09建模论文.docx
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09建模论文
眼科病床的合理安排
摘要
本问题讨论的是医院排队现象中病床的合理安排,在实际生活中有着重要的意义。
针对题目所提出的五个问题,运用两种思想,我们建立了两种模型分别求解,两种方法一个从计算机模拟整体考虑出发,一个从excel推算细节出发,相互结合有一定的补充作用。
当前该住院部对全体非急症病人是按照FCFS(Firstcome,Firstserve)规则安排住院,但等待住院病人队列却越来越长。
在解决题目所提出的问题时,我们遇到一个基本问题——如何制定一个更加优化的病床安排模型。
因此我们首先制定一个新的病人入院规则,然后对其他问题进行分析。
在问题一中,要确定合理的评价指标体系,来评价该病床安排模型优劣。
考虑到病人和医院双方的利益,参照排队论的相关理论,我们确定了三个评价指标,分别为病人在医院系统的排队长和医院的病床利用指数、绝对通过能力,通过分析问题二中的模型一和模型二,并与原题目模型的这三项指标进行对比,发现我们的模型对原题模型起到了一定的优化作用。
在问题二中,要根据该住院部当前的情况建立合理的病床安排模型,以根据已知的第二天拟出院病人数来确定第二天应该安排哪些病人住院。
模型一使用的方法是从病床可空出的时间也即病床上病人离出院时间出发,建立递推模型,确定每天可空出的病床数,也就可以确定每天出院人数、入院人数,再根据对不同类型病人的入院优先级别进行划分,可以安排每天入院的不同类型病人数。
在问题三中,我们首先确定每天不同类型病人总共的排队人数,然后在问题二建立的模型一的基础上,建立模型三,结合不同病型的优先级别,将排队人数依次安排到每天的入院人数中,这样就可以得到在门诊的时候病人近似的入院时间区间。
同时,我们建立了模型四,使用excel推算得到比较准确的每天每种病人在门诊时可被告知的入住时间区间。
在问题四中,由于周六、周日不安排手术,我们要重新对不同类型病人的入院优先级别进行调整,然后重新安排每天入院的病人数,可以在问题二模型一的基础上进行调整,将得到的结果与我们问题二中得到的结果进行比较,然后得出结论:
这种情况下医院手术时间安排应该进行调整。
在问题五中,要在使所有病人在系统内平均逗留时间最短目标下,建立模型求解最优的病床比例分配模型。
这里我们建立非线性优化模型
使用lingo语言编程求得最优病床分配比例为:
=17:
18:
10:
27:
7.
关键词:
优先级等待时间优化递推病床分配
一、问题重述
医院就医排队是大家都非常熟悉的现象,它以这样或那样的形式出现在我们面前,例如,患者到门诊就诊、到收费处划价、到药房取药、到注射室打针、等待住院等,往往需要排队等待接受某种服务。
我们考虑某医院眼科病床的合理安排的数学建模问题。
该医院眼科门诊每天开放,住院部共有病床79张。
该医院眼科手术主要分四大类:
白内障、视网膜疾病、青光眼和外伤。
附录中给出了2008年7月13日至2008年9月11日这段时间里各类病人的情况。
白内障手术较简单,而且没有急症。
目前该院是每周一、三做白内障手术,此类病人的术前准备时间只需1、2天。
做两只眼的病人比做一只眼的要多一些,大约占到60%。
如果要做双眼是周一先做一只,周三再做另一只。
外伤疾病通常属于急症,病床有空时立即安排住院,住院后第二天便会安排手术。
其他眼科疾病比较复杂,有各种不同情况,但大致住院以后2-3天内就可以接受手术,主要是术后的观察时间较长。
这类疾病手术时间可根据需要安排,一般不安排在周一、周三。
由于急症数量较少,建模时这些眼科疾病可不考虑急症。
该医院眼科手术条件比较充分,在考虑病床安排时可不考虑手术条件的限制,但考虑到手术医生的安排问题,通常情况下白内障手术与其他眼科手术(急症除外)不安排在同一天做。
当前该住院部对全体非急症病人是按照FCFS(Firstcome,Firstserve)规则安排住院,但等待住院病人队列却越来越长,医院方面希望你们能通过数学建模来帮助解决该住院部的病床合理安排问题,以提高对医院资源的有效利用。
问题一:
试分析确定合理的评价指标体系,用以评价该问题的病床安排模型的优劣。
问题二:
试就该住院部当前的情况,建立合理的病床安排模型,以根据已知的第二天拟出院病人数来确定第二天应该安排哪些病人住院。
并对你们的模型利用问题一中的指标体系作出评价。
问题三:
作为病人,自然希望尽早知道自己大约何时能住院。
能否根据当时住院病人及等待住院病人的统计情况,在病人门诊时即告知其大致入住时间区间。
问题四:
若该住院部周六、周日不安排手术,请你们重新回答问题二,医院的手术时间安排是否应作出相应调整?
问题五:
有人从便于管理的角度提出建议,在一般情形下,医院病床安排可采取使各类病人占用病床的比例大致固定的方案,试就此方案,建立使得所有病人在系统内的平均逗留时间(含等待入院及住院时间)最短的病床比例分配模型。
二、问题分析
本文讨论的问题是由该医院按照FCFS规则制定病床分配模型导致等待住院病人队列越来越长引起的,问题一要求我们建立评价体系来评价病床安排模型;问题二要求我们建立更加合理的安排病人入院模型;问题三要求我们根据住院病人及等待住院病人,预测门诊病人大致入院的时间区间;问题四要求我们在医院手术时间改变条件下,重新建立模型对病床进行分配;问题五要求我们建立病床比例分配模型,使得所有病人平均逗留时间最短。
在解决这些问题时我们都将遇到一个基本问题,就是如何制定一个新的入院规则,并依此建立一个更加优化的病床安排模型。
由题目的要求可知我们在安排病床时的一些约束条件:
1)白内障手术只安排在每周一、三进行,此类手术的准备时间为1-2天,白内障双眼的病人(占到60%)必须周一先做一次手术,周三再做一次手术;
2)外伤疾病属于急症,病床有空时立即安排住院,住院第二天即进行手术;
3)其他眼科疾病即青光眼和视网膜疾病,住院2-3天就可以安排手术,手术时间一般不安排在周一周三。
由于急症较少,建模时这些眼科疾病可不考虑急症;
4)通常情况下白内障手术与其他眼科手术(急症除外)不安排在同一天进行。
在上述已知约束条件下,我们制定一个新的病人入院优先级别。
为了使病人在医院等待手术的时间最短,加快医院病床周转的速度,根据手术准备时间以及手术时间的相互限制,我们让不同类型病人在离该病型手术时间最近的时候入院。
1.首先确定我们排队的基本规则:
外伤由于是急症,优先级别最高;安排其它病型在一周中每一天入院时,依据模型建立的病型优先级别从高到低依次安排;相同类型病人住院时顺序则由FCFS(先到先服务)决定;
我们的算法:
考虑使病人等待时间最短,由于术后观察时间是不确定的,而入院后到手术的等待时间是可以调节的,因此病人在医院逗留时间主要是由手术等待时间决定的,逗留时间最短首先是等待手术时间最短(非手术准备时间);其次病人等待入院时间最短。
病人的等待时间分为两部分:
门诊时间到入院时间的等待入院时间,入院时间到手术时间的等待手术时间。
由于不同疾病的手术准备时间和手术时间不相同,这会影响后面不同类型病人的优先级别划分,为方便讨论,首先我们对该医院的眼科疾病进行分类,分成4大类:
白内障单眼、白内障双眼、视网膜疾病/青光眼、外伤。
由题目已知白内障手术的准备时间为1-2天,青光眼和视网膜疾病手术的准备时间为2-3天,而我们对原始数据统计分析可知,等待手术时间有最小值为(外伤除外)白内障1天,视网膜疾病、青光眼2天。
为使等待手术的时间最短,我们让手术准备时间尽量短,可设为:
白内障手术准备时间为1天,视网膜疾病、青光眼为2天。
外伤疾病属于急症,病床有空即安排住院,因此我们可以设定外伤的等待时间为:
等待入院时间为1天,手术准备时间为1天,即第一天门诊,第二天入院,第三天手术。
依据上述规则我们可以得到一周中每一天入院不同类型病人等待手术时间(天)如下。
表1一周中每天不同类型入院病人等待手术时间
入院时间
周一
周二
周三
周四
周五
周六
周日
外伤
1
1
1
1
1
1
1
白内障
单眼
2
1
5
4
3
2
1
双眼
7
6
5
4
3
2
1
视网膜/青光眼
3
2
2
2
2
3
2
2.划分病人入院优先级别:
为使病人等待手术时间最短,由于术后观察时间(即手术后到出院的时间)为一个不确定值,因此我们考虑等待手术时间最短为基本原则,对一天中不同类型病人入院级别分类。
假设1表示最高优先级别,级别相同则以相同数字表示,得到总体上每天不同类型病人入院优先级别如下:
表2每天不同类型病人入院优先级别分别
入院时间
周一
周二
周三
周四
周五
周六
周日
外伤
1
1
1
1
1
1
1
白内障
单
2
2
3
3
3
2
2
双
4
4
3
3
3
2
2
视网膜/青光眼
3
3
2
2
2
3
3
3.优先级别的微调:
考虑白内障患者,由表2我们可以看出,周三到周日这段时间内,白内障单眼患者与双眼患者的优先级别相同,现在对其细分。
由于白内障手术时间已确定为周一、周三,做两只眼的病人多一些,大约占到60%,而且双眼手术时间已经确定为周一做一只眼手术,周三再做一次手术,因此在一天中白内障单眼患者与白内障双眼患者优先级别相同时,我们设定白内障双眼患者的优先级别更高一些。
微调后我们可以得到所有类型病人一周中每天入院时的优先级别分布如下:
表3微调后每天入院病人优先级别分布
入院时间
周一
周二
周三
周四
周五
周六
周日
外伤
1
1
1
1
1
1
1
白内障
单
2
2
4
4
4
3
3
双
4
4
3
3
3
2
2
视网膜/青光眼
3
3
2
2
2
4
4
三、基本假设
1.假设来医院看病的病人源是无限的,同一张病床如果空出,当天就有病人入院。
2.假设做手术的医生数量是足够多。
3.假设外伤急症不受医院手术时间的限制,病床有空即可入院,入院后第二天即进行手术。
4.在问题四中假设急症病人手术时间不受医院手术时间调整的影响,急症病人依然是病床有空时立即安排住院,住院后第二天即安排手术。
四、问题一的求解
4.1问题一的分析
当前该住院部对全体非急症病人是按照FCFS(Firstcome,Firstserve)规则安排住院,由于存在手术时间限制、不同病人类型手术时间冲突等原因,造成等待住院的病人队列越来越长,现在我们建立一个评价指标体系来对题目所给模型进行分析。
1.变量定义
利用排队论的知识,我们对医院病床安排的模型建立一个排队系统,相关名词定义如下:
1)逗留时间
:
指病人在系统中的停留时间,即病人从门诊到出院所经历的时间长度。
2)服务时间
:
病人在系统中接受服务的时间长度,指病人从入院到出院经历的时间长度。
3)绝对通过能力
:
单位时间内被服务的病人人数的均值,指平均每天出院的人数。
4)相对通过能力
:
单位时间内被服务完的顾客数与请求服务的顾客数的比值,指每周出院人数与等待入院人数之比。
5)病床使用率
:
反映每天使用床位与实有床位的比率,即每天实际占用的总床数与每天实际允许使用的总床数之比。
在本问题中由于每天空床位不足而导致很多病人门诊后无法入院,因此可知每天病床的使用率为100%。
6)床位周转次数C:
出院人数/每天允许使用的病床数。
7)床位利用指数
:
。
8)排队长(队列长)
:
在系统中排队等候服务的顾客数,这里指门诊后等待入院的病人数。
2.评价指标
我们主要从病人和医院两方面考虑综合评价模型的指标,分别是病人在医院的排队等候入院的排队长和医院的病床利用指数、绝对通过能力。
五、问题二的求解
5.1符号说明
1.
:
,表示对79个病床依次进行编号;
2.
:
表示第i个床位的病人还剩k天可以出院,
,由后文模型建立中我们可以确定
;
3.
:
未来空出床位数,即在星期m这天,再经过j天总床位中可以空出的床位数,
,
,表示一周中的星期几;
与
关系为
;
4.
:
对原始数据统计得到的一周中每天患白内障单眼病人数的比例;
5.
:
对原始数据统计得到的一周中每天患白内障双眼病人数的比例;
6.
:
对原始数据统计得到的一周中每天患青光眼病人数的比例;
7.
:
对原始数据统计得到的一周中每天患视网膜疾病人数的比例;
8.
:
对原始数据统计得到的一周中每天外伤人数的比例。
5.2模型一的建立:
1.数据分析
对原始数据进行分析可知,2008年7月13日门诊的病人,一般安排7月25日以后(外伤除外)才能住院,说明在7月13日到25日以后这段期间医院都在安排7月12日及以前门诊遗留的病人,7月13日门诊的病人最迟在2008年8月11日出院,说明从8月11日起,7月12日及以前遗留的病人已经基本全部出院,因此我们可以从8月11日开始统计数据,得到的病人数就是7月13日起开始门诊的病人。
进一步分析我们还可以得到:
从8月8日开始,每天入院人数与出院人数相等,证明从这时开始医院病床安排系统已经达到稳定状态,因此我们认为原始数据从8月11日开始更加合理,统计8月11日所有可空出床位数得到表格如下:
表4统计8月11日所有可空出床位数
剩余天数
8月11日
1
2
2
6
3
9
4
8
5
13
6
6
7
4
8
7
9
7
10
5
11
7
12
3
13
2
我们将题目所述的眼科病分为5类,分别是白内障单眼、白内障双眼、青光眼、视网膜疾病、外伤,对题目所给原始数据进行分析可得这5种病型的病人从入院到出院的平均时间如下:
表5统计5种病人从入院到出院的平均时间
白内障单眼
5天
白内障双眼
9天
青光眼
10天
视网膜疾病
13天
外伤
7天
从表中可知,住院的病人最长时间为13天,最短为5天,因此可得
。
进而我们可以得到一周中每天在若干天后空出的床位数的表示方法,例如周一这天对应表示为
周二这天对应表示为
2.原理分析:
步骤一:
由于我们是对日期进行分析,所有的日期都是离散的变量,为了得到不同类型患者人数在总体数据中的分布,我们以周为单位进行分析,然后将求得的每周每天可空出床位数还原成对应日期的分布情况。
分析一周中每天在若干天后空出的床位数的相互关系,为使病床利用率最大,假设看病的病人数是无限的,病床每天都保持饱和状态。
第m天中只剩一天就可空出的床位将在第
天空出,同时第
天又将住进m个病人,住进的这些病人数目又会影响第
天中对应的未来空出病床数,因此是一个迭代循环影响的过程。
例如,周一的未来空床数
将在周二中全部空出,而
又将递变为周二中的未来空床数
,加上周二中原来已有的
和周二中新增的病人数,可以得到新的周二对应的未来空床数,变化示意图如下:
步骤二:
在考虑第
天新入院的病人病型分类时,我们考虑利用原始数据分析每天不同患病类型的比例。
我们对题目所给数据进行分析,将原数据中的日期对应转换为星期,对一周中每天不同类型病人数求和,可以得到5种病人在一周中每天的分布人数如下:
表6原始数据统计得到每天5种病型的人数分布
周一
周二
周三
周四
周五
周六
白内障单眼
5
6
6
12
13
17
白内障双眼
10
9
21
11
13
26
青光眼
5
3
6
5
8
15
视网膜疾病
15
7
22
20
23
34
外伤
10
10
6
12
9
12
由该表我们可以分析每天不同患病类型的比例,得到一周中每天患不同类型病型的人数比例为:
进而可以对第
天新入院的病人进行分类。
步骤三:
在步骤一和步骤二的基础上,我们可以建立每天所有病床未来可空出的床位数
之间的递推关系:
设
表示第m天增加新的病人数后得到的新的
值,病床每天使用都为饱和:
在上述模型下我们可以得到一周中每天的病床安排,将星期还原成日期,我们就可以得到从8月11日起开始模拟,得到后续每天所有空床数,也即每天出院入院人数。
5.3模型一的求解
1.求出每天拟出院人数
我们从8月11日开始进行模拟,以8月11日利用模型中我们已经得到的递推关系,在matlab中使用计算机编程可以得出从8月11日起每天可空床位数的分布:
表7从8月11日起每天可空出床位数
剩余天数
日期
一
二
三
四
五
六
七
八
九
十
十一
十二
十三
2008-8-11
2
6
9
8
13
6
4
7
7
5
7
3
2
2008-8-12
6
9
8
13
6
4
8
7
6
7
3
2
0
2008-8-13
9
8
13
6
5
8
8
6
9
4
2
0
2
2008-8-14
8
13
6
5
9
8
7
9
5
3
0
2
3
2008-8-15
13
6
5
9
9
7
10
5
4
1
2
3
3
2008-8-16
6
5
9
9
9
10
7
4
5
4
3
3
4
2008-8-17
5
9
9
9
12
7
5
5
6
4
3
4
1
2008-8-18
9
9
9
12
7
5
6
6
5
3
4
1
2
2008-8-19
9
9
12
7
6
6
8
5
6
5
1
2
2
2008-8-20
9
12
7
6
7
8
6
6
8
2
2
2
3
2008-8-21
12
7
6
7
10
6
8
8
4
2
2
3
3
2008-8-22
7
6
7
10
8
8
10
4
5
3
3
3
4
2008-8-23
6
7
10
8
9
10
5
5
5
4
3
4
2
2008-8-24
7
10
8
9
12
5
5
5
6
4
4
2
1
2008-8-25
10
8
9
12
6
5
7
6
5
5
2
1
2
2008-8-26
8
9
12
6
7
7
9
5
8
3
1
2
2
2008-8-27
9
12
6
7
7
9
6
8
6
2
2
2
3
2008-8-28
12
6
7
7
11
6
9
6
4
3
2
3
3
2008-8-29
6
7
7
11
8
9
8
4
5
4
3
3
4
2008-8-30
7
7
11
8
10
8
5
5
5
4
3
4
2
2008-8-31
7
11
8
10
10
5
6
5
5
4
4
2
2
2008-9-1
11
8
10
10
5
6
7
5
5
5
2
2
2
2008-9-2
8
10
10
5
8
7
9
5
8
3
2
2
2
2008-9-3
10
10
5
8
7
9
6
8
6
2
2
2
3
2008-9-4
10
5
8
7
11
6
10
6
4
3
2
3
3
2008-9-5
5
8
7
11
8
10
7
4
5
3
3
3
3
2008-9-6
8
7
11
8
11
7
5
5
5
4
3
3
2
2008-9-7
7
11
8
11
10
5
6
5
6
4
3
2
2
2008-9-8
11
8
11
10
6
6
6
6
6
4
2
2
2
2008-9-9
8
11
10
6
8
6
9
6
7
3
2
2
2
2008-9-10
11
10
6
8
7
9
7
7
5
3
2
2
3
2008-9-11
10
6
8
7
11
7
9
5
5
3
2
3
4
依次我们可以得到从8月11日起每天所有病床未来可空出的状态,也就可以得出每天出院、新入院病人病型的分布。
例如,在上表中我们可以得到从8月11日起每天可空出的床位数依次为
个。
2.每天安排哪些病人住院
每天出院的人数也即每天可新增入院的病人数,问题二中要求根据已知的第二天拟出院病人数来确定第二天应该安排哪些病人住院,下面我们利用已求得的每天拟出院人数来安排每天新增入院病人的分类。
在对新增病人进行分类时,考虑到可能当天空出的床位数并不完全满足当天需要住院的病人所需,因此我们要根据对每天要求住院的病人优先级别分类的顺序,优先级别高的病人优先入院。
在问题分析中我们已经建立了一个病人优先级别,由于我们目前无法用程序实现计算机自动分配入院病人数,我们采用人工的方式,分配得到的不同病人每天入院人数如下。
表8不同病人每天入院人数
安排住院人数(--)
剩余人数
日期
星期
白单
白双
青光眼
视网膜
外伤
白单
白双
青光眼
视网膜
外伤
2008-8-11
1
4
0
0
0
2
12
25
8
35
0
2008-8-12
2
9
0
0
0
0
6
28
8
36
0
2008-8-13
3
0
0
2
6
0
7
33
7
36
0
2008-8-14
4
0
0
2
11
0
7
36
6
26
1
2008-8-15
5
0
0
1
4
1
7
36
5
22
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6
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24
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7
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2
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4
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1
4
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12
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25
1
3.利用问题一中建立的评价系统对问题二求得的结果进行分析
问题一我们主要采用三个指标进行评价:
绝对通过能力
、床位利用指数
、排队长(
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