福建省南安华侨中学惠安高级中学泉州城东中学学年高一上学期期中考试数学试题Wor.docx
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2017-2018学年南安华侨中学、惠安高级中学、泉州城东中学高一期中联考数学试卷
一、选择题(包括12小题,每小题5分,共60分)
1.设全集疋,集合:
i:
..■■.!
:
,集合.:
,则=()
A.、B.:
C.D.
【答案】D
【解析】
【分析】
找出全集U中不属于Q的元素,确定出Q的补集,找出P与Q补集的公共元素,即可确定出所求的集合.
【详解】由题全集U={1,2,3,4,5,6},Q={3,4,5},
•••CQ={1,2,6},又P={1,2,3,4},
则Pn(CQ)={1,2}.
故选D.
【点睛】本题考查交、并、补集的混合运算,熟练掌握交、并、补集的定义是解本题的关键.
2.已知映射W其中集合—1-I,集合中的元素都是中元素在映射下
的象,且对任意的a,在B中和它对应的元素是,贝燦合B中元素的个数是()
A.4B.5C.6D.7
【答案】B
【解析】
【分析】
先找出对应关系,根据原像判断像的值及像的个数,像的个数即是集合B中元素的个数.
【详解】•••对应关系为f:
|a|,A={-3,-2,-1,0,1,2,3,4},
•••|a|=0,1,2,3,4,共5个值,故集合B中元素的个数为5个,
故选:
B.
【点睛】本题考查映射的概念,像与原像的定义,集合A中所有元素的不同像的个数即为集
合B中元素的个数.
3.下列函数中,与■/-■■相同的函数是()
A.B.y=igioxC.D.厂
X
【答案】B
【解析】
【分析】
根据两个函数的定义域相同,对应法则也相同,即可判断它们是同一函数.
【详解】对于A,丫.,:
•'-二,与函数m的对应法则不同,不是同一函数;
对于B:
•I;..u,与函数;--■的定义域相同,对应法则也相同,是同一函数;
2
对于C,:
二—L,与函数■我的定义域不同,不是同一函数;
X
对于D,:
■*[、.」,与函数T-*的定义域不同,不是同一函数.
故选:
B.
【点睛】本题考查了判断两个函数是否为同一函数的应用问题,是基础题.
4.不论a取何正实数,函数:
芸;;恒过点()
A.-I-■B.C.D.--■
【答案】A
【解析】
【分析】
令指数为0,即可求得函数[二=广"IT恒过点.
【详解】令x+仁0,可得x=-1,贝UI二
•••不论取何正实数,函数丸=『•〉恒过点(-1,-1)
故选:
A.
【点睛】本题考查指数函数的性质,考查函数恒过定点,属于基础题.
1-/I
5.若函数,那么()
A.1B.3C.15D.30
【答案】C
【解析】
11I-
试题分析:
因为:
.zI、,所以由得■=.,又因为■>'1■,所以
24vz
l-c-
•,故答案为.
考点:
复合函数的概念及求函数值.
6.函数
A.(,+8)B.[1,+8C.
)
1
(,1D.(―汽1)
【答案】C
【解析】
【分析】
根据偶次根号下的被开方数大于等于零,对数的真数大于零,列出不等式组,进行求解再用集合或区间的形式表示出来.
k)gi(2x-1)>0
【详解】要使函数有意义U」亍,
2x-l>0
解得1
2
则函数的定义域是
2
故选:
C.
【点睛】本题考查了函数定义域的求法,即根据函数解析式列出使它有意义的不等式组,最后注意要用集合或区间的形式表示出来,这是易错的地方.
7.下列函数为奇函数,且在上单调递增的函数是()
L
A.:
工B.C.D.
【答案】D
【解析】
【分析】
根据题意,依次分析选项中函数的奇偶性与单调性,综合即可得答案.
【详解】根据题意,依次分析选项:
对于A,■亠厂=.,函数为偶函数,不符合题意;
xT
对于B,,函数为奇函数,在单调递减,不符合题意;
x
对于C,函数不是奇函数,不符合题意;
*fix)=x=yx
对于D,,为奇函数,且在上单调递增,符合题意;
故选:
D.
【点睛】本题考查函数的奇偶性与单调性的判断,关键是掌握常见函数的奇偶性以及单调性.
8.设,,,则它们的大小关系是:
()
2
A.s>mB.C..■-I-.D...:
'[-
【答案】C
【解析】
【分析】
利用指数函数的单调性比较a、c与1的大小,结合b小于0可得答案.
【详解】'f'|:
'•卜!
-''■
2
故选:
C.
【点睛】本题考查对数值的大小比较,考查了指数函数的单调性,是基础题.
2
9.
函数f(x)=In(x+1)的图象大致是()
【答案】A
【解析】
试题分析:
函数的定义域为,所以排除B;
又I''■-:
i|.■I■ii-"-;、,所以函数为偶函数,图像关于轴对称,所以排除
C;
又因为>「•:
'•I「,所以排除D.故A正确.
考点:
函数图像.
—[视频®
10.设函数’•,则不等式的解集是(
Ix+6.x<0
A.:
-<1)-'十心;B.•丨、;_■
C.-II';D.'■;:
■:
【答案】A
【解析】
【分析】
先求f
(1),依据x的范围分类讨论,求出不等式的解集.
【详解】f
(1)=3,当不等式f(x)>f
(1)即:
f(x)>3
如果xv0则x+6>3可得x>-3,可得-3vxv0.
如果x>0有x-4x+6>3可得x>3或OWxv1
综上不等式的解集:
(-3,1)U(3,+s)
故选:
A.
【点睛】本题考查一元二次不等式的解法,考查分类讨论的思想,是中档题.
11.已知函数■1:
在||:
.丨|上是x的减函数,贝U的取值范围是(
A.B.-C.";D.
【答案】B
【解析】
【分析】
根据对数函数的性质进行分析求解
【详解I:
y=loga(3-ax)在[0,1]上是x的减函数
--0v3-aW3-axW3
即av3①
又■/y=loga(3-ax)在[0,1]上是x的减函数,且3-ax是减函数
•••a>1②
综上所述:
1vav3
故选B.
【点睛】考查了复合函数的关于减函数的性质,属于基础题
12.
,则的值是
已知函数在上是单调函数,且满足对任意••,都有:
;/=
A.B.、C.D.
【答案】C
【解析】
【分析】
由已知可得:
为一常数,进而可得函数的解析式,将•代入可得答案.
【详解】T对任意x€R,都有f[f(x)-3x]=4,且函数f(x)在R上是单调函数,故f(x)-3x=k,
即f(x)=3x+k,
/•f(k)=3k+k=4,
解得:
k=1,
故f(x)=3x+1,
二f
(2)=10,
故选:
C.
【点睛】本题考查的知识点是抽象函数及其应用,函数解析式的求法,函数求值,其中根据
已知得到函数的解析式,是解答的关键.
二、填空题(包括4小题,每小题5分,共20分)
13.已知幕函数y=f(x)的图象经过点(N亍),则f(9)=
【答案】.
【解析】
【分析】
J2
设幕函数,再由题意可得',由此求得的值,可得y=的解析式,从而
可求f(9)的值.
【详解】设幕函数,再由题意可得:
;「上,即-=■:
--.-
2T
11
——
止y=fCx)=x■.化f⑼=9~~=
故答案为
3
【点睛】本题主要考查用待定系数法求幕函数的解析式,属于基础题.
14.函数-...<-1二訂的值域是
【答案】
【解析】
【分析】
配方,由二次函数的图象可得函数在[-3,-1]单调递减,在[-1,2]单调递增,可得最值,可
得答案.
22
【详解】配方可得y=x+2x-仁(x+1)-2,
函数的图象为开口向上,对称轴为x=-1的抛物线的一段,
由二次函数的知识可知函数在[-3,-1]单调递减,在[-1,2]单调递增,
故函数在x=-1处取到最小值y=-2,在x=2处取到最大值y=7,
故原函数的值域为:
[-2,7]
故答案为:
[-2,7]
【点睛】本题考查二次函数区间的最值,得出其单调区间是解决问题的关键,属基础题.
15.已知10^2<1,则!
)的取值范围.
【答案】11
【解析】
【分析】
先把1变成底数的对数,再讨论底数与1的关系,确定函数的单调性,根据函数的单调性整理出关于的不等式,得到结果,把两种情况求并集得到结果.
【详解】'■■-
当•时,函数是一个增函数,不等式的解是,
当••时,函数是一个减函数,根据函数的单调性有叫一立;
综上可知的取值是a>2或Ovav1.
故答案为:
©
【点睛】本题主要考查对数函数单调性的应用、不等式的解法等基础知识,本题解题的关键是对于底数与1的关系,这里应用分类讨论思想来解题.
V=logiX
16.①在同一坐标系中,与的图象关于轴对称
2是奇函数
1-X
v+1
3与的图象关于:
I:
成中心对称
x+2
2I
4?
=v的最大值为,
以上四个判断正确有(写上序号)
【答案】:
【解析】
【分析】
1通过换底公式得到由图象对称即可判断正误;
2
2利用函数的奇偶性的定义判断即可;
3通过函数的对称性,判断由图象对称即可判断;
4通过复合函数的性质以及最值判断正误即可;
数是奇函数,②正确;
对于③,因为"「二的对称中心,函数丨-二向左平移2单位,向上平移1单位,得到
XX
的图象的对称中心^,
%十2x-2
所以函数的图象关于•成中心对称,所以③正确.
y、2-
对于④,因为-函数是偶函数,•时,函数是减函数,•时,函数
是增函数,所以x=0时函数取得的最小值为,④不正确;
2
故答案为:
①②③.
【点睛】本题以命题的真假判断为载体,考查函数的奇偶性及图象,函数的单调性和应用,
属于基本知识的考查.
三、解答题(17题10分,18-22每题12分,共70分)
17.设全集为R,讨人;〕,2-,
(1)求'及
(2)若集合:
「二:
:
I;,「I二M,求.的取值范围.
【答案】
(1);
(2).
【解析】
【分析】
(1)由并集运算求得AUB,再由补集运算求;氏;求出再由交集运算求解
((C*)g
(2)由已知可得关于m的不等式,求解得答案.
【详解】
(1)「I-•:
.-J;
—y匕「..匸,
CrA={x|xV玄或XM5},
(CrA)nB={X|2 (2)集合t—;十lx二: 且.■, ■--ii-贝Vm>2. 【点睛】本题考查交、并、补集的混合运算,是基础的计算题. 18. (1) (2) (2) 直接利用对数的运算性质化简求值. z、妬log,2 (2)': 、、* 315 =--I-I2I2=—— 44 【点睛】本题考查有理指数幕的化简求值及对数的运算性质,是基础的计算题. 19.已知函数? -^4-| (1)用分段函数形式表示f(x); (2)在如图给定的直角坐标系内作出函数的草图(不用列表) 【解析】 【分析】 (1)讨论xV1,x>1去绝对值,可得分段函数形式; (2)由分段函数的画法可得; (3)由题意可得y=f(x)与y=有两个交点,结合图象可得的范围. 耳-1 【详解】 (1)函数 [2卜lhx<1 【点睛】本题考查分段函数的图象和性质,以及数形结合思想方法,考查运算能力,属于础题. ax+bi2 20.函数是定义在(—1,1)上的奇函数,且 x-I1八 (1)求汕•: : 的值; (2)利用定义证明在(一1,1)上是增函数; (3)求满足-;-1>: 】的-的范围. 【答案】 (1)b=0,a=1; (2)见解析;(3) 【解析】 【分析】 (1)由函数是奇函数可得 可求,进而可求; (2)运用函数的单调性的定义证明: 设自变量,作差,变形,定符号,下结论. (3)由奇函数的定义,得到•.,再由函数的单调性,得到不等式组,解出即可. 【详解】解: (1)vf(x)是奇函数, -ax+bax+b 即=,—ax+b=-ax—b, x+1x+1 •-b=0,(或直接利用f(0)=0,解得b=0). 丄 ax12京玄7 •-,: f(TT)=;',•一=解得a=1, x亠1£□1,4b 4+1 •f(x)=「; (2)证明任取xi,x? €(—1,1),且XiVX2, ■/—1VXiVX2V1, /•—1VX1X2V1,X1—X20,jI■'I■■■I.■■, /•f(X1)—f(X2)V0,即卩f(X1)Vf(X2), 所以f(X)在(-1,1)上是增函数. (3)vf(t—1)+f(t)V0, •••f(t—1)V—f(t), •-f(—t)=—f(t), •f(t—1)Vf(—t), t.■■1-t 又•••f(x)在(-1,1)上是增函数,-II -1 C,1 •-0VtV=••• 2 【点睛】本题主要考查了奇函数的性质的应用,利用该条件可以简化基本运算,函数单调性 的定义的证明及应用,属于中档题. 21.已知为心匸次函数,且 (1)求的表达式; (2)设其中■■1I,•为常数且: : : EI: ,求函数的最小值. 【答案】 (1)f(X)=X2—2x—1; (2)见解析. 【解析】 【分析】 (1)用待定系数法,设出的解析式,代I: ._4.中,求出系数即可. (2)设I「即可得到-i_;ii■.hi.'1;.'二.再分类讨 论,根据二次函数的性质即可求出最小值. 【详解】解: (1)设f(x)=ax2+bx+c 因为f(x+1)+f(x—1)=2x2—4x, 所以a(x+1)2+b(x+1)+c+a(x—1)2+b(x—1)+c=2x2—4x 所以2ax2+2bx+2a+2c=2x2—4x (2\g(x)=f(2x)-m■2K+1=(2^)3-(2m十2)*2X-]i^t=2x1te[1,2] y=t2-(2m+2>t-I=[t-(m十l)]2-(m2-2m十2) 当m+1>£即m沖1时會y=r-(2m+2艸-1衽tE|1⑵为减函数® 当t=2Ty-=-4m-1; 当m+1£L即mvO时暫 ■■, 3)0 当t=m十IJmiiiH-(rn: +2m+1) ! -4m-ltm>1 Tni-ZniG m2-2m亠2*0 【点睛】本题考查了求二次函数的解析式的问题,以及二次函数的性质,属于中档题. 22.已知集合m是满足下列性质的函数的全体: 在定义域内存在,使得 成立• (1)函数是否属于集合M? 说明理由; x (2)设函数i''--求的取值范围; K3I1 (3)已知函数图象与函数的图象有交点,根据该结论证明: 函数心: 八•、「WU. 【答案】 (1)见解析; (2).(3)见解析• 【解析】 【分析】 (1)集合M中元素的性质,即有f(xo+1)=f(xo)+f (1)成立,代入函数解析式列出方程, 进行求解,若无解则此函数不是M的元素,若有解则此函数是M的元素; (2)根据f(xo+1)=f(xo)+f (1)和对数的运算,求出关于a的方程,再根据方程有解的 条件求出a的取值范围,当二次项的系数含有参数时,考虑是否为零的情况; (3)利用f(xo+1)=f(xo)+f (1)和f(x)=2x+x2€M整理出关于xo的式子,利用y=2x图象与函数y=-x的图象有交点,即对应方程有根,与求出的式子进行比较和证明. 【详解】(1若f(x)J€M在定义域内存在X0, K 11? 则+仁0, xo1x0 •••方程X02+X0+1=0无解, 当a^2时,显然a>0,又由△》0,得a2—6a+4w0,a€;II;i-. 综上,所求的寸-■-; (3): 函数f(x)=2X+x2€M •,丨1: 「It! 1二,: 」/": : —3 •••函数y=2X图象与函数y=—x的图象有交点,设交点的横坐标为a, 则-: '1'3^|;■-「二,其中xo=a+1 •f(Xo+1)=f(xo)+f (1),即f(x)=2X+x2€M 【点睛】本题的考点是元素与集合的关系,此题的集合中的元素是集合,主要利用了元素满足的恒等式进行求解,根据对数和指数的元素性质进行化简,考查了逻辑思维能力和分析、解决问题的能力. -15-
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