河北省唐山一中学年高一下学期期末考试数学试题Word版含答案.docx
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河北省唐山一中学年高一下学期期末考试数学试题Word版含答案
河北省唐山一中2020-2021学年下学期期末考试
高一数学试题
说明:
1.答题前,考生先将自己的姓名、班级、准考证号号码填写清楚,将条形码准确粘贴在条形码区域内.
2.考试时间120分钟,满分150分.
3.请按照题号顺序在答题卡各题目对应的答题区域作答.超出答题区域书写的答案完效.
卷Ⅰ(选择题共60分)
一、选择题:
(本题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,有一项是符合题目要求的.)
1.已知菱形的边长为a.,则()
A.B.C.D.
2.已知等差数列的前n项和为,且,,则取得最大值时()
A.14B.15C.16D.17
3.某地区甲、乙、丙、丁四所高中分别有120,150,180,150名高三学生参加某次数学调研考试.为了解学生能力水平,现制定以下两种卷面分析方案:
方案①:
从这600名学生的试卷中抽取一个容量为200的样本进行分析;方案②:
丙校参加调研考试的学生中有30名数学培优生,从这些培优生的试卷中抽取10份试卷进行分析.完成这两种方案宜采用的抽样方法依次是()
A.分层抽样法、系统抽样法B.分层抽样法、简单随机抽样法
C.系统抽样法、分层抽样法D.简单随机抽样法、分层抽样法
4.某个微信群某次进行的抢红包活动中群主所发红包的总金额为10元,被随机分配为2.49元、1.32元、2.19元、0.63元、3.37元,共5份供甲、乙等5人抢,每人只能抢一次,则甲、乙二人抢到的金额之和不低于4元的概率是()
A.B.C.D.
5.如图,网格纸上的小正方形的边长为1,粗线条画出的图形为某几何体的三视图,则该几何体的外接球表面积为()
A.B.C.D.
6.已知等差数列中,,,则此数列前30项和等于()
A.810B.900C.870D.840
7.在中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若,,则的面积的最大值为()
A.B.C.1D.
8.已知m,n是两条不重合的直线,,是两个不重合的平面,则下列命题中,错误的是()
A.若,,则
B.若,,,则
C.若,,,则
D.若,,或
9.如图所示,为了测量A,B处岛屿的距离,小明在D处观测A,B分别在D处的北偏西,北偏东方向,再往正东方向行驶40海里至C处,观测B在C处的正北方向,A在C处的北偏西方向,则A,B两处岛屿间的距离为()
A.海里B.海里
C.海里D.40海里
10.在约束条件下,若目标函数的最大值不超过4,则实数m的取值范围是()
A.B.C.D.
11.如图,在正方体中,平面垂直于对角线,且平面截得正方体的六个表面得到截面六边形,记此截面六边形的面积为S,周长为l,则()
A.S为定值,l不为定值B.S不为定值,l为定值
C.S与l均为定值D.S与l均不为定值
12.已知,,,若P点是所在平面内一点,且,则的最大值等于()
A.13B.15C.19D.21
卷Ⅱ(非选择题共90分)
二、填空题:
本题共4小题,每小题5分,共20分.
13.若,则的取值范围是______.
14.一个多面体的直观图和三视图所示,M是的中点,一只蝴蝶在几何体内自由飞翔,由它飞入几何体内的概率为______.
15.正四棱锥中,O为顶点S在底面上的射影,P为侧棱的中点,且,则直线与平面所成的角的大小为:
______.
16.在的内角A,B.C所对的边分别为a,b,c,则下列命题正确的是______
①若,则
②若,则
③若,则为锐角三角形
④若,则
三、解答题:
本题共6小题,17题10分,12分.
17.如图,在中,a、b、c分别为的内角A、B、C所对的边,外接圆的半径为2,.
(1)求b;
(2)求周长的最大值.
18.为数列的前n项和.已知,.
(Ⅰ)求的通项公式;
(Ⅱ)设,求数列的前n项和.
19.2020年寒假期间新冠肺炎肆虐,全国人民众志成城抗疫情.某市要求全体市民在家隔离,同时决定全市所有学校推迟开学.某区教育局为了让学生“停课不停学”,要求学校各科老师每天在网上授课辅导,每天共200分钟.教育局为了了解高三学生网上学习情况,上课几天后在全区高三学生中采取随机抽样的方法抽取了80名学生(其中男女生恰好各占一半)进行问卷调查,按男女生分为两组,再将每组学生在线学习时间(分钟)分为5组,,,,得到如图所示的频率分布直方图.全区高三学生有3000人(男女生人数大致相等),以频率估计概率回答下列问题:
(1)估计全区高三学生中网上学习时间不超过40分钟的人数;
(2)在调查的80名高三学生且学习时间不超过40分钟的学生中,男女生按分层抽样的方法抽取6人.若从这6人中随机抽取2人进行电话访谈,求至少抽到1名男生的概率.
20.已知数列满足(),,,,且,,成等差数列
(1)求q的值和的通项公式
(2)设,,求数列的前n项和
21.如图所示,菱形与正三角形的边长均为2,它们所在的平面互相垂直,平面且.
(1)求证:
平面;
(2)若,求二面角的余弦值.
22.(本小题12分)如图1,梯形中,,过A,B分别作,,垂足分别为E、F,,,已知,将梯形沿,同侧折起,得空间几何体,如图2.
(1)若,证明:
平面;
(2)若,,线段上存在一点P,满足与平面所成角的正弦值为,求的长.
河北省唐山一中2020-2021学年下学期期末考试
高一数学试题参考答案
一、选择
1-5.DABBD6-10.DDAAD11-12.BA
二、填空
13.14.15.16.①②③
三、解答题
17.【答案】
解:
(1)由正弦定理及,得,
由,得,
,,,
,,,
又外接圆的半径,
,
.
(2)因为,
,
由
可得,
,当且仅当时,等号成立.
又,周长的最大值为.
18.【答案】
解:
(Ⅰ)由,可知
两式相减得,
即,
,,
,
(舍)或,
则是首项为3,公差的等差数列,
的通项公式;
(Ⅱ),
数列的前n项和.
19.【答案】
(1)男生自主学习不超过40分钟的人数:
人,
女生自主学习不超过40分钟的人数:
人,
所以估计全区高三学生网上学习时间不超过40分钟的人数为225人.
(2)在80名学生中,男生网上学习不超过40分钟的人数:
人,
女生网上学习不超过40分钟的人数:
人,
所以选4名男生,2名女生.4名男生设为,,,,2名女生设为,,任选2人有:
,,,,,,,,,,,,,,,共15种.没有男生的有,共1种.
所以至少有一名男生的概率.
20.【答案】
解析:
(1)依题意可知:
,,
,,成等差数列
即
或(舍)
当()时,,,即
当()时,,,即
综上所述:
(2)由
(1)知,,
记数列的前n项和为,
则,
,
两式相减,得
().
21.【答案】
(1)过点E作,连接,,
因为平面平面,平面,平面平面,
所以平面,
因为,,
所以,,故平行四边形,所以,
由平面,平面,
所以平面;
(2)连接,根据题意,,以H为原点,,,为x,y,z轴建立空间直角坐标系,
则,,,,
则,,,
设平面的法向量为,
,得,
设平面的法向量为,
由,得
由,
所以二面角的余弦值为.
22.【答案】
(1)由已知得四边形是正方形,且边长为2,在图2中,,
由已知得,,平面,
又平面,,
又,,
平面.
(2)在图2中,,,,即面,
在梯形中,过点D作交于点M,连接,
由题意得,,由勾股定理可得,则,,
过E作交于点G,可知,,两两垂直,
以E为坐标原点,以,,分别为x轴,y轴,z轴的正方向建立空间直角坐标系,
则,,,,,.
设平面的一个法向量为,
由得,取得,
设,则,(),得
设与平面所成的角为,.
.
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