海淀区初二上期末数学.docx
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海淀区初二上期末数学
2016海淀区初二(上)期末数学
一.选择题(本大题共30分,每小题3分)在下列各题的四个备选答案中,只有一个是正确的.请将正确选项前的字母填在表格中相应的位置.
1.(3分)第24届冬季奥林匹克运动会,将于2022年02月04日~2022年02月20日在中华人民共和国北京市和张家口市联合举行.在会徽的图案设计中,设计者常常利用对称性进行设计,下列四个图案是历届会徽图案上的一部份图形,其中不是轴对称图形的是( )
A.
B.
C.
D.
2.(3分)下列运算中正确的是( )
A.x2÷x8=x﹣4B.a•a2=a2C.(a3)2=a6D.(3a)3=9a3
3.(3分)石墨烯是从石墨材料中剥离出来,由碳原子组成的只有一层原子厚度的二维晶体.石墨烯(Graphene)是人类已知强度最高的物质,据科学家们测算,要施加55牛顿的压力才能使0.000001米长的石墨烯断裂.其中0.000001用科学记数法表示为( )
A.1×10﹣6B.10×10﹣7C.0.1×10﹣5D.1×106
4.(3分)在分式
中x的取值范围是( )
A.x>﹣2B.x<﹣2C.x≠0D.x≠﹣2
5.(3分)下列各式中,从左到右的变形是因式分解的是( )
A.2a2﹣2a+1=2a(a﹣1)+1B.(x+y)(x﹣y)=x2﹣y2
C.x2﹣6x+5=(x﹣5)(x﹣1)D.x2+y2=(x﹣y)2+2xy
6.(3分)如图,已知△ABE≌△ACD,下列选项中不能被证明的等式是( )
A.AD=AEB.DB=AEC.DF=EFD.DB=EC
7.(3分)下列各式中,计算正确的是( )
A.(15x2y﹣5xy2)÷5xy=3x﹣5yB.98×102=(100﹣2)(100+2)=9996
C.
D.(3x+1)(x﹣2)=3x2+x﹣2
8.(3分)如图,∠D=∠C=90°,E是DC的中点,AE平分∠DAB,∠DEA=28°,则∠ABE的度数是( )
A.62B.31C.28D.25
9.(3分)在等边三角形ABC中,D,E分别是BC,AC的中点,点P是线段AD上的一个动点,当△PCE的周长最小时,P点的位置在( )
A.△ABC的重心处B.AD的中点处C.A点处D.D点处
10.(3分)定义运算
=
,若a≠﹣1,b≠﹣1,则下列等式中不正确的是( )
A.
×
=1B.
+
=
C.(
)2=
D.
=1
二.填空题(本大题共24分,每小题3分)
11.(3分)如图△ABC,在图中作出边AB上的高CD.
12.(3分)分解因式:
x2y﹣4xy+4y= .
13.(3分)写出点M(﹣2,3)关于x轴对称的点N的坐标 .
14.(3分)如果等腰三角形的两边长分别是4、8,那么它的周长是 .
15.(3分)计算:
﹣4(a2b﹣1)2÷8ab2= .
16.(3分)如图,在△ABC中,AB=AC,AB的垂直平分线MN交AC于D点.若BD平分∠ABC,则∠A= °.
17.(3分)教材中有如下一段文字:
思考
如图,把一长一短的两根木棍的一端固定在一起,摆出△ABC,固定住长木棍,转动短木棍,得到△ABD,这个实验说明了什么?
如图中的△ABC与△ABD满足两边和其中一边的对角分别相等,即AB=AB,AC=AD,∠B=∠B,但△ABC与△ABD不全等.这说明,有两边和其中一边的对角分别相等的两个三角形不一定全等.
小明通过对上述问题的再思考,提出:
两边分别相等且这两边中较大边所对的角相等的两个三角形全等.请你判断小明的说法 .(填“正确”或“不正确”)
18.(3分)如图1,△ABC中,AD是∠BAC的平分线,若AB=AC+CD,那么∠ACB与∠ABC有怎样的数量关系?
小明通过观察分析,形成了如下解题思路:
如图2,延长AC到E,使CE=CD,连接DE.由AB=AC+CD,可得AE=AB.又因为AD是∠BAC的平分线,可得△ABD≌△AED,进一步分析就可以得到∠ACB与∠ABC的数量关系.
(1)判定△ABD与△AED全等的依据是 ;
(2)∠ACB与∠ABC的数量关系为:
.
三.解答题(本大题共18分,第19题4分,第20题4分,第21题10分)
19.(4分)分解因式:
(a﹣4b)(a+b)+3ab.
20.(4分)如图,DE∥BC,点A为DC的中点,点B,A,E共线,求证:
DE=CB.
21.(10分)解下列方程:
(1)
=
;
(2)
﹣1=
.
四.解答题(本大题共14分,第22题4分,第23、24题各5分)
22.(4分)已知a+b=2,求(
+
)•
的值.
23.(5分)如图,在等边三角形ABC的三边上,分别取点D,E,F,使得△DEF为等边三角形,求证:
AD=BE=CF.
24.(5分)列方程解应用题:
老舍先生曾说“天堂是什么样子,我不晓得,但从我的生活经验去判断,北平之秋便是天堂.”(摘自《住的梦》)金黄色的银杏叶为北京的秋增色不少.
小宇家附近新修了一段公路,他想给市政写信,建议在路的两边种上银杏树.他先让爸爸开车驶过这段公路,发现速度为60千米/小时,走了约3分钟,由此估算这段路长约 千米.
然后小宇查阅资料,得知银杏为落叶大乔木,成年银杏树树冠直径可达8米.小宇计划从路的起点开始,每a米种一棵树,绘制示意图如下:
考虑到投入资金的限制,他设计了另一种方案,将原计划的a扩大一倍,则路的两侧共计减少200棵树,请你求出a的值.
五.解答题(本大题共14分,第25、26题各7分)
25.(7分)在我们认识的多边形中,有很多轴对称图形.有些多边形,边数不同对称轴的条数也不同;有些多边形,边数相同但却有不同数目的对称轴.回答下列问题:
(1)非等边的等腰三角形有 条对称轴,非正方形的长方形有 条对称轴,等边三角形有 条对称轴;
(2)观察下列一组凸多边形(实线画出),它们的共同点是只有1条对称轴,其中图1﹣2和图1﹣3都可以看作由图1﹣1修改得到的,仿照类似的修改方式,请你在图1﹣4和图1﹣5中,分别修改图1﹣2和图1﹣3,得到一个只有1条对称轴的凸五边形,并用实线画出所得的凸五边形;
(3)小明希望构造出一个恰好有2条对称轴的凸六边形,于是他选择修改长方形,图2中是他没有完成的图形,请用实线帮他补完整个图形;
(4)请你画一个恰好有3条对称轴的凸六边形,并用虚线标出对称轴.
26.(7分)钝角三角形ABC中,∠BAC>90°,∠ACB=α,∠ABC=β,过点A的直线l交BC边于点D.点E在直线l上,且BC=BE.
(1)若AB=AC,点E在AD延长线上.
①当α=30°,点D恰好为BC中点时,补全图1,直接写出∠BAE= °,∠BEA= °;
②如图2,若∠BAE=2α,求∠BEA的度数(用含α的代数式表示);
(2)如图3,若AB<AC,∠BEA的度数与
(1)中②的结论相同,直接写出∠BAE,α,β满足的数量关系.
附加题:
(本题最高10分,可计入总分,但全卷总分不超过100分)
27.一个多边形如果是轴对称图形,那么它的边数与对称轴的条数之间存在联系吗?
(1)以凸六边形为例,如果这个凸六边形是轴对称图形,那么它可能有 条对称轴;
(2)凸五边形可以恰好有两条对称轴吗?
如果存在请画出图形,并用虚线标出两条对称轴;否则,请说明理由;
(3)通过对
(1)中凸六边形的研究,请大胆猜想,一个凸多边形如果是轴对称图形,那么它的边数与对称轴的条数之间的联系是:
.
参考答案与试题解析
一.选择题(本大题共30分,每小题3分)在下列各题的四个备选答案中,只有一个是正确的.请将正确选项前的字母填在表格中相应的位置.
1.【解答】A、是轴对称图形,故此选项错误;B、是轴对称图形,故此选项错误;
C、是轴对称图形,故此选项错误;D、不是轴对称图形,故此选项正确;
故选:
D.
2.【解答】A、底数不变指数相减,故A错误;B、底数不变指数相加,故B错误;
C、底数不变指数相乘,故C正确;D、积的乘方等于乘方的积,故D错误;
故选:
C.
3.【解答】0.000001=1×10﹣6,故选A.
4.【解答】由题意得:
x+2≠0,解得:
x≠﹣2,故选:
D.
5.【解答】A、2a2﹣2a+1=2a(a﹣1)+1,等号的右边不是整式的积的形式,故此选项不符合题意;B、(x+y)(x﹣y)=x2﹣y2,这是整式的乘法,故此选项不符合题意;C、x2﹣6x+5=(x﹣5)(x﹣1),是因式分解,故此选项符合题意;D、x2+y2=(x﹣y)2+2xy,等号的右边不是整式的积的形式,故此选项不符合题意;故选C.
6.【解答】∵△ABE≌△ACD,
∴AB=AC,AD=AE,∠B=∠C,故A正确;
∴AB﹣AD=AC﹣AE,即BD=EC,故D正确;
在△BDF和△CEF中
∴△BDF≌△CEF(ASA),
∴DF=EF,故C正确;
故选B.
7.【解答】∵(15x2y﹣5xy2)÷5xy=3x﹣y,
∴选项A不正确;
∵98×102=(100﹣2)(100+2)=9996,
∴选项B正确;
∵
﹣1=﹣
,
∴选项C不正确;
∵(3x+1)(x﹣2)=3x2﹣5x﹣2,
∴选项D不正确.
故选:
B.
8.【解答】如图,过点E作EF⊥AB于F,
∵∠D=∠C=90°,AE平分∠DAB,
∴DE=EF,
∵E是DC的中点,
∴DE=CE,
∴CE=EF,
又∵∠C=90°,
∴点E在∠ABC的平分线上,
∴BE平分∠ABC,
又∵AD∥BC,
∴∠ABC+∠BAD=180°,
∴∠AEB=90°,
∴∠BEC=90°﹣∠AED=62°,
∴Rt△BCE中,∠CBE=28°,
∴∠ABE=28°.
故选:
C.
9.【解答】连接BP,
∵△ABC是等边三角形,D是BC的中点,
∴AD是BC的垂直平分线,
∴PB=PC,
△PCE的周长=EC+EP+PC=EC+EP+BP,
当B、E、E在同一直线上时,
△PCE的周长最小,
∵BE为中线,
∴点P为△ABC的重心,
故选:
A.
10.【解答】A、正确.∵
=
,
=
.
∴
×
=
×
=1.
B、错误.
+
=
+
=
.C、正确.∵(
)2=(
)2=
=
.D、正确.
=
=1.
故选B.
二.填空题(本大题共24分,每小题3分)
11.【解答】如图所示,CD即为所求.
12.【解答】x2y﹣4xy+4y,=y(x2﹣4x+4),=y(x﹣2)2.
13.【解答】∵M(﹣2,3),
∴关于x轴对称的点N的坐标(﹣2,﹣3).
故答案为:
(﹣2,﹣3)
14.【解答】∵等腰三角形有两边分别分别是4和8,
∴此题有两种情况:
①4为底边,那么8就是腰,则等腰三角形的周长为4+8+8=20,
②8底边,那么4是腰,4+4=8,所以不能围成三角形应舍去.
∴该等腰三角形的周长为20,
故答案为:
20
15.【解答】原式=﹣4a4b﹣2÷8ab2=﹣2a3b﹣4=﹣
,故答案为:
﹣
16.【解答】∵AB=AC,
∴∠C=∠ABC,
∵AB的垂直平分线MN交AC于D点.
∴∠A=∠ABD,
∵BD平分∠ABC,
∴∠ABD=∠DBC,
∴∠C=2∠A=∠ABC,
设∠A为x,
可得:
x+x+x+2x=180°,
解得:
x=36°,
故答案为:
36
17.【解答】小明的说法正确.
理由:
如图,△ABC和△DEF中,AB>AC,ED>DF,AB=DE,AC=DF,∠ACB=∠DFE,作AG⊥BC于G,DH⊥EF于H.
∵∠ACB=∠DFE,
∴∠ACG=∠DFH,
在△ACG和△DFH中,
,
∴△ACG≌△DFH,
∴AG=DH,
在Rt△ABG和Rt△DEH中,
,
∴△ABG≌△DEH,
∴∠B=∠E,
在△ABC和△DEF中,
,
∴△ABC≌△DEF.
(当△ABC和△DEF是锐角三角形时,证明方法类似).
故答案为正确.
18.【解答】
(1)SAS;
(2)∵△ABD≌△AED,
∴∠B=∠E,
∵CD=CE,
∴∠CDE=∠E,
∴∠ACB=2∠E,
∴∠ACB=2∠ABC.
故答案为:
SAS,∠ACB=2∠ABC.
三.解答题(本大题共18分,第19题4分,第20题4分,第21题10分)
19.【解答】原式=a2﹣3ab﹣4b2+3ab=a2﹣4b2=(a﹣2b)(a+2b).
20.【解答】证明:
∵DE∥BC,
∴∠D=∠C,∠E=∠B.
∵点A为DC的中点,
∴DA=CA.
在△ADE和△ACB中,
,
∴△ADE≌△ACB.
∴DE=CB.
21.【解答】
(1)去分母得:
5x+2=3x,
解得:
x=﹣1,
经检验x=﹣1是增根,原方程无解;
(2)去分母得:
x(x﹣2)﹣(x+2)(x﹣2)=x+2,
解得:
x=
,
经检验x=
是分式方程的解.
四.解答题(本大题共14分,第22题4分,第23、24题各5分)
22.【解答】
=
=
=
,当a+b=2时,原式=
.
23.【解答】在等边三角形ABC中,∠A=∠B=60°.
∴∠AFD+∠ADF=120°.
∵△DEF为等边三角形,
∴∠FDE=60°,DF=ED.
∵∠BDE+∠EDF+∠ADF=180°,
∴∠BDE+∠ADF=120°.
∴∠BDE=∠AFD.
在△ADF和△BED中,
,
∴△ADF≌△BED.
∴AD=BE,同理可证:
BE=CF.
∴AD=BE=CF.
24.【解答】这段路长约60×
=3千米;
由题意可得:
.
解方程得:
a=15.
经检验:
a=15满足题意.
答:
a的值是15.
故答案为:
3
五.解答题(本大题共14分,第25、26题各7分)
25.【解答】
(1)非等边的等腰三角形有1条对称轴,非正方形的长方形有2条对称轴,等边三角形有3条对称轴,
故答案为:
1,2,3;
(2)恰好有1条对称轴的凸五边形如图中所示.
(3)恰好有2条对称轴的凸六边形如图2所示.
(4)恰好有3条对称轴的凸六边形如图所示.
26.【解答】
(1)①补全图1,如图所示.
∵AB=AC,BD=DC,
∴AE⊥BC,
∴EB=EC,∠ADB=90°,
∵∠ABC=30°,
∴∠BAE=60°
∵BC=BE,
∴△BCE是等边三角形,∠DEB=∠DEC,
∴∠BEC=60°,∠BEA=30°
故答案为60,30.
②如图2中,延长CA到F,使得BF=BC,则BF=BE=BC,连接BF,作BM⊥AF于M,BN⊥AE于N.
∵AB=AC,
∴∠ABC=∠C=α,
∴∠MAB=2α,∵∠BAN=2α,
∴∠BAM=∠BAN,
∴BM=BN,
在Rt△BMF和Rt△BNE中,
,
∴Rt△BMF≌Rt△BNE.
∴∠BEA=∠F,
∵BF=BC,
∴∠F=∠C=α,
∴∠BEA=α.
(2)结论:
∠BAE=α+β.理由如下,
如图3中,连接EC,
∵∠ACD=∠BED=α,∠ADC=∠BDE,
∴△ADC∽△BDE,
∴
=
,
∴
=
,∵∠ADB=∠CDE,
∴△ADB∽△CDE,
∴∠BAD=∠DCE,
∠ABD=∠DEC=β,
∵BC=BE,
∴∠BCE=∠BEC,
∴∠BAE=∠BEC=∠BEA+∠DEC=α+β.
附加题:
(本题最高10分,可计入总分,但全卷总分不超过100分)
27.【解答】
(1)凸六边形是轴对称图形,那么它可能有1,2,3或6条对称轴,故答案为:
1,2,3或6;
(2)不可以.
理由如下:
根据轴对称图形的定义,若一个凸多边形是轴对称图形,则对称轴与多边形的交点是多边形的顶点或一条边的中点.若多边形的边数是奇数,则对称轴必经过一个顶点和一条边的中点.
如图1,设凸五边形ABCDE是轴对称图形,恰好有两条对称轴l1,l2,其中l1经过A和CD的中点.
若l2⊥l1,则l2与五边形ABCDE的两个交点关于l1对称,与对称轴必经过一个顶点和一条边的中点矛盾;
若l2不垂直于l1,则l2关于l1的对称直线也是五边形ABCDE的对称轴,与恰好有两条对称轴矛盾.
所以,凸五边形不可以恰好有两条对称轴.
(3)对称轴的条数是多边形边数的约数.
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