初中一次函数二次函数反比例函数圆知识整合.docx
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初中一次函数二次函数反比例函数圆知识整合
一次函数(y=kx+b)
1.当x=0时,b为一次函数图像与y轴交点的纵坐标,该点的坐标为(0,b)。
[1]
2.当b=0时,一次函数变为正比例函数。
当然正比例函数为特殊的一次函数。
[1]
3.对于正比例函数,y除以x的商是一定数(x≠0)。
对于反比例函数,x与y的积是一定数。
4.在两个一次函数表达式中:
∙当两个一次函数表达式中的k相同,b也相同时,则这两个一次函数的图像重合;
∙当两个一次函数表达式中的k相同,b不相同时,则这两个一次函数的图像平行;
∙当两个一次函数表达式中的k不相同,b也不相同时,则这两个一次函数的图像相交;
∙当两个一次函数表达式中的k不相同,b相同时,则这两个一次函数图像交于y轴上的同一点(0,b);
∙当两个一次函数表达式中的k互为负倒数时,则这两个一次函数图像互相垂直。
[1]
5.直线y=kx+b的图象和性质与k、b的关系如下表所示:
k>0,b>0经过第一、二、三象限
k>0,b<0经过第一、三、四象限
k>0,b=0经过第一、三象限
【k>0时,图象从左到右上升,y随x的增大而增大】
k<0b>0经过第一、二、四象限
k<0,b<0经过第二、三、四象限
K<0,b=0经过第二、四象限
【k<0图象从左到右下降,y随x的增大而减小】
一. 定义型
例1.已知函数
是一次函数,求其解析式。
解:
由一次函数定义知
,
,
,故一次函数的解析式为y=-6x+3。
注意:
利用定义求一次函数y=kx+b解析式时,要保证k≠0。
如本例中应保证m-3≠0。
二.点斜型
例2. 已知一次函数y=kx-3的图像过点(2,-1),求这个函数的解析式。
解:
一次函数 的图像过点(2, -1),
,即k=1。
故这个一次函数的解析式为y=x-3。
变式问法:
已知一次函数y=kx-3,当x=2时,y=-1,求这个函数的解析式。
三.两点型
例3.已知某个一次函数的图像与x轴、y轴的交点坐标分别是(-2,0)、(0, 4),则这个函数的解析式为_____。
解:
设一次函数解析式为y=kx+b
由题意得
,
故这个一次函数的解析式为y=2x+4
四.图像型
例4.已知某个一次函数的图像如图所示,则该函数的解析式为__________。
解:
设一次函数解析式为y=kx+b由图可知一次函数 的图像过点(1,0)、(0,2)
有
故这个一次函数的解析式为y=-2x+2
反比例函数(y=
)
1.当k>0时,图象分别位于第一、三象限;当k<0时,图象分别位于第二、四象限. ﻫ2.当k>0时.在同一个象限内,y随x的增大而减小;当k<0时,在同一个象限,y随x的增大而增大. ﻫk>0时,函数在x<0上为减函数、在x>0上同为减函数;k<0时,函数在x<0上为增函数、在x>0上同为增函数。
定义域为x≠0;值域为y≠0。
ﻫ 3.因为在y=
(k≠0)中,x不能为0,y也不能为0,所以反比例函数的图象不可能与x轴相交,也不可能与y轴相交.反比例函数图像会无限接近于坐标轴但不相交(坐标轴是反比例函数图像的渐近线)
4.∣a∣越大,抛物线开口越大;∣a∣越小,抛物线开口越小。
ﻫ 4. 在一个反比例函数图象上任取两点P,Q,过点P,Q分别作x轴,y轴的平行线,与坐标轴围成的矩形面积为S1,S2则S1=S2 ,且等于|k|.
5.反比例函数的图象是双曲线,有两支,既是轴对称图形,对称轴是y=x或y=-x,又是中心对称图形,对称中心是坐标原点.
6.反比例函数图像中,|k|的值越大,图像越远离坐标轴.
反比例函数的应用举例
【例1】反比例函数的图象上有一点P(m,n)其坐标是关于t的一元二次方程t2-3t+k=0的两根,且P到原点的距离为根号13,求该反比例函数的解析式.
分析:
要求反比例函数解析式,就是要求出k,为此我们就需要列出一个关于k的方程. ﻫ解:
∵m, n是关于t的方程t2-3t+k=0的两根
∴ m+n=3,mn=k, ﻫ 又 PO=根号13,
∴
=13, ﻫ ∴
-2mn=13,
∴ 9-2k=13.
∴ k=-2 ﻫ 当 k=-2时,△=9+8>0,
∴k=-2符合条件,
二次函数(y=aX
)
在平面直角坐标系中作出二次函数y=aX
的图像,可以看出,二次函数的图像是一条永无止境的抛物线。
如果所画图形准确无误,那么二次函数图像将是由一般式平移得到的。
注意:
草图要有:
1.本身图像,旁边注明函数。
2. 画出对称轴,并注明直线X=什么(X=-b/2a) 3.与X轴交点坐标(x₁,y₁);(x₂,y₂),与Y轴交点坐标(0,c),顶点坐标(-b/2a,(4ac-b²/4a).
2.3 轴对称
二次函数图像是轴对称图形。
对称轴为直线x=-b/2a
对称轴与二次函数图像唯一的交点为二次函数图像的顶点P。
特别地,当b=0时,二次函数图像的对称轴是y轴(即直线x=0)。
a,b同号,对称轴在y轴左侧.
a,b异号,对称轴在y轴右侧.
2.4 顶点
二次函数图像有一个顶点P,坐标为P (h,k)即(-b/2a,(4ac-b²/4a).
当h=0时,P在y轴上;当k=0时,P在x轴上。
即可表示为顶点式y=a(x-h)²+k。
h=-b/2a,k=(4ac-b²)/4a。
2.5 开口方向和大小
二次项系数a决定二次函数图像的开口方向和大小。
当a>0时,抛物线向上开口;当a<0时,抛物线向下开口。
|a|越大,则二次函数图像的开口越小。
2.6 决定对称轴位置的因素
一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置。
当a>0,与b同号时(即ab>0),对称轴在y轴左;因为对称轴在左边则对称轴小于0,也就是-b/2a<0,所以b/2a要大于0,所以a、b要同号
当a>0,与b异号时(即ab<0),对称轴在y轴右。
因为对称轴在右边则对称轴要大于0,也就是- b/2a>0, 所以b/2a要小于0,所以a、b要异号
可简单记忆为左同右异,即当a与b同号时(即ab>0),对称轴在y轴左;当a与b异号时(即ab<0),对称轴在y轴右。
事实上,b有其自身的几何意义:
二次函数图像与y轴的交点处的该二次函数图像切线的函数解析式(一次函数)的斜率k的值。
可通过对二次函数求导得到。
2.7 决定与y轴交点的因素
常数项c决定二次函数图像与y轴交点。
二次函数图像与y轴交于(0,C)
注意:
顶点坐标为(h,k), 与y轴交于(0,C)。
2.8 与x轴交点个数
a<0;k>0或a>0;k<0时,二次函数图像与x轴有2个交点。
k=0时,二次函数图像与x轴只有1个交点。
a<0;k<0或a>0,k>0时,二次函数图像与X轴无交点。
当a>0时,函数在x=h处取得最小值ymin=k,在x
当a<0时,函数在x=h处取得最大值ymax=k,在x<h范围内是增函数,在x>h范围内是减函数(即y随x的变大而变大),二次函数图像的开口向下,函数的值域是y<k
当h=0时,抛物线的对称轴是y轴,这时,函数是偶函数
2.9 二次函数的性质
定义域:
R
值域:
(对应解析式,且只讨论a大于0的情况,a小于0的情况请读者自行推断)①[(4ac-b²)/4a,正无穷);②[t,正无穷)
奇偶性:
当b=0时为偶函数,当b≠0时为非奇非偶函数。
周期性:
无
解析式:
①y=ax²+bx+c[一般式]
⑴a≠0
⑵a>0,则抛物线开口朝上;a<0,则抛物线开口朝下;
⑶极值点:
(-b/2a,(4ac-b
)/4a);
⑷Δ=b2-4ac,
Δ>0,图象与x轴交于两点:
([-b-√Δ]/2a,0)和([-b+√Δ]/2a,0);
Δ=0,图象与x轴交于一点:
(-b/2a,0);
Δ<0,图象与x轴无交点;
特殊地,Δ=4,顶点与两零点围成的三角形为等腰直角三角形;Δ=12,顶点与两零点围成的三角形为等边三角形。
②y=a(x-h)²+k[顶点式]
此时,对应极值点为(h,k),其中h=-b/2a,k=(4ac-b²)/4a
③y=a(x-x₁)(x-x₂)[交点式(双根式)](a≠0)
对称轴X=(X₁+X₂)/2当a>0且X≧(X1+X2)/2时,Y随X的增大而增大,当a>0且X≤(X₁+X₂)/2时Y随X
的增大而减小
此时,x₁、x₂即为函数与X轴的两个交点,将X、Y代入即可求出解析式(一般与一元二次方程连
用)。
交点式是Y=A(X-X₁)(X-X₂) 知道两个x轴交点和另一个点坐标设交点式。
两交点X值就是相应X₁ X₂值。
增减性
当a>0且y在对称轴右侧时,y随x增大而增大,y在对称轴左侧则相反
当a<0且y在对称轴右侧时,y随x增大而减小,y在对称轴左侧则相反
3 相关分类
3.1 一般式
y=ax²+bx+c(a≠0,a、b、c为常数),顶点坐标为[-b/2a,(4ac-b²)/4a]
把三个点代入式子得出一个三元一次方程组,就能解出a、b、c的值。
3.2 顶点式
y=a(x-h)²+k(a≠0,a、h、k为常数),顶点坐标为(h,k),对称轴为x=h,顶点的位置特征和图像的开口方向与函数y=ax²的图像相同,有时题目会指出让你用配方法把一般式化成顶点式。
例:
已知二次函数y的顶点(1,2)和另一任意点(3,10),求y的解析式。
解:
设y=a(x-1)²+2,把(3,10)代入上式,解得y=2(x-1)²+2。
3.3 交点式
y=a(x-x₁)(x-x₂)(a≠0) [仅限于与x轴即y=0有交点A(x1,0)和B(x2,0)的抛物线,即b²-4ac≥0] .
已知抛物线与x轴即y=0有交点A(x₁,0)和B(x₂,0),我们可设y=a(x-x₁)(x-x₂),然后把第三点代入x、y中便可求出a。
由一般式变为交点式的步骤:
∵X+x=-b/ax1·x=c/a
∴y=ax²+bx+c
=a(x²+b/ax+c/a)
重要概念:
a,b,c为常数,a≠0,且a决定函数的开口方向。
a>0时,开口方向向上;a<0时,开口方向向下。
a的绝对值可以决定开口大小。
a的绝对值越大开口就越小,a的绝对值越小开口就越大。
圆
.
ﻫ
2 字母表示
圆—⊙;半径—r或R(在环形圆中外环半径表示的字母);弧—⌒;直径—d ;ﻫ扇形弧长—L;周长—C;面积—S。
3 位置关系
3.1 点和圆位置关系
①P在圆O外,则PO>r.ﻫ ②P在圆O上,则PO=r.ﻫ ③P在圆O内,则 0≤PO 3.2 直线和圆位置关系 ①直线和圆无公共点,称相离。 AB 与圆O相离,d>r。 ②直线和圆有两个公共点,称相交,这条直线叫做圆的割线。 AB与⊙O相交,d<r。 ﻫ ③直线和圆有且只有一公共点,称相切,这条直线叫做圆的切线,这个唯一的公共点叫做切点。 AB与⊙O相切,d=r。 (d为圆心到直线的距离) 平面内,直线Ax+By+C=0与圆x^2+y^2+Dx+Ey+F=0的位置关系判断一般方法是: ﻫ 3.3 圆和圆位置关系 ①无公共点,一圆在另一圆之外叫外离,在之内叫内含。 ②有唯一公共点的,一圆在另一圆之外叫外切,在之内叫内切。 ﻫ ③有两个公共点的叫相交。 两圆圆心之间的距离叫做圆心距。 设两圆的半径分别为R和r,且R〉r,圆心距为P,则结论: 外离P>R+r;外切P=R+r;内含P<R-r; 内切P=R-r;相交R-r 4 圆的性质 ⑴圆是轴对称图形,其对称轴是任意一条通过圆心的直线。 圆也是中心对称图形,其对称中心是圆心。 垂径定理: 垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对的2条弧。 逆定理: 平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的2条弧。 ⑵有关圆周角和圆心角的性质和定理 ①在同圆或等圆中,如果两个圆心角,两个圆周角,两组弧,两条弦,两条弦心距中有一组量相等,那么他们所对应的其余各组量都分别相等。 ②一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。 ﻫ 直径所对的圆周角是直角。 90度的圆周角所对的弦是直径。 圆心角计算公式: θ=(L/2πr)×360°=180°L/πr=L/r(弧度)ﻫ 即圆心角的度数等于它所对的弧的度数;圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半。 ﻫ③ 如果一条弧的长是另一条弧的2倍,那么其所对的圆周角和圆心角是另一条弧的4倍。 ﻫ ⑶有关外接圆和内切圆的性质和定理 ﻫ ①一个三角形有唯一确定的外接 圆和内切圆。 外接圆圆心是三角形各边垂直平分线的交点,到三角形三个顶点距离相等;ﻫ ②内切圆的圆心是三角形各内角平分线的交点,到三角形三边距离相等。 ③R=2S△÷L(R: 内切圆半径,S: 三角形面积,L: 三角形周长) ④两相切圆的连心线过切点(连心线: 两个圆心相连的直线)ﻫ ⑤圆O中的弦PQ的中点M,过点M任作两弦AB,CD,弦AD与BC分别交PQ于X,Y,则M为XY之中点。 (4)如果两圆相交,那么连接两圆圆心的线段(直线也可)垂直平分公共弦。 (5)弦切角的度数等于它所夹的弧的度数的一半。 (6)圆内角的度数等于这个角所对的弧的度数之和的一半。 ﻫ (7)圆外角的度数等于这个角所截两段弧的度数之差的一半。 ﻫ(8)周长相等,圆面积比长方形、正方形、三角形的面积大。 4.1 与切线有关的定理 垂直于过切点的半径;经过半径的一端,并且垂直于这条半径的直线,是这个圆的切线。 切线的判定方法: 经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。 切线的性质: (1)经过切点垂直于过切点的半径的直线是圆的切线。 (2)经过切点垂直于切线的直线必经过圆心。 (3)圆的切线垂直于经过切点的半径。 切线长定理: 从圆外一点到圆的两条切线的长相等,那点与圆心的连线平分切线的夹角。 ﻫ切割线定理 圆的一条切线与一条割线相交于p点,切线交圆于C点,割线交圆于AB两点,则有pC^2=pA·pBﻫ割线定理 与切割线定理相似两条割线交于p点,割线m交圆于A1 B1两点,割线n交圆于A2B2两点ﻫ则pA1·pB1=pA2·pB2 解答题 1、已知一次函数y=(6+3m)x+(n-4),求: (1)m为何值时,y随x的增大而减小; (2),mn分别为何值时,函数的图象与y轴的交点在x轴的下方? (3),mn分别为何值时,函数的图象经过原点? (4)当m=-1,n=-2 时,设此一次函数与x轴交于A,与y轴交于B,试求AOBV面积。 2、(05年中山)某自来水公司为鼓励居民节约用水,采取按月用水量收费办法,若某户居民应交水费 y(元)与用水量x(吨)的函数关系如图所示。 (1)写出y与x的函数关系式; (2)若某户该月用水21吨,则应交水费多少元? 3、如图,四边形ABCD为菱形,已知A(0,4),B(-3,0)。 (1)求点D的坐标; (2)求经过点C的反比例函数解析式。 4、 已知: 二次函数为y=x2-x+m (1)写出它的图像的开口方向,对称轴及顶点坐标; (2)m为何值时,顶点在x轴上方 (3)若抛物线与y轴交于A,过A作AB∥x轴交抛物线于另一点B,当S△AOB=4时,求此二次函数的解析式. 5、 已知: m,n是方程x2-6x+5=0的两个实数根,且m (1)求这个抛物线的解析式; (2)设(1)中的抛物线与x轴的另一交点为C,抛物线的顶点为D,试求出点C,D的坐标和△BCD的面积; (3)P是线段OC上的一点,过点P作PH⊥x轴,与抛物线交于H点,若直线BC把△PCH分成面积之比为2: 3的两部分,请求出P点的坐标
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