函数图象教案.docx

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函数图象教案

个性化辅导教案

课题：

函数图象

教学

目标

1、学会用列表、描点、连线画函数图象；

2、使学生掌握用描点法画实际问题的函数图象；

3、总结函数三种表示方法．了解三种表示方法的优缺点。

重点

难点

函数图象的画法；函数表示方法的应用。

教

学

内

容

§14．1．3函数图象

（1）

教学目标

１．学会用列表、描点、连线画函数图象．２．学会观察、分析函数图象信息．

3．提高识图能力、分析函数图象信息能力．4．体会数形结合思想，并利用它解决问题，提高解决问题能力．

教学重点：

１．函数图象的画法．２．观察分析图象信息．

教学难点：

分析概括图象中的信息．

教学过程

Ⅰ．提出问题，创设情境

我们在前面学习了函数意义，并掌握了函数关系式的确立．但有些函数问题很难用函数关系式表示出来，然而可以通过图来直观反映．例如用心电图表示心脏生物电流与时间的关系．

即使对于能列式表示的函数关系，如果也能画图表示则会使函数关系更清晰．

我们这节课就来解决如何画函数图象的问题及解读函数图象信息．

Ⅱ．导入新课

问题1在前面，我们曾经从如图所示的气温曲线上获得许多信息，回答了一些问题．现在让我们来回顾一下．

先考虑一个简单的问题：

你是如何从图上找到各个时刻的气温的？

分析图中，有一个直角坐标系，它的横轴是t轴，表示时间；它的纵轴是T轴，表示气温．这一气温曲线实质上给出了某日的气温T（℃）与时间t（时）的函数关系．例如，上午10时的气温是2℃，表现在气温曲线上，就是可以找到这样的对应点，它的坐标是（10,2）．实质上也就是说，当t＝10时，对应的函数值T＝2．气温曲线上每一个点的坐标（t,T），表示时间为t时的气温是T．

问题2如图,这是2004年3月23日上证指数走势图，你是如何从图上找到各个时刻的上证指数的？

分析图中，有一个直角坐标系，它的横轴表示时间；它的纵轴表示上证指数．这一指数曲线实质上给出了3月23日的指数与时间的函数关系．例如，下午14:

30时的指数是1746.26，表现在指数曲线上，就是可以找到这样的对应点，它的坐标是（14:

30,1746.26）．实质上也就是说，当时间是14:

30时，对应的函数值是1746.26．

上面气温曲线和指数走势图是用图象表示函数的两个实际例子．

一般来说，函数的图象是由直角坐标系中的一系列点组成的图形．图象上每一点的坐标（x，y）代表了函数的一对对应值，它的横坐标x表示自变量的某一个值，纵坐标y表示与它对应的函数值．

一般地，对于一个函数，如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形，就是这个函数的图象（graph）．上图中的曲线即为函数Ｓ＝x2（x>0）的图象．

函数图象可以数形结合地研究函数，给我们带来便利．

[活动一]

下图是自动测温仪记录的图象，它反映了北京的春季某天气温Ｔ如何随时间t的变化而变化．你从图象中得到了哪些信息？

引导学生从两个变量的对应关系上认识函数，体会函数意义；可以指导学生找出一天内最高、最低气温及时间；在某些时间段的变化趋势；认识图象的直观性及优缺点；总结变化规律……．

结论：

１．一天中每时刻t都有唯一的气温Ｔ与之对应．可以认为，气温Ｔ是时间t的函数．

２．这天中凌晨4时气温最低为-3℃，14时气温最高为8℃．

３．从0时至4时气温呈下降状态，即温度随时间的增加而下降．从4时至14时气温呈上升状态，从14时至24时气温又呈下降状态．

４．我们可以从图象中直观看出一天中气温变化情况及任一时刻的气温大约是多少．

[活动二]

下图反映的过程是小明从家去菜地浇水，又去玉米地锄草，然后回家．其中x表示时间，y表示小明离他家的距离．

根据图象回答下列问题：

１．菜地离小明家多远？

小明走到菜地用了多少时间？

２．小明给菜地浇水用了多少时间？

３．菜地离玉米地多远？

小明从菜地到玉米地用了多少时间？

４．小明给玉米地锄草用了多长时间？

５．玉米地离小明家多远？

小明从玉米地走回家平均速度是多少？

引导学生分析图象、寻找图象信息，特别是图象中有两段平行于x轴的线段的意义．

结论：

１．由纵坐标看出，菜地离小明家1．1千米；由横坐标看出，小明走到菜地用了15分钟．

２．由平行线段的横坐标可看出，小明给菜地浇水用了10分钟．

３．由纵坐标看出，菜地离玉米地0．9千米．由横坐标看出，小明从菜地到玉米地用了12分钟．

４．由平行线段的横坐标可看出，小明给玉米地锄草用了18分钟．

５．由纵坐标看出，玉米地离小明家2千米．由横坐标看出，小明从玉米地走回家用了25分钟．所以平均速度为：

2÷25=0．08（千米／分钟）．

我们通过两个活动已学会了如何观察分析图象信息，那么已知函数关系式，怎样画出函数图象呢？

例1画出函数y＝x＋1的图象．

分析要画出一个函数的图象，关键是要画出图象上的一些点，为此，首先要取一些自变量的值，并求出对应的函数值．

解取自变量x的一些值，例如x＝－3，－2,－1，0，1，2，3…，计算出对应的函数值．为表达方便，可列表如下：

由这一系列的对应值，可以得到一系列的有序实数对：

…，（－3,－2），（－2,－1），（－1,0），（0,1），（1,2），（2,3），（3,4），…在直角坐标系中，描出这些有序实数对（坐标）的对应点，如图所示．

通常，用光滑曲线依次把这些点连起来，便可得到这个函数的图象，如图所示．

总结归纳一下描点法画函数图象的一般步骤

第一步：

列表．在自变量取值范围内选定一些值．通过函数关系式求出对应函数值列成表格．

第二步：

描点．在直角坐标系中，以自变量的值为横坐标，相应函数值为纵坐标，描出表中对应各点．

第三步：

连线．按照坐标由小到大的顺序把所有点用平滑曲线连结起来．

练习：

（1）下图是一种古代计时器──“漏壶”的示意图，在壶内盛一定量的水，水从壶下的小孔漏出，壶壁内画出刻度．人们根据壶中水面的位置计算时间．用x表示时间，y表示壶底到水面的高度．下面的哪个图象适合表示y与x的函数关系？

（2）a是自变量x取值范围内的任意一个值，过点（a，0）画y轴的平行线，与图中曲线相交．下列哪个图中的曲线表示y是x的函数？

为什么？

（提示：

当x=a时，x的函数y只能有一个函数值）

Ⅲ．随堂练习

1.在所给的直角坐标系中画出函数

的2.画出函数

的图象（先填写下表，再描点、连线）．（先填写下表，再描点、然后用光滑曲线顺次连结各点）

3.画出下列函数的图象：

（1）y＝4x－1；　　　　　

（2）y＝4x＋1．

Ⅳ．课时小结

本节学会了分析图象信息，解答有关问题．通过例题学会了用描点法画出函数图象，这样我们又一次利用了数形结合的思想．

数量x（千克）

售价y（元）

1

8+0.4

2

16+0.8

3

24+1.2

4

32+1.6

5

40+2.0

…

…

Ⅴ．课后作业：

习题11．1─5、6、7题．

Ⅵ．活动与探究

某商店售货时，在进价的基础上加一定利润，其数量x与售价y如下表表示．请你根据表中所提供的信息，列出售价y与数量x的函数关系式，并求出当数量为2．5千克时的售时是多少元．

§14．1．3函数图象

（2）

教学目标

1.使学生掌握用描点法画实际问题的函数图象；

2.使学生能从图形中分析变量的相互关系，寻找对应的现实情境，预测变化趋势等问题．

教学重难点:

通过观察实际问题的函数图象,使学生感受到解析法和图象法表示函数关系的相互转换这一数形结合的思想．

教学过程

Ⅰ．提出问题，创设情境

问题王教授和孙子小强经常一起进行早锻炼，主要活动是爬山．有一天，小强让爷爷先上，然后追赶爷爷．图中两条线段分别表示小强和爷爷离开山脚的距离（米）与爬山所用时间（分）的关系（从小强开始爬山时计时）．

问图中有一个直角坐标系，它的横轴（x轴）和纵轴（y轴）各表示什么？

答横轴（x轴）表示两人爬山所用时间，纵轴（y轴）表示两人离开山脚的距离．

问如图，线段上有一点P，则P的坐标是多少？

表示的实际意义是什么？

答P的坐标是（3,90）．表示小强爬山3分后，离开山脚的距离90米．

我们能否从图象中看出其它信息呢？

Ⅱ．导入新课

看上面问题的图，回答下列问题：

（1）小强让爷爷先上多少米？

（2）山顶离山脚的距离有多少米？

谁先爬上山顶？

分析

（1）小强让爷爷先跑的路程，应该看表示爷爷的这条线段．由于从小强开始爬山时计时的，因此这时爷爷爬山所用时间是0，而x轴表示爬山所用时间，得x＝0．可在线段上找到这一点A（如图）．A点对应的函数值y＝60．

（2）y轴表示离开山脚的距离，山顶离山脚的距离指的是离开山脚的最大距离，也就是函数值y取最大值．可分别在这两条线段上找到这两点B、C（如图），过B、C两点分别向x轴、y轴作垂线，可发现交y轴于同一点Q（因为两人爬的是同一座山）,Q点的数值就是山顶离山脚的距离，分别交x轴于M、N，M、N点的数值分别是小强和爷爷爬上山顶所用的时间，比较两值的大小就可判断出谁先爬上山顶．

解

（1）小强让爷爷先上60米；

（2）山顶离山脚的距离有300米，小强先爬上山顶．

归纳在观察实际问题的图象时，先从两坐标轴表示的实际意义得到点的坐标意义．如图中的点P（3,90），这一点表示小强爬山3分后，离开山脚的距离90米．再从图形中分析两变量的相互关系，寻找对应的现实情境．如图中的两条线段都可以看出随着自变量x的逐渐增大，函数值y也随着逐渐增大，再联系现实情境爬山所用时间越长，离开山脚的距离越大，当x达到最大值时，也就是到达山顶．

例题与练习

例1小明从家里出发，外出散步，到一个公共阅报栏前看了一会报后，继续散步了一段时间，然后回家．下面的图描述了小明在散步过程中离家的距离s（米）与散步所用时间t（分）之间的函数关系．请你由图具体说明小明散步的情况．

分析从图中可发现函数图象分成四段，因此说明小明散步的情况应分成四个阶段．

线段OA：

O点的坐标是（0,0），因此O点表示小明这时从家里出发，然后随着x值的增大，y值也逐渐增大（散步所用时间越长，离家的距离越大），最后到达A点，A点的坐标是（3,250），说明小明走了约3分钟到达离家250米处的一个阅报栏．

线段AB：

观察这一段图象可发现x值在增大而y值保持不变（小明这段时间离家的距离没有改变），B点横坐标是8，说明小明在阅报栏前看了5分钟报．

线段BC：

观察这一段图象可发现随着x值的增大，y值又逐渐增大，最后到达C点，C点的坐标是（10,450），说明小明看了5分钟报后，又向前走了2分钟，到达离家450米处．

线段CD：

观察这一段图象可发现随着x值的增大，而y值逐渐减小（10分钟后散步所用时间越长，离家的距离越小），说明小明在返回，最后到达D点，D点的纵坐标是0，表示小明已到家．这一段图象说明从离家250米处返回到家小明走了6分钟．

解小明先走了约3分钟，到达离家250米处的一个阅报栏前看了5分钟报，又向前走了2分钟，到达离家450米处返回，走了6分钟到家．

小结

1.画实际问题的图象时，必须先考虑函数自变量的取值范围．有时为了表达的方便，建立直角坐标系时，横轴和纵轴上的单位长度可以取得不一致；

2.在观察实际问题的图象时，先从两坐标轴表示的实际意义得到点的坐标的实际意义．然后观察图形，分析两变量的相互关系，给合题意寻找对应的现实情境．

检测反馈

1.下图为世界总人口数的变化图.根据该图回答：

（1）从1830年到1998年，世界总人口数呈怎样的变化趋势？

（2）在图中，显示哪一段时间中世界总人口数变化最快？

2.一枝蜡烛长20厘米，点燃后每小时燃烧掉5厘米，则下列3幅图象中能大致刻画出这枝蜡烛点燃后剩下的长度h（厘米）与点燃时间t之间的函数关系的是（）．

3.已知等腰三角形的周长为12cm，若底边长为ycm，一腰长为xcm．

（1）写出y与x的函数关系式；

（2）求自变量x的取值范围；（3）画出这个函数的图象．

4.周末，小李8时骑自行车从家里出发，到野外郊游，16时回到家里．他离开家后的距离S（千米）与时间t（时）的关系可以用图中的曲线表示．根据这个图象回答下列问题：

（1）小李到达离家最远的地方是什么时间？

（2）小李何时第一次休息？

（3）10时到13时，小骑了多少千米？

（4）返回时，小李的平均车速是多少？

§14．1．4函数的图象（3）

教学目标

1．总结函数三种表示方法．

2．了解三种表示方法的优缺点．

３．会根据具体情况选择适当方法．

教学重点

１．认清函数的不同表示方法，知道各自优缺点．２．能按具体情况选用适当方法．

教学难点：

函数表示方法的应用．

教学过程

Ⅰ．提出问题，创设情境

我们在前几节课里已经看到或亲自动手用列表格．写式子和画图象的方法表示了一些函数．这三种表示函数的方法分别称为列表法、解析式法和图象法．

思考一下，从前面的例子看，你认为三种表示函数的方法各有什么优缺点？

在遇到具体问题时，该如何选择适当的表示方法呢？

这就是我们这节课要研究的内容．

Ⅱ．导入新课

从前面几节课所见到的或自己做的练习可以看出．列表法比较直观、准确地表示出函数中两个变量的关系．解析式法则比较准确、全面地表示出了函数中两个变量的关系．至于图象法它则形象、直观地表示出函数中两个变量的关系．

相比较而言，列表法不如解析式法全面，也不如图象法形象；而解析式法却不如列表法直观，不如图象法形象；图象法也不如列表法直观准确，不如解析式法全面．

从全面性、直观性、准确性及形象性四个方面来总结归纳函数三种表示方法的优缺点．

表示方法

全面性

准确性

直观性

形象性

列表法

×

∨

∨

×

解析式法

∨

∨

×

×

图象法

×

×

∨

∨

从所填表中可清楚看到三种表示方法各有优缺点．在遇到实际问题时，就要根据具体情况、具体要求选择适当的表示方法，有时为了全面地认识问题，需要几种方法同时使用．

例题与练习

例1：

一水库的水位在最近5小时内持续上涨，下表记录了这5小时的水位高度．

t/时

0

1

2

3

4

5

…

y/米

10

10．05

10．10

10．15

10．20

10．25

…

１．由记录表推出这5小时中水位高度y（米）随时间t（时）变化的函数解析式，并画出函数图象．

２．据估计这种上涨的情况还会持续2小时，预测再过2小时水位高度将达到多少米？

分析：

记录表中已经通过6组数值反映了时间t与水位y之间的对应关系．我们现在需要从这些数值找出这两个表量之间的一般联系规律，由它写出函数解析式来，再画出函数图象，进而预测水位．

解：

１．由表中观察到开始水位高10米，以后每隔1小时，水位升高0．05米，这样的规律可以表示为：

y=0．05t+10（0≤t≤7）

这个函数的图象如下图所示：

２．再过2小时的水位高度，就是t=5+2=7时，y=0．05t+10的函数值，从解析式容易算出：

y=0．05×7+10=10．35

从函数图象也能得出这个值数．

2小时后，预计水位高10．35米．

提出问题：

１．函数自变量t的取值范围：

0≤t≤7是如何确定的？

２．2小时后的水位高是通过解析式求出的呢，还是从函数图象估算出的好？

３．函数的三种表示方法之间是否可以转化？

从题目中可以看出水库水位在5小时内持续上涨情况，且估计这种上涨情况还会持续2小时，所以自变量t的取值范围取0≤t≤7，超出了这个范围，情况将难以预计．2小时后水位高通过解析式求准确，通过图象估算直接、方便．就这个题目来说，2小时后水位高本身就是一种估算，但为了准确而言，还是通过解析式求出较好．

从这个例子可以看出函数的三种不同表示法可以转化，因为题目中只给出了列表法，而我们通过分析求出解析式并画出了图象，所以可以相互转化．

练习：

1．用列表法与解析式法表示n边形的内角和m是边数n的函数．

２．用解析式与图象法表示等边三角形周长L是边长a的函数．

3、甲车速度为20米／秒，乙车速度为25米／秒．现甲车在乙车前面500米，设x秒后两车之间的距离为y米．求y随x（0≤x≤100）变化的函数解析式，并画出函数图象．

Ⅳ．课堂小结

通过本节课学习，我们认识了函数的三种不同的表示方法，并归纳总结出三种表示方法的优缺点，学会根据实际情况和具体要求选择适当的表示方法来解决相关问题，进一步知道了函数三种不同表示方法之间可以转化．

其实函数图象与函数性质之间存在着必然联系，我们可以归纳如下：

图象特征函数变化规律

由左至右曲线呈上升状态．

y随x的增大而增大．

由左至右曲线呈下降状态．

y随x的增大而减小．

曲线上的最高点是（a，b）．

x=a时，y有最大值b．

曲线上的最低点是（a，b）．

x=a时，y有最小值b．

备课资料

甲、乙两人分别骑自行车与摩托车从A城出发到B城旅游．甲、乙两人离开A城的路程与时间之间的函数图象如图所示．根据图象你能得到甲、乙两人旅游的哪些信息？

１．甲骑自行车从Ａ城去Ｂ城用了８个小时．乙骑摩托车从Ａ城去Ｂ城用了２个小时．

２．甲比乙早４个小时出发，晚２个小时到达．

３．甲骑自行车在出发后第一个２小时内行驶了４０千米，第二个２小时内行驶了２０千米，然后停留了１个小时，又在１个小时内行驶了２０千米，最后用２个小时行驶了２０千米完成全程到达Ｂ城．

乙骑摩托车在２小时内行驶了100千米路程到达Ｂ城．

４．甲、乙在距Ａ城60多千米的地方相遇一次．