不等式专题 含答案.docx

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不等式专题含答案

不等式专题（含答案）

1.已知，，是全不相等的正实数，求证：

．

2.已知函数（，且）的图象恒过定点，点在直线上，求的最小值．

3.已知函数．

（1）求不等式的解集；

（2）设，，为正实数，且，求证：

．

4.若满足，则称为的不动点．

（1）若函数没有不动点，求实数的取值范围；

（2）若函数的不动点，，求的值；

（3）若函数有不动点，求实数的取值范围．

5.在中，角，，所对的边分别为，，，且满足，．

（1）求角的大小；

（2）求的周长的最大值．

6.已知函数（，为常数且），函数的图象关于直线对称．

（1）求函数的最小正周期；

（2）在中，角，，的对边分别为，，，若，，求面积的最大值．

7.已知，，且．

（1）求的最小值；

（2）求的最小值．

8.在中，角，，所对的边分别为，，，已知．

（1）求角的大小；

（2）若，求使面积最大时，的值．

9.

（1）设，，均为正数，且，证明：

；

（2）解关于不等式：

．

10.

（1）若，均为正数，且．证明：

；

（2）若不等式的解集为，求实数的值．

11.设函数的最大值为．

（1）求；

（2）若，，求的最大值．

12.已知美国苹果公司生产某款iphone手机的年固定成本为万美元，每生产只还需另投入美元．设苹果公司一年内共生产该款iphone手机万只并全部销售完，每万只的销售收入为万美元，且．

（1）写出年利润（万元）关于年产量（万只）的函数解析式；

（2）当年产量为多少万只时，苹果公司在该款手机的生产中所获得的利润最大?

并求出最大利润．

13.已知点，椭圆：

的离心率为，是椭圆的焦点，直线的斜率为，为坐标原点．

（1）求的方程；

（2）设过点的直线与相交于，两点，当的面积最大时，求的方程．

14.已知椭圆：

，离心率为，两焦点分别为，，过的直线交椭圆于，两点，且的周长为．

（1）求椭圆的方程；

（2）过点作圆的切线交椭圆于，两点，求弦长的最大值．

15.定义的零点为的不动点，已知函数．

（1）当，时，求函数的不动点；

（2）对于任意实数，函数恒有两个相异的不动点，求实数的取值范围；

（3）若函数只有一个零点且，求实数的最小值．

16.已知函数，，，．

（1）当时，若对任意恒成立，求实数的取值范围；

（2）当时，求函数的最小值．

17.已知，角，，的对边分别为，，且且．

（1）求角；

（2）求面积的最大值．

18.已知实数，，均大于．

（1）求证：

；

（2）若，求证：

．

19.已知函数，，且恒成立．

（1）求实数的最大值；

（2）当取最大时，求不等式的解集．

20.已知函数，且恒成立．

（1）求实数的最大值；

（2）当取最大时，求不等式的解集．

21.设实数，满足．

（1）若，求的取值范围；

（2）若，，求证：

．

22.已知，，为正实数，且．

（1）解关于的不等式；

（2）证明：

．

23.设实数，满足．

（1）若，求的取值范围；

（2）若，，求证：

．

24.已知关于的不等式有解，记实数的最大值为．

（1）求的值；

（2）正数，，满足，求证：

．

25.已知使得关于的不等式成立．

（1）求满足条件的实数的集合；

（2）若，，且对于，不等式恒成立，试求的最小值．

26.

（1）（用分析法证明）；

（2）若，，，且，求证：

．

27.某村计划建造一个室内面积为的矩形蔬菜温室．在温室内，沿左、右两侧与后侧内墙各保留宽的通道，沿前侧内墙保留宽的空地．当矩形温室的边长各为多少时?

蔬菜的种植面积最大．最大种植面积是多少?

28.

（1）若，，，求证：

．

（2）设，为实数，若，求的最大值．

29.

（1）求函数的最小值，并求相应的的值；

（2）解关于的不等式：

．

30.已知，，，证明：

（1）；

（2）．

31.已知

（1）求不等式的解集；

（2）设，，为正实数，且，求证：

．

32.已知对于实数，，且恒成立．

（1）求实数的最大值；

（2）当取最大值时，求不等式的解集．

33.已知函数，其导函数的图象过原点．

（1）当时，求函数的图象在处的切线方程；

（2）若存在，使得，求的最大值；

34.

（1）已知，证明：

；

（2）若对任意实数，不等式恒成立，求实数的取值范围．

35.已知．

（1）求证；

（2）若对任意实数，都成立，求实数的取值范围．

36.已知．

（1）求证：

；

（2）若对任意实数，都成立，求实数的取值范围．

37.已知，，函数的最小值为．

（1）求证：

．

（2）若恒成立，求实数的最大值．

38.已知点，，为坐标原点，函数．

（1）求函数的解析式及的最小正周期；

（2）若为的内角，，，求周长的最大值．

39.设函数．

（1）求的最大值，并写出使取最大值时的集合；

（2）已知中，角，，的对边分别为，，．若，，求的最小值．

40.已知关于的不等式有解，记实数的最大值为．

（1）求的值；

（2）正数，，满足，求证：

．

41.已知，函数．

（1）当，时，求不等式的解集；

（2）若，且，求证：

；并求时，，的值．

42.在中，角，，的对边分别为，，且．

（1）求；

（2）若为边的中点，且，求面积的最大值．

43.已知圆：

与圆：

，以圆，的圆心分别为左右焦点的椭圆：

经过两圆的交点．

（1）求椭圆的方程；

（2）直线上有两点，（在第一象限）满足，直线与交于点，当最小时，求线段的长．

44.已知函数．

（1）求不等式的解集；

（2）若函数的最小值为，且，求的最小值．

45.设向量，，，记函数．

（1）求函数的单调递增区间；

（2）在锐角中，角，，的对边分别为，，．若，，求面积的最大值．

46.已知的内角，，所对的边分别为，，，若，．

（1）求的面积；

（2）求边的最小值．

47.在中，设边，，所对的角分别为，，，，，都不是直角，且．

（1）若，求，的值；

（2）若，求面积的最大值．

48.已知的内角，，的对边分别为，，，其中．

（1）求；

（2）当时，求面积的最大值．

49.已知，．

（1）求的最小值；

（2）是否存在，，满足?

并说明理由．

50.已知恒成立．

（1）求实数的最大值；

（2）若实数的最大值为，正数，满足．求的最小值．

51.已知函数的最小值为．

（1）求的值以及此时的的取值范围；

（2）若实数，，满足，证明：

．

52.已知函数是上的偶函数．

（1）求的值；

（2）解不等式；

（3）若关于的不等式在上恒成立，求实数的取值范围．

53.已知数列是首项为的等差数列，其公差，且成等比数列．

（1）求数列的通项公式；

（2）设数列的前项和为，求的最大值．

54.若，，且满足．

（1）用，表示；

（2）用表示；

（3）求的最小值及此时与所成的角的大小．

55.设函数的最大值为．

（1）作出函数的图象；

（2）若，求的最大值．

56.已知函数的最小值为，且．

（1）求的值以及实数的取值集合；

（2）若实数，，满足，证明：

．

57.为了竖立一块广告牌，要制造三角形支架，如图所示，要求，的长度大于米，且比长米，为了稳固广告牌，要求越短越好，求最短为多少?

此时的长度为多少?

58.已知不等式的解集为．

（1）求，的值；

（2）若，，，求证：

．

59.中内角、、的对边分别为、、，向量，，且．

（1）求锐角的大小；

（2）如果，求的面积的最大值．

60.

（1）已知，求的最小值．

（2）已知，求的最大值．

（3）已知，求的最大值．

61.已知，且，求的最小值；

62.已知，，且，求的最小值．

63.

（1）已知，求的最大值．

（2）点在直线上移动，求的最小值．

64.

（1）求函数的最小值；

（2）已知，，且，求的最大值及相应的、值．

65.

（1）已知，求的最小值；

（2）若，，且满足，求的最小值．

66.

（1）已知，求函数的最大值．

（2）已知，为实常数，求函数的最小值．

67.

（1）已知，是正常数，，，求证：

，并指出等号成立的条件．

（2）利用

（1）的结论，求函数，的最小值，并指出取最小值时的值．

68.设函数．

（1）当时，解不等式：

；

（2）若关于的不等式的解集为，且两正数和满足，求证：

．

69.已知函数，．

（1）求不等式的解集；

（2）若的最小值为，正数，满足，求的最小值．

70.已知，，为正实数，且，证明：

．

71.已知定义在上的函数，若存在实数使得成立．

（1）求实数的值；

（2）若，，求证：

．

72.已知函数的定义域为．

（1）求实数的取值范围；

（2）若的最小值为，正实数，满足，求的最小值．

73.设函数的最小值为．

（1）求的值；

（2）已知，，求的最小值．

74.已知函数的最小值为．

（1）求的值以及此时的的取值范围；

（2）若实数，，满足，证明：

．

75.已知使不等式成立．

（1）求满足条件的实数的集合；

（2）若，，对，不等式恒成立，求的最小值．

76.已知函数的最大值．

（1）求的值；

（2）若，试比较与的大小．

77.在中，内角，，的对边长分别为，，，若．

（1）求角的大小；

（2）若，求边上的中线的最大值．

78.已知函数的最大值为．

（1）求的值；

（2）若，试比较与的大小．

79.已知，为正常数，且，．

（1）求证：

，并指出等号成立的条件；

（2）利用（）的结论求函数的最小值，并指出取最小值时的值．

80.在平面直角坐标系中，已知点，点在直线上，点满足，点的轨迹为曲线．

（1）求的方程；

（2）为上的动点，为在点处的切线，求点到距离的最小值．

81.设，证明：

（1）当时，；

（2）当时，．

82.已知椭圆，直线与椭圆交于两点，直线与椭圆交于两点，点坐标为，直线和斜率乘积为．

（1）求椭圆的离心率；

（2）若弦的最小值为，求椭圆的方程．

83.已知椭圆的离心率为，且经过点．过它的两个焦点，分别作直线与，交椭圆于，两点，交椭圆于，两点，且．

（1）求椭圆的标准方程；

（2）四边形的面积的取值范围．

84.已知，都是定义在上的函数，如果存在实数，使得，那么称为，在上生成的一个函数．设，，，为，在上生成的一个二次函数．

（1）设，，若为偶函数，求；

（2）设，若同时也是、在上生成的一个函数，求的最小值；

85.已知点，椭圆的离心率为，是椭圆的右焦点，直线的斜率为，是坐标原点．

（1）求的方程；

（2）设过点的直线与相交于，两点，当的面积最大时，求直线的方程．

86.已知，且，求证：

（1）；

（2）．

87.已知椭圆：

的两个焦点分别是，，且焦距是椭圆上一点到两焦点，距离的等差中项．

（1）求椭圆的方程；

（2）设经过点的直线交椭圆于，两点，线段的垂直平分线交轴于点，求的取值范围．

88.已知函数．

（1）若在区间上单调递增，求实数的取值范围；

（2）设的导函数的图象为曲线，曲线上的不同两点，所在直线的斜率为，求证：

当时，．

89.已知动圆过定点，且与直线相切．

（1）求动圆圆心的轨迹的方程；

（2）过点作直线交曲线于，两点．若直线、（是坐标原点）分别交直线于，两点，求的最小值．

90.设二次函数，其图象过点，且与直线有交点．

（1）求证：

；

（2）若直线与函数的图象从左到右依次交于，，，四点，若线段，，能构成钝角三角形，求的取值范围．

91.已知是椭圆：

的两个焦点，且点在椭圆上．

（1）求椭圆的方程；

（2）直线：

与椭圆有且仅有一个公共点，且与轴和轴分别交于点，，当面积取最小值时，求此时直线的方程．

92.已知椭圆的离心率为，其左顶点在圆上.

（1）求椭圆的方程；

（2）直线交椭圆于，两点.

（i）若以弦为直径的圆过坐标原点，求实数的值；

（ii）设点关于轴的对称点为（点与点不重合），且直线与轴交于点，试问的面积是否存在最大值?

若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由.

93.已知椭圆（）的离心率，过点的直线与椭圆交于，两点，且．

（1）当直线的倾斜角为时，求三角形的面积；

（2）当三角形的面积最大时，求椭圆的方程．

94.已知右焦点为的椭圆过点，且椭圆关于直线对称的图形过坐标原点．

（1）求椭圆的方程；

（2）过点作直线与椭圆交于，两点，线段的中点为，点是椭圆的右顶点，求直线的斜率的取值范围．

95.在平面直角坐标系中，，分别为椭圆的左、右焦点，为短轴的一个端点，是椭圆上的一点，满足，且的周长为．

（1）求椭圆的方程，

（2）设点是线段上的一点，过点且与轴不垂直的直线交椭圆于、两点，若是以为顶点的等腰三角形，求点到直线距离的取值范围．

96.已知椭圆：

的左右焦点和短轴的两个端点构成边长为的正方形．

（1）求椭圆的方程；

（2）过点的直线与椭圆相交于，两点，且点，记直线，的斜率分别为，，当取最大值时，求直线的方程．

97.已知椭圆的两个焦点是和，并且经过点，抛物线的顶点在坐标原点，焦点恰好是椭圆的右顶点．

（1）求椭圆和抛物线的标准方程；

（2）过点作两条斜率都存在且互相垂直的直线，，交抛物线于点，，交抛物线于点，，求的最小值．

98.已知函数，（为常数）．

（1）函数的图象在点处的切线与的图象相切，求实数的值；

（2）设，若函数在定义域上存在单调减区间，求实数的取值范围；

（3）若，对于区间上的任意两个不相等的实数，，都有成立，求的取值范围．

99.设函数．

（1）讨论的导函数零点的个数；

（2）证明：

当时，．

100.已知是定义在上的单调递增函数．对于任意的正数、满足；对于满足．

（1）求；

（2）若，解不等式；

（3）求证：

．

答案

第一部分

1.因为，，是全不相等的正实数，

所以与，与，与全不相等，

所以，，，

三式相加得，，

所以，即．

2.当时，

所以过定点，

因为在直线上，

所以，且，

所以，

即的最小值为．

3.

（1）①时，，由，所以，所以，即，

②时，，由，所以，所以，即，

③时，，由，所以，所以，可知无解，

综上，不等式的解集为；

（2）因为，所以，

所以，且，，为正实数，

所以，

因为，，，

所以，

因为，

所以可以解得．

故证毕．

4.

（1）没有不动点，等价于方程没有实数根，所以，所以．

（2）即，令，在上递增，，，所以，．

    （3）由可得，即，设，所以有不动点等价于关于的一元二次方程存在正根，所以，

所以，其中等号当且仅当时成立，

所以．

5.

（1）依题意得，．

由正弦定理得，，

，．

因为，

所以，

因为，

所以．

（2），．

．

因为，

所以，，即，

所以，（当且仅当时取等号）．

所以的周长的最大值为．

6.

（1）

由直线是图象的一条对称轴，可得，

所以，即，

因为，，

所以，，

所以．

则函数的最小正周期．

（2）因为，

所以，

所以．

因为，

所以，

所以，．

因为，

所以，即，

所以，

所以的最大值为．

7.

（1）由，得．

又，，

则，

得，当且仅当，时，等号成立．

所以的最小值为．

（2）由，得．

则

当且仅当，时等号成立，

所以的最小值为．

8.

（1）因为，即，

所以由正弦定理化简已知等式得：

，

整理得：

，

即，

因为，

所以，

因为为三角形内角，

所以．

（2）因为，，

所以由余弦定理得：

，

即，

所以，（当且仅当时成立），

因为，

所以当时，面积最大为，此时，

则当时，的面积最大为．

9.

（1）法一：

当且仅当时等号成立．

法二：

由柯西不等式有

，

所以有．

（2）由，有，可知有．

因此原不等式等价于，即．解之得．

因此原不等式的解集为．

10.

（1）因为，均为正数，

所以

当且仅当，即时取等号．

（2）不等式可化为不等式，作出函数和函数的图象，

由图象知，解得．

11.

（1）当时，；

当时，；

当时，．

故当时，的取得最大值．

（2）因为

当且仅当时取等号．

此时，取得最大值．

12.

（1）利用利润等于收入减去成本，可得

当时，；

当时，，

所以．

（2）当时，，

所以时，；

当时，，当且仅当，即时，．

因为，

所以时，的最大值为万美元．

13.

（1）设，由条件知，得．

又，

所以，，故的方程为．

（2）依题意当轴不合题意，故设直线：

，设，，将代入，得，当，即时，．

从而，又点到直线的距离，

所以的面积，设，则，，当且仅当，等号成立，且满足，

所以当的面积最大时，的方程为：

或．

14.

（1）由题得：

，，

所以，．

又，

所以，即椭圆的方程为．

（2）由题意知，．

当时，切线的方程，点，的坐标分别为，，此时；

当时，同理可得．

当时，设切线的方程为，

由与圆相切，得，即．得．

由得．

设，两点的坐标分别为，，则，，．

所以

因为，

所以，且当时，，由于当时，，

所以的最大值为．

15.

（1），

，

所以．

故函数的不动点为，．

（2）对于任意实数，函数恒有两个相异的不动点，

则对于任意实数，恒有两个不等的实数根．

所以，恒成立，

所以，

所以对任意实数都成立，

所以，

所以．

      （3），函数只有一个零点，，

则，

所以，

所以．

当且仅当时等号成立，

所以，的最小值为．

16.

（1）当时，，，

，当且仅当时等号成立．

实数的取值范围是．

（2）当时，，

当时，；

当时，，当且仅当等号成立；

故当时，函数取得最小值．

17.

（1）因为，即，则，又，

所以．

（2）由余弦定理可得，，即有，当且仅当，取得等号．

则的面积为，当且仅当，取得最大值．

18.

（1）因为实数，，均大于，

所以，，，三式相加，可得：

．

（2）因为，，，

所以．

19.

（1）因为，，且恒成立，

所以只需，

又因为

所以，即的最大值为．

（2）的最大值为时原式变为，

当时，可得，解得；

当时，可得，无解；

当时，可得，可得，

综上可得，原不等式的解集是．

20.

（1）因为，且恒成立，

所以只需，

又因为

所以，即的最大值为．

（2）的最大值为时原式变为，

当时，可