初中数学初中数学复习用书丰富的图形世界等68个 人教版12.docx
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初中数学初中数学复习用书丰富的图形世界等68个人教版12
第二十讲二次函数
【课标要求】
1.通过对实际问题情境的分析,确定二次函数的表达式并体会二次函数的意义.
2.会用描点法画出二次函数的图象,能从图象上认识二次函数的性质.
3.会根据公式确定图象的顶点、开口方向和对称轴(公式不要求记忆和推导),并解决简单的实际问题.
4.会利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解.
【中考动向】
二次函数是初中数学中的一个十分重要的内容,也是历年来各地中考试题的热点内容,它与代数、几何知识有着密切的联系.题型既有低档的填空题和选择题,也有中高档的解答题,但近几年中考中二次函数的难度有所降低,对于难度较深的综合题考查逐渐减少,越来越多地出现贴近生活实际的阅读理解题、图表信息题、开放探索题、运动变化题、还有方案设计题、应用建模题,在今后中考中将更加突出这些特点.
【知识网络】
第1课时二次函数所描述的关系
【知识要点】
1.二次函数的定义:
一般地,如果y=ax2+bx+c(a、b、c是常数,a≠0),那么y叫做x的二次函数.当b=c=0时,二次函数y=ax2是最简单的二次函数.
2.抛物线的平移主要是移动顶点的位置,将y=ax2沿着y轴(上“+”,下“-”)平移k(k﹥0)个单位得到函数y=ax2
;将y=ax2沿着x轴(右“-”,左“+”)平移h(h﹥0)个单位得到y=a(x
.在平移之前先将函数解析式化为顶点式,再来平移,若沿y轴平移则直接在解析式的常数项后进行加减(上加下减),若沿x轴平移则直接在含x的括号内进行加减((左加右减).
【典型例题】
例1(2005.重庆市)抛物线y=(x-2)2+3的顶点坐标是()
A.(-2,3)B.(2,3)C.(-2,-3)D.(2,-3)
分析:
考查由二次函数的顶点式y=a(x-h)2+k,确定顶点坐标(h,k)
解:
B
例2(2005.贵州遵义市)将二次函数y=x2+4x-8,化为y=(x+m)2+n的形式正确的是()
A.y=(x+2)2-8B.y=(x+2)2-4C.y=(x+2)2+12D.y=(x+2)2-12
分析:
考查配方法.
解:
D
例3(2005.浙江省)二次函数y=x2的图象向上平移2个单位,得到新的图象的二次函数表达式是()
A.y=x2-2B.y=(x-2)2C.y=x2+2D.y=(x+2)2
分析:
考查函数图象平移的规律,关键看抛物线的顶点移动前后的位置(即坐标),抛物线形状未变.
解:
C
例4(2004.天津)已知一次函数y1=2x,二次函数y2=x2+1
(1)根据表中给出的值,计算对应的函数值,并填在表格中;
x
-3
-2
-1
0
1
2
3
y1=2x
y2=x2+1
(2)观察第
(1)问表中有关的数据,证明如下结论:
在实数范围内,对于x的同一个值,这两个函数所对应的函数值y1≤y2均成立。
分析:
证明y1≤y2,可以说明y2-y1≥0
解:
(略)
【知识运用】
一、选择题
1.下列函数中,是二次函数的是()
A.
B.y=2x2C.y=x2-2x3+1D.y=x+
2.抛物线y=(x-1)2+2的对称轴是()
A.直线x=-1B.直线x=1C.直线x=2D.直线x=-2
3.已知抛物线y=x2-2bx+4的顶点在x轴上,则b的值一定是()
A.1B.2C.-2D.2或-2
4.把抛物线y=x2+bx+c的图象向右平移3个单位,再向下平移2个单位,所得图象的解析式是y=x2-3x+5,则有()
A.b=3,c=7B.b=-9,c=-15C.b=3,c=3D.b=-9,c=21
二、填空题
5.平移抛物线y=x2+2x-8,使它经过原点,写出平移后抛物线的一个解析式.
6.若将二次函数y=x2-2x+3配为y=(x-h)2+k的形式,则y=.
7.已知二次函数y=ax2+bx-1的图象如图20-1-1所示,则点(a,b)关于原点的对称点在第______象限.
三、解答题
图20-1-1
8.等边三角形边长为x,面积为y,求x与y之间的函数关系式.
9.把一个长为100m,宽为60m的游泳池扩建成一个周长为600m的大型水上游乐场,如果把游泳池的长增加xm.
(1)写出扩建后面积y(m2)与x(m)之间的关系式;
(2)水上游乐场的面积能否达到20000m2?
第二节二次函数的图象及性质
【知识要点】
1.二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象是以(-
,
)为顶点,以x=-
为对称轴的一条抛物线.
2.在画二次函数的图象时应抓住以下五点:
开口方向,对称轴,顶点,与x轴交点,与y轴交点.
3.抛物线y=ax2+bx+c的图象位置及性质与a、b、c的关系:
1当a﹥0时,开口向上,a越大,开口越小,图象两边越靠近y轴.在对称轴x=-
的左侧,y随x的增大而减小;在对称轴x=-
的右侧,y随x的增大而增大.此时,y有最小值y=
,顶点(-
,
)为最低点.(同样的方法,分析当a﹤0时的情况)
2ab﹥0时,对称轴在y轴左侧;ab=0时,对称轴是y轴;ab﹤0时,对称轴在y轴右侧.c﹥0时,与y轴正半轴相交;c=0时,经过原点;c﹤0时,与y轴负半轴相交.
【典型例题】
例1(2005.浙江杭州市)用列表法画二次函数y=ax2+bx+c的图象时先列一个表,当表中自变量x的值以相等间隔的值增加时,函数y所对应的值依次为20,56,110,182,274,380,506,650.其中有一个值不正确,这个不正确的值是()
A.506B.380C.274D.182
分析:
考查二次函数的性质,56-20=36,110-56=54,182-110=72,274-182=92,380-274=106,506-380=126,显然274这个值不正确.
解:
C
例2(2005.贵州遵义市)已知二次函数y=ax2-2x+3的图象如图20-2-1,则一次函数y=ax+3的图象不经过()
A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限
分析:
考查二次函数的图象的特征,观察图象可知a﹤0,又根据
3﹥0,可推断一次函数y=ax+3的图象经过第一、二、四象限.
解:
C
例3(2005.吉林长春市)图20-2-2中有相同对称轴的两条抛物线,下列关系不正确的是()
A.h=mB.k=nC.k﹥nD.h﹥0,k﹥0
分析:
考查在同一直角坐标系下,不同的抛物线的特征与相应
字母系数的关系.
解:
B
例4(2004.安徽)心理学家发现,学生对概念的接受能力y与提出概念所用的时间x(单位:
分)之间满足函数关系:
y=-0.1x2+2.6x+43(0≤x≤30)
①x在什么范围内,学生的接受能力逐步增强?
x在什么范围内,学生的接受能力逐步降低?
②第10分时,学生的接受能力是多少?
③第几分时,学生的接受能力最强?
分析:
解决这类问题先求二次函数的顶点坐标,再结合开口方向及自变量的取值范围,画出草图,观察图象得出结论.
解:
①y=-0.1x2+2.6x+43=-0.1(x-13)2+59.9
草图如图20-2-3,所以,当0≤x≤13时,学生的接受能力逐步增强;当13﹤x≤30时,
学生的接受能力逐步降低.
②当x=10时,y=-0.1(x-13)2+59.9=59,即第10分时,学生的接受能力是59.
③当x=13时,y取最大值.所以第13分时,学生的接受能力最强.
【知识运用】
一、选择题
1.抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴是x=2,且经过点P(3,0),则a+b+c的值为()
A.-1B.0C.1D.2
2.关于二次函数y=(x+2)2-3的最大(小)值,叙述正确的是()
A.当x=2时,有最大值-3B.当x=-2时,有最大值-3
C.当x=2时,有最小值-3D.当x=-2时,有最小值-3
3.已知a﹤-1,点(a-1,y1),(a,y2),(a+1,y3)都在函数y=x2的图象上,则()
A.y1﹤y2﹤y3B.y1﹤y3﹤y2C.y3﹤y2﹤y1D.y2﹤y1﹤y3
4.二次函数y=ax2+bx+c的图象如图20-2-4所示,则下列结论正确的是()
A.a﹥0,b﹤0,c﹥0B.a﹤0,b﹤0,c﹥0
C.a﹤0,b﹥0,c﹤0D.a﹤0,b﹥0,c﹥0
二、填空题
5.在二次函数y=ax2+bx+c(c≠0)中,已知b是a、c的比例中项,且当x=0时,y=-4,那么y的最值为(说明最大值还是最小值)
6.与抛物线y=2x2-2x-4关于x轴对称的图象表示的函数关系式为
三、解答题
7.已知正方形周长为xcm,面积为ycm2.
(1)写出x与y的函数关系式;
(2)画出图象;
(3)根据图象回答,当y=
cm2时,正方形的周长.
8.某农场种植一种蔬菜,销售员张平根据往年的销售情况,对今年这种蔬菜的销售价格进行了预测,预测情况如图20-2-5,图中的抛物线(部分)表示这种蔬菜销售价与月份之间的关系.观察图象,你能得到关于这种蔬菜销售情况的那些信息?
图20-2-5
第三节二次函数与方程(组)
【知识要点】
1.二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的两个交点的横坐标x1,x2是对应的一元二次方程ax2+bx+c=0的两个实数根.抛物线与x轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定:
①有两个交点
△﹥0
抛物线与x轴相交.②有一个交点
△=0
抛物线与x轴相切.③没有交点
△﹤0
抛物线与x轴相离.
2.一次函数y=kx+n(k≠0)的图象L与二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象G的交点,由方程组
的解的数目确定:
①当方程组有两个不同的解时
L与G有两个交点;②方程组只有一组解时
L与G只有一个交点;③方程组无解时
L与G有没有交点.
【典型例题】
例1(2005.浙江绍兴市)若二次函数y=x2-4x+c的图象与x轴没有交点,其中c为整数,则c= (只要求写出一个)
分析:
考查二次函数的图象的性质,其实,当c=4时,二次函数y=(x-2)2与x轴只有一个交点,因而当c﹥4,二次函数与x轴没有交点.
解:
5(答案不唯一)
例2(2005.甘肃省)二次函数y=x2-2x-3与x轴两交点之间的距离为
分析:
考查二次函数的图象与坐标轴交点的问题.由x2-2x-3=0,得x1=-1,x2=3,然后观察图象,确定点(-1,0)与点(3,0)之间的距离.
解:
4
例3(2004.天津)已知抛物线y=x2+bx+c与x轴只有一个交点,且交点为A(2,0).
(1)求b、c的值.
(2)若抛物线与y轴交点为B,坐标原点为O,求△OAB的周长(答案可带根号).
分析:
抛物线与x轴交点的横坐标,也就是方程x2+bx+c=0的实数根.因为只有一个实数根,也就是方程有两个相等实数根,即b2-4c=0.再把A点坐标代入,求出b、c的值.△OAB为直角三角形,一条直角边OA=2,另一条直角边为抛物线与y轴交点的纵坐标的绝对值,求出交点B的坐标即可.用勾股定理求出AB的长,最后求得周长.
解:
(1)因为抛物线与x轴只有一个交点,所以x2+bx+c=0有两个相等实数根.
所以b2-4c=0.①又因为A(2,0)在抛物线上,所以4+2b+c=0②,由①②得,b=-4,c=4.
(2)由
(1)得抛物线解析式为y=x2-4x+4,当x=0时,y=4,所以B(0,4),即OB=4.
所以,AB=
,所以△OAB的周长为:
2+4+2
=6+2
.
例4(2005.吉林)如图20-3-1,已知一抛物线形大门,其地面宽度AB=18m.一同学站在门内,在离门脚B点1m远的D处,垂直地面立起一根1.7m长的木杆,其顶端恰好顶在抛物线形门上C处.根据这些条件,请你求出该大门的高h.
分析:
本题关键是建立坐标系,不同坐标系下,函数形式不一样.
解:
如图20-3-2建立坐标系.
设抛物线解析式为y=ax2.
把B(9,-h),C(8,-h+1.7)分别代入解析式,得
∴
解得
∴该大门的高h为8.1米.
【知识运用】
一、选择题
1.二次函数y=ax2+bx+c的值永远为负值的条件是()
A.a﹥0,b2-4ac﹤0B.a﹤0,b2-4ac﹥0
C.a﹥0,b2-4ac﹥0D.a﹤0,b2-4ac﹤0
2.抛物线y=x2+(2m-1)x+m2与x轴有两个交点,则m的取值范围是()
A.m﹥
B.m﹥-
C.m﹤
D.m﹤-
3.一次函数y=2x-3与二次函数y=x2-2x+1的图象有()
A.一个交点B.两个交点C.无数个交点D.无交点
4.二次函数y=ax2+bx+c的最大值是零,那么代数式
的化简结果是()
A.aB.-aC.1D.0
二、填空题
5.已知抛物线y=x2+bx+c与x轴交点的横坐标为-1,则a+c=
6.已知二次函数y=-4x2-2mx+m2与反比例函数y=
的图象在第二象限内的一个交点的横坐标是-2,则m的值是
三、解答题
7.已知二次函数y=ax2-2的图象经过点(1,-1).求这个二次函数的解析式,并判断该函数图象与x轴的交点的个数.
8.已知抛物线y=x2-2x-8.
(1)求证:
该抛物线与x轴一定有两个交点.
(2)若该抛物线与x轴的两个交点分别为A,B,且它的顶点为P,求△ABP的面积.
第四节二次函数解析式表达式的三种求法
【知识要点】
求二次函数的解析式,要根据具体情况,选择适当方法.二次函数常见的表达式有三种:
(1)已知任意三点求解析式用一般式,即y=ax2+bx+c(a≠0).其方法是:
把三点坐标值分别代入一般式,得到关于a,b,c的三元一次方程组,求出a,b,c,即可得二次函数解析式.
(2)已知顶点或最大(小)值求解析式用顶点式,即y=a(x-h)2+k(a≠0).其方法是:
先将顶点坐标(h,k)或最大(小)值代入顶点式,再把另一点坐标代入求出a,即可得二次函数解析式.
(3)已知与x轴两交点坐标求解析式用交点式,即y=a(x-x1)(x-x2)(a≠0).其方法是:
将抛物线与x轴两交点横坐标x1,x2代入交点式,然后将抛物线上另一点坐标代入求出a,即可得二次函数解析式.
【典型例题】
例1(2004.黄冈模拟)已知抛物线y=ax2+bx+c的图象经过A(-1,3)、B(1,3)、C(2,6)三点,则该抛物线的解析式为
分析:
因为抛物线y=ax2+bx+c的图象经过A、B、C三点,可将A、B、C三点的坐标分别代入y=ax2+bx+c中,得到关于a、b、c的一个三元一次方程组,解之,求出a、b、c.
解:
y=x2+2
例2(2002.哈尔滨)如图20-4-1,抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于A、B两点(点A在点B左侧),与y轴交于点C,且当x=0和x=2时,y的值相等.直线y=3x-7与这条抛物线相交于两点,其中一点的横坐标是4,另一点是这条抛物线的顶点M,求这条抛物线的解析式.
分析:
因为x=0和x=2时,y的值相等,所以由抛物线的对称性可知,对称轴是x=1.因为y=3x-7与y=ax2+bx+c相交于两点,其中一点的横坐标是4,另一点是这条抛物线的顶点M,所以直线与抛物线的一交点为(4,5),顶点M(1,-4).
设抛物线解析式为y=a(x-1)-4,把(4,5)代入此式,得a=1.
解:
y=x2-2x-3
例3(新疆维吾尔自治区)已知变量y是x的二次函数,且图象如图20-4-2所示,在x轴上截得的线段AB长为4个单位,又知函数图象顶点坐标为P(3,-2).求这个函数的解析式。
分析:
因为函数图象顶点坐标为P(3,-2),在x轴上截得的线段AB长为4个单位,
所以抛物线与x轴的两个交点为A(1,0),B(5,0)
设所求二次函数解析式为y=a(x-1)(x-5),图象经过(3,-2),代入,求得a=
解:
y=
x2-3x+
例4(2004.兴义)已知抛物线y=ax2+bx+c的对称轴为x=2,且经过点(1,4)和点(5,0),则该抛物线的解析式为
分析:
方法一:
因为抛物线的对称轴为x=2,则可设解析式为y=a(x-2)2+b,再将两点坐标代入求出a、b的值.
方法二:
将两点坐标代入y=ax2+bx+c中,得到两个方程式,再由x=-
=2得到一个方程,然后联立解这个方程组,得a、b、c的值.
方法三:
因为抛物线的对称轴是x=1,由线的对称性可知,抛物线与x轴另一交点为(-1,0).可由交点式求出解析式.
解:
y=-
x2+2x+
【知识运用】
一、选择题
1.过A(-1,0)、B(3,0)、C(1,2)三点的抛物线的顶点坐标是()
A.(1,2)B.(1,
)C.(-1,5)D.(2,
)
2.二次函数y=mx2+4x+m-1的最小值为2,则m的值为()
A.4B.3C.-1D.4或-1
3.已知二次函数y=-x2+bx+c的图象的最高点是(-1,-3),则b与c的值是( ).
A.b=2c=4 B.b=2c=-4
C.b=-2c=4D.b=-2c=-4
4.若所求的二次函数与抛物线y=2x2-4x-1有相同的顶点,并且在对称轴的左侧,y随着x的增大而增大;在对称轴的右侧,y随着x的增大而减小,则所求二次函数的解析式为()
A.y=x2+2x-4B.y=ax2-2ax+a-3(a﹥0)C.y=2x2-4x-5D.y=ax2-2ax+a-3(a﹤0)
二、填空题
5.已知抛物线y=ax2+bx+c经过点A(-2,7)、B(6,7)、C(3,-8),则该抛物线上纵坐标为-8的另一点的坐标是
6.已知抛物线y=ax2+bx+c经过点(-1,10)和(2,7)且3a+2b=0。
则该抛物线的解析式是
7.已知抛物线y=ax2+bx+c经过点(-1,2)和(3,2)两点,则4a+2b+3的值为
三、解答题
8.已知抛物线y=ax2+bx+c经过(0,0)与(12,0),最高点纵坐标是3,求这条抛物线的解析式.
9.已知抛物线y=-x2+(m-4)x+2m+4与x轴交于点A(x1,0)、B(x2,0)两点,与y轴交于点C,且x1﹤x2,x1+2x2=0.若点A关于y轴的对称点是点D.
求:
过点C、B、D的抛物线的解析式
第五节用二次函数解决实际问题
【典型例题】
例1(2005.湖北荆门市)农村常需要搭建截面为半圆形的全封闭蔬菜塑料暖房(如图20-5-1),则需塑料布y(m2)与半径R(m)的函数关系式是(不考虑塑料布埋在土里的部分)
分析:
考查在实际问题情况中确定二次函数的表达式,
y=30·
·2R+
,再整理而得.
解:
y=30R+
例2(2005.山东潍坊市)某工厂生产的某种产品按质量分为10个档次,生产第一档次(即最低档次)的产品一天生产76件,每件利润10元,每提高一个档次,利润每件增加2元.
(1)当每件利润为16元时,此产品质量在第几档次?
(2)由于生产工序不同,此产品每提高一个档次,一天产量减少4件.若生产第x档的产品一天的总利润为y元(其中x为正整数,且1≤x≤10),求出y关于x的函数关系式;若生产某档次产品一天的总利润为1080元,该工厂生产的是第几档次的产品?
分析:
考查二次函数的应用.
解:
(1)当每件利润为16元时,此产品质量在第四档次.
(2)根据题意,得y=[10+2(x-1)][76-4(x-1)]=-8x2+128x+640
当总利润为1080元时,-8x2+128x+640=1080解得x1=5,x2=11(不符合题意,舍去)
答:
当生产的是第5档次的产品,一天的总利润为1080元.
例3(2005.重庆市)随着海峡两岸交流日益增强,通过“零关税”进入我市的一种台湾水果,其进货成本是0.5万元,这种水果市场上的销售量y(t)是每吨的销售价x(万元)的一次函数,且x=0.6时,y=2.4;x=1时,y=2.
(1)求出销售量y(t)与每吨的销售价x(万元)之间的函数关系式;
(2)若销售利润为w(万元),请写出w与x之间的函数关系式,并求出销售价为每吨2万元时的销售利润.
分析:
考查二次函数的应用.
解:
(1)设y=kx+b∵x=0.6时,y=2.4;x=1时,y=2∴
∴
∴函数关系式为y=-x+3
(2)∵由已知w=y·x-0.5y=(-x+3)x-(-x+3)×0.5=-x2+3.5x-1.5
∴当x=2时,w=-22+3.5×2-1.5=1.5故此时的销售利润是1.5万元.
例4(2005.吉林长春市)一辆电瓶车在实验过程中,前10s行驶的路程s(m)与时间t(s)满足关系式s=at2,第10s末开始匀速行驶,第24s末开始刹车,第28s末停在离终点20m处,图20-5-2是电瓶车行驶过程中每2s记录一次的图象.
(1)求电瓶车出发到刹车时的路程s(m)与时间t(s)的函数关系式.
(2)如果第24s末不刹车继续匀速行驶,那么出发多少秒
后通过终点?
(3)如果10s后仍按s=at2的运动方式行驶,那么出发多少秒后通过终点?
(参考数据:
≈2.24,
≈2.45,计算结果保留两个有效数字)
分析:
这是一道综合性问题,考查学生一次函数、二次函数的应用,以及综合分析问题、解决问题的能力.
解:
(1)当0≤t≤10时,点(10,10)在s=at2上,可解得a=0.1,s=0.1t2
当0≤t≤10时,由图象可设一次函数s=kt+b,过(10,10),(24,38),
∴
解得
∴s=2t-10
(2)当s=40+20=60时,60=2t-10,∴t=35即第24s末不刹车继续匀速行驶,那么出发35秒后通过终点.
(3)当s=60时,由s=0.1t2,60=0.1t2,t=
(舍去负值)∴t≈25即出发25秒后通过终点.
【知识运用】
一、选择题
1.把一个小球以20m/s的速度竖直向上弹出,它在空中的高度h(m)与时间t(s)满足关系:
h=20t-5t2.当h=20时,小球的运动时间为()
A.20sB.2sC.(2
+2)sD.(2
-2)s
2.苹果熟了,从树上落下所经过的路线s与下落的时间t满足s=
(g是不为0的常数),则s与t的函数图象大致是()
3..如图20-5-3,有一抛物线形拱桥,当水线在AB位置时,拱桥离水面2m,水面宽4m,水线下降1m后,水面宽为()
A.
mB.
mC.
mD.2
m
4.如图20-5-4,正方形ABCD的边长为1,E、F、G、H分别为各边上的点,且AE=BF=CG=DH,设小正方形EFGH的面积为S,AE为x,则S关于x的函
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