA的垂线l,以直线l为对称轴,点B经轴对称变换得到的点B′在此反比例函数的图象上,则t的值是( ) A. B. C. D. 二、填空题 17.(2014·常州)已知反比例函数y=,则自变量x的取值范围是________. 18.(2014·无锡)已知双曲线y=经过点(-2,1),则k的值等于________. 19.(2014·南京)已知反比例函数y=的图象经过点A(-2,3),则当x=-3时,y=________. 20.(2014·沈阳)已知一次函数y=x+1的图象与反比例函数y=的图象相交,其中有一个交点的横坐标是2,则k的值为________. 21.(2014·莱芜)已知一次函数y=ax+b与反比例函数y=的图象相交于A(4,2)、B(-2,m)两点,则一次函数的解析式为____________. 22.(2014·崇左)如图,A(4,0)、B(3,3),以AO、AB为边作▱OABC,则经过C点的反比例函数的解析式为____________. 23.(2014·齐齐哈尔)在平面直角坐标系xOy中,点P到x轴的距离为3个单位长度,到原点O的距离为5个单位长度,则经过点P的反比例函数的解析式为____________. 24.(2014·连云港)若函数y=的图象在同一象限内,y随x的增大而增大,则m的值可以是________(写出一个即可). 25.(2014·永州)已知点A(1,y1)、B(-2,y2)在反比例函数y=(k>0)的图象上,则y1________y2(填“>”“<”或“=”). 26.(2014·滨州)如图,菱形OABC的顶点O是原点,顶点B在y轴上,菱形的两条对角线的长分别是6和4,反比例函数y=(x<0)的图象经过点C,则k的值为________. 27.(2014·济宁)如图,四边形OABC是矩形,四边形ADEF是正方形,点A、D在x轴的正半轴上,点C在y轴的正半轴上,点F在AB上,点B、E在反比例函数y=的图象上,OA=1,OC=6,则正方形ADEF的边长为________. 28.(2014·临沂)如图,反比例函数y=的图象经过Rt△OAB的顶点A,D为斜边OA的中点,则过点D的反比例函数的解析式为____________. 29.(2014·东营)如图,函数y=和y=-的图象分别是l1和l2.设点P在l1上,PC⊥x轴,垂足为C,交l2于点A,PD⊥y轴,垂足为D,交l2于点B,则△PAB的面积为________. 30.(2014·营口)如图,在平面直角坐标系中,△ABC的边AB∥x轴,点A在双曲线y=(x<0)上,点B在双曲线y=(x>0)上,边AC的中点D在x轴上,△ABC的面积为8,则k=________. 31.(2014·六盘水)如图,一次函数y1=k1x+b(k1≠0)的图象与反比例函数y2=(k2≠0)的图象交于A、B两点.观察图象,当y1>y2时,x的取值范围是________. 32.(2014·常州)在平面直角坐标系xOy中,一次函数y=10-x的图象与函数y=(x>0)的图象相交于点A、B,设点A的坐标为(x1,y1),那么长为x1,宽为y1的矩形的面积为________,周长为________. 33.(2014·济南)如图,△OAC和△BAD都是等腰直角三角形,∠ACO=∠ADB=90°,反比例函数y=在第一象限的图象经过点B.若OA2-AB2=12,则k的值为________. 34.(2014·孝感)如图,Rt△AOB的一条直角边OB在x轴上,双曲线y=(x>0)经过斜边OA的中点C,与另一直角边交于点D.若S△OCD=9,则S△OBD的值为________. 35.(2014·菏泽)如图,在Rt△ABO中,∠AOB=90°,点A在第一象限,点B在第四象限,且AO∶BO=1∶.若点A(x0,y0)的坐标x0、y0满足y0=,则点B(x,y)的坐标x、y所满足的解析式为________. 36.(2014·宿迁)如图,一次函数y=kx-1的图象与x轴交于点A,与反比例函数y=(x>0)的图象交于点B,BC垂直于x轴于点C.若△ABC的面积为1,则k的值是________. 三、解答题 37.(2014·台州)已知反比函数y=,当x=2时,y=3. (1)求m的值; (2)当3≤x≤6时,求函数值y的取值范围. 38.(2014·南通)如图,正比例函数y=-2x与反比例函数y=的图象相交于A(m,2)、B两点. (1)求反比例函数的解析式及点B的坐标; (2)结合图象直接写出当-2x>时,x的取值范围. 39.(2014·达州)如图,直线l: y=-x+3与两坐标轴分别相交于点A、B. (1)当反比例函数y=(m>0,x>0)的图象在第一象限内与直线l至少有一个交点时,求m的取值范围; (2)若反比例函数y=(m>0,x>0)的图象在第一象限内与直线l相交于点C、D,当CD=2时,求m的值; (3)在 (2)的条件下,请你直接写出关于x的不等式-x+3<的解集. 40.(2014·抚州)如图,在平面直角坐标系中,过点M(0,2)的直线l与x轴平行,且直线l分别与反比例函数y=(x>0)和y=(x<0)的图象交于点P、Q. (1)求点P的坐标; (2)若△POQ的面积为8,求k的值. 41.(2014·苏州)如图,函数y=(x>0)的图象经过点A、B,点A的坐标为(1,2).过点A作AC∥y轴,AC=1(点C位于点A的下方),过点C作CD∥x轴,与函数的图象交于点D,过点B作BE⊥CD,垂足E在线段CD上,连接OC、OD. (1)求△OCD的面积; (2)当BE=AC时,求CE的长. 42.(2014·乐山)如图,一次函数y=kx+b的图象l与坐标轴分别交于点E、F,与双曲线y=-(x<0)交于点P(-1,n),且F是PE的中点. (1)求直线l的解析式; (2)若直线x=a与l交于点A,与双曲线交于点B(不同于点A),则当a为何值时,PA=PB? 43.(2014·仙桃)反比例函数y=在第一象限的图象如图所示,过点A(1,0)作x轴的垂线,交反比例函数y=的图象于点M,△AOM的面积为3. (1)求反比例函数的解析式; (2)设点B的坐标为(t,0),其中t>1.若以AB为一边的正方形有一个顶点在反比例函数y=的图象上,求t的值. 44.(2014·枣庄)如图,一次函数y=ax+b与反比例函数y=的图象交于A、B两点,点A的坐标为(m,2),点B的坐标为(-4,n),OA与x轴正半轴夹角的正切值为,直线AB交y轴于点C,过点C作y轴的垂线,交反比例函数图象于点D,连接OD、BD.求: (1)一次函数与反比例函数的解析式; (2)四边形OCBD的面积. 45.(2014·自贡)如图,一次函数y=kx+b与反比例函数y=(x>0)的图象交于A(m,6)、B(3,n)两点. (1)求一次函数的解析式; (2)根据图象直接写出kx+b-<0的x的取值范围; (3)求△AOB的面积. 46.(2014·广东)如图,A、B(-1,2)是一次函数y=kx+b与反比例函数y=(m≠0,x<0)图象的两个交点,AC⊥x轴于点C,BD⊥y轴于点D. (1)根据图象直接回答: 在第二象限内,当x取何值时,一次函数的值大于反比例函数的值? (2)求一次函数的解析式及m的值; (3)P是线段AB上的一点,连接PC、PD,若△PCA和△PDB面积相等,求点P的坐标. 47.(2014·徐州)如图,将透明三角形纸片PAB的直角顶点P落在第四象限,顶点A、B分别落在反比例函数y=的图象的两支上,且PB⊥x轴于点C,PA⊥y轴于点D,AB分别与x轴、y轴相交于点E、F.已知B(1,3). (1)k=________; (2)试说明AE=BF; (3)当四边形ABCD的面积为时,求点P的坐标. 48.(2014·江西)如图,在平面直角坐标系中,点A、B分别在x轴、y轴的正半轴上,OA=4,AB=5.点D在反比例函数y=(k>0)的图象上,DA⊥OA,点P在y轴的负半轴上,OP=7. (1)求点B的坐标和线段PB的长; (2)当∠PDB=90°时,求反比例函数的解析式. 49.(2014·巴中)如图,在平面直角坐标系xOy中,已知四边形DOBC是矩形,且D(0,4)、B(6,0).若反比例函数y=(x>0)的图象经过线段OC的中点A,交DC于点E,交BC于点F.设直线EF的解析式为y=k2x+b. (1)求反比例函数和直线EF的解析式; (2)求△OEF的面积; (3)请结合图象直接写出不等式k2x+b->0的解集. 50.(2014·吉林)如图①,在Rt△AOB中,∠AOB=90°,AB平行于x轴,OA=2OB,AB=5,反比例函数的图象经过点A. (1)直接写出反比例函数的解析式; (2)如图②,点P(x,y)在 (1)中的反比例函数图象上,其中1 (3)在 (2)的条件下,若点Q的坐标为(m,1),求△POQ的面积. 51.(2014·镇江)“六一”儿童节,小文到公园游玩,看到公园的一段人行弯道MN(不计宽度),如图.它与两面互相垂直的围墙OP、OQ之间有一块空地MPOQN(MP⊥OP,NQ⊥OQ).他发现弯道MN上任一点到两边围墙的垂线段与围墙所围成的矩形的面积都相等,比如: A、B、C是弯道MN上三点,矩形ADOG、矩形BEOH、矩形CFOI的面积相等.爱好数学的他建立了平面直角坐标系(如图),图中三块阴影部分的面积分别记为S1、S2、S3,并测得S2=6(单位: 平方米),OG=GH=HI. (1)求S1和S3的值; (2)设T(x,y)是弯道MN上的任一点,写出y关于x的函数解析式; (3)公园准备对空地MPOQN内部进行绿化改造,在横坐标、纵坐标都是偶数的点处种植花木(区域边界上的点除外).已知MP=2米,NQ=3米,则一共能种植多少棵花木? 52.(2014·威海)已知反比例函数y=(m为常数)的图象在第一、三象限. (1)求m的取值范围; (2)如图,若该反比例函数的图象经过▱ABOD的顶点D,点A、B的坐标分别为(0,3)、(-2,0). ①求出反比例函数的解析式; ②设P是该反比例函数图象上的一点,若OD=OP,则点P的坐标为__________________;若以D、O、P为顶点的三角形是等腰三角形,则满足条件的点P的个数为________. 反比例函数的图象、性质及其应用 一、D D A D A B A D D B D A B A C A 提示: 由题意,得点P在点B的上方,∴t>1.如图,设直线l交x轴于点Q,把点A(-1,1)代入y=,得k=-1,即反比例函数的解析式为y=-.由AB⊥y轴,得OB=AB=1,因此△OAB为等腰直角三角形,∴∠AOB=45°.结合PQ⊥OA可得∠OPQ=45°,根据轴对称的性质,得PB=PB′,BB′⊥PQ,∴∠BPQ=∠B′PQ=45°.∴B′P⊥y轴.∴PB=PB′=t-1.∴B′(1-t,t).把点B′的坐标代入y=-,得t=-,整理得t2-t-1=0,解得t1=,t2=(舍去).∴t的值为. 二、x≠0 -1 2 6 y=x-2 y=- y=或y=- 答案不唯一,如-2 > -6 2 y= 8 -3 -1 利用整体思想求解.由于点A(x1,y1)是直线y=10-x与双曲线y=(x>0)的交点,因此y1=10-x1,y1=,变形得x1+y1=10,x1y1=6,∴长为x1、宽为y1的矩形的面积S=x1y1=6,周长C=2(x1+y1)=20. 6 6 y=- 提示: 设点B在反比例函数y=(k<0)的图象上,分别过点A、B作AC、BD垂直于y轴,垂足分别为C、D,证△AOC∽△OBD,得===.∵点A(x0,y0)的坐标x0、y0满足y0=,∴S△AOC=.∴S△BOD=1.∴k=-2.∴点B(x,y)的坐标x、y所满足的解析式为y=-. 2 提示: 连接OB,由双曲线y=中k=3的几何意义,得S△OCB=×|3|=.又S△ACB=1,∴S△OAB=,即S△OAB∶S△ACB=1∶2.∴OA∶AC=1∶2.设直线y=kx-1交y轴于点D,则可得A、D(0,-1),因此OA=(k>0),OD=1.根据△OAD∽△CAB,得==,∴AC=、BC=2.∴B.把点B的坐标代入y=中,求出k=2. 三、 (1)把x=2,y=3代入y=,得3=,解得m=-1 (2)由m=-1,得该反比例函数的解析式为y=.从极端情况考虑,当x=3时,y=2;当x=6时,y=1.∵当3≤x≤6时,y随x的增大而减小,∴函数值y的取值范围是1≤y≤2 (1)把点A(m,2)代入y=-2x,得m=-1,∴点A的坐标为(-1,2).把点A(-1,2)代入y=,得k=-2,∴反比例函数的解析式为y=-.∵直线y=-2x与双曲线y=-均关于原点对称,即点A与点B关于原点对称,∴点B的坐标为(1,-2) (2)x<-1或0 (1)当反比例函数y=(m>0,x>0)的图象在第一象限内与直线l至少有一个交点时,得-x+3=,整理得x2-3x+m=0,由Δ=(-3)2-4m≥0,得m≤.∴m的取值范围为0 (2)设点C(x1,y1)、D(x2,y2).由x2-3x+m=0,得x1+x2=3,x1·x2=m.∴CD2=(x1-x2)2+(y1-y2)2=(x1-x2)2+(-x1+3+x2-3)2=2(x1-x2)2=2[(x1+x2)2-4x1·x2]=2(32-4m)=18-8m.又CD=2,∴18-8m= (2)2.解得m= (3)当m=时,x2-3x+=0,即4x2-12x+5=0,解得x1=,x2=,从而点C、D的横坐标分别为、.由反比例函数图象在直线上方的区域得-x+3<的解集为0 (1)∵PQ∥x轴,∴点P的纵坐标为2.把y=2代入y=,得x=3,∴点P的坐标为(3,2) (2)∵S△POQ=S△OMQ+S△OMP,∴|k|+×|6|=8.∴|k|=10.而k<0,∴k=-10 (1)∵反比例函数y=的图象经过点A(1,2),∴k=2,此时y=.又∵AC∥y轴,AC=1,∴点C的坐标为(1,1).∵CD∥x轴,点D在反比例函数图象上,∴点D的坐标为(2,1).∴CD=1.∴S△OCD=×1×1= (2)∵BE=AC,∴BE=.∵BE⊥CD,∴点B的纵坐标为.代入y=得点B的横坐标为,即点E的横坐标为.∴CE=-1= (1)由点P(-1,n)在y=-上,得n=4,∴P(-1,4).∵F为PE的中点,∴OF=n=2,∴F(0,2).又∵点P、F在y=kx+b上,∴解得∴直线l的解析式为y=-2x+2 (2)过P作PD⊥AB,垂足为D.∵PA=PB,∴D为AB的中点.又由题意知,点A的纵坐标为-2a+2,点B的纵坐标为-,点D的纵坐标为4,∴-2a+2-=4×2,即a2+3a+2=0.解得a1=-2,a2=-1(舍去).∴当a=-2时,PA=PB (1)∵△AOM的面积为3,∴|k|=3.又k>0,∴k=6.∴反比例函数的解析式为y= (2)①当以AB为一边的正方形ABCD的顶点D在反比例函数y=的图象上,则点D与点M重合,即AB=AM.把x=1代入y=得y=6,∴点M的坐标为(1,6).∴AB=AM=6.∴t=1+6=7;②当以AB为一边的正方形ABCD的顶点C在反比例函数y=的图象上,则AB=BC=t-1,∴点C的坐标为(t,t-1).∴t-1=.整理得t2-t-6=0,解得t1=3,t2=-2(舍去),∴t=3.综上所述,以AB为一边的正方形有一个顶点在反比例函数y=的图象上时,t的值为7或3 (1)过点A作x轴的垂线,垂足是E.∵点A的坐标为(m,2),∴OE=m,AE=2.在Rt△AEO中,tan∠AOE===,∴m=6.∴A(6,2).将点A的坐标代入y=,得k=12.∴反比例函数的解析式为y=.又点B(-4,n)在y=的图象上,∴n=,即n=-3.∴B(-4,-3).∵一次函数y=ax+b过A、B两点,∴解得∴一次函数的解析式为y=x-1 (2)当x=0时,y=-1,∴C(0,-1).当y=-1时,x=-12,∴D(-12,-1).∴S四边形OCBD=S△ODC+S△BDC=×|-12|×|-1|+×|-12|×|-2|=6+12=18 (1)分别把点A(m,6)、B(3,n)代入y=,得6m=6,3n=6,解得m=1,n=2,∴点A的坐标为(1,6),点B的坐标为(3,2).分别把点A(1,6)、B(3,2)代入y=kx+b,得解得∴一次函数的解析式为y=-2x+8 (2)∵kx+b-<0,∴kx+b<.观察图象,满足上述不等式的解集就是反比例函数图象在一次函数图象上方时x的取值范围,∴0 (3)设直线AB交x轴、y轴分别于点D、点C.当x=0时,y=-2x+8=8,则点C的坐标为(0,8).当y=0时,-2x+8=0,解得x=4,则点D的坐标为(4,0),∴S△AOB=S△COD-S△COA-S△BOD=×4×8-×8×1-×4×2=8 (1)-4 (2)∵y=kx+b的图象过点A、B(-1,2),则解得∴一次函数的解析式为y=x+.∵反比例函数y=的图象过点B(-1,2),∴m=-1×2=-2 (3)如图,连接PC、PD.设P,由△PCA和△PDB面积相等,得××(x+4)=×|-1|×,解得x=-,∴点P的坐标是 (1)3 (2)∵B(1,3),PB⊥x轴,∴设点P的坐标为(1,t).∵PA⊥y轴,反比例函数解析式为y=,∴A.设直线AB的解析式为y=ax+b,代入点A、B的坐标可得直线AB的解析式为y=-tx+(t+3).∴E、F(0,t+3).分别过点E、F作EG⊥AP、FH⊥BP,垂足分别为G、H.则EG=CP=-t,AG=-=1,FH=DP=1,BH=3-(t+3)=-t.∴在Rt△AGE中,AE==;在Rt△BHF中,BF==.∴AE=BF (3)设点P的坐标为(1,t).由 (2)得A.∴DP=1,PC=
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- 反比例 函数 图象 性质 及其 应用