MATLAB符号运算.docx

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MATLAB符号运算

符号运算

科学计算包括数值计算和符号计算两种计算，数值计算是近似计算；而符号计算则是绝对精确的计算。

符号变量的生成和使用

1、符号变量、符号表达式和符号方程的生成

（1）、使用sym函数定义符号变量和符号表达式

单个符号变量

sqrt

（2）

sym（sqrt

（2））%显示精确结果

a=sqrt（sym

（2））%显示精确结果

double（a）

sym

（2）/sym（3）%显示精确结果

2/5+1/3

sym（2/5+1/3）%显示精确结果

sym

（2）/sym（5）+sym

（1）/sym（3）%显示精确结果

sym函数定义符号表达式：

单个变量定义法，整体定义法

单个变量定义法

a=sym（'a'）

b=sym（'b'）

c=sym（'c'）

x=sym（'x'）

f=a*x^2+b*x+c

整体定义法

f=sym（'a*x^2+b*x+c'）

g=f^2+4*f-2

（2）、使用syms函数定义符号变量和符号表达式

一次可以创建任意多个符号变量symsvar1var2var3…

symsabcx

f=a*x^2+b*x+c

g=f^2+4*f-2

（3）、符号方程的生成

函数：

数字和变量组陈的代数式

方程：

函数和等号组成的等式

用sym函数生成符号方程：

equation1=sym（'sin（x）+cos（x）=1'）

2、符号变量的基本操作

（1）、findsym函数用于寻找符号变量

findsym（f）：

找出f表达式中的符号变量

findsym（s,n）：

找出表达式s中n个与x接近的变量

symsaalphabx1y

findsym（alpha+a+b）

findsym（cos（alpha）*b*x1+14*y,2）%x1,y

findsym（y*（4+3i）+6j）

findsym（cos（alpha）*b*x1+14*y,1）%x1

findsym（cos（alpha）*b*x1+14*y,3）%x1,y,b

（2）、任意精确度的符号表达式

digits函数设定所用数值的精度

digits：

在commandwindow显示当前设定的数值精度

digits（D）：

设置数值的精度为D

D=digits：

在commandwindow中返回当前设定数值精度

digits

digits（100）

D=digits

vpa函数进行可控精度运算

R=vpa（S）：

显示符号表达式S在当前精度D下的值，D是使用digits函数设置的数值精度

vpa（S,D）：

显示符号表达式S在精度D下的值，D不是当前精度值，只是临时设置的

r=vpa（pi）

r=vpa（pi,1000）

q=vpa（hilb

（2））

q=vpa（hilb

（2）,6）

（3）、数值型变量与符号型变量的转换形式

数值型变量t转换成符号型变量

有理数形式：

sym（t）或sym（t,’r’）

浮点数形式：

sym（t,’f’）

指数形式：

sym（t,’e’）

指数精度形式：

sym（t,’d’）

t=0.1

sym（t）

sym（t,'r'）

sym（t,'f'）

sym（t,'e'）

sym（t,'d'）

可以通过digits函数改变精度

digits（7）

sym（t,'d'）

也可以用于矩阵，但是矩阵只能转换为有理数形式

A=hilb（4）

A=sym（A）

A=sym（A,'d'）%报错

A=sym（A,'e'）%报错

A=sym（A,'f'）%报错

3、符号表达式（符号函数）的操作

（1）、四则运算（与通常算术式一样）

symsxyab

fun1=sin（x）+cos（y）

fun2=a+b

fun1+fun2

（2）、合并同类项

collect（S,v）：

将符号矩阵S中所有同类项合并，并以v为符号变量输出

collect（S）：

使用findsym函数规定的默认变量，代替上式的v

symsxy

collect（x^2*y+y*x-x^2-2*x）

f=-1/4*x*exp（-2*x）+3/16*exp（-2*x）

collect（f）

（3）、因式分解

horner（P）：

将表达式P进行因式分解

symsx

fun1=2*x^3+2*x^2-32*x+40

horner（fun1）

fun2=x^3-6*x^2+11*x-6

horner（fun2）

（4）、简化

simplify（S）：

将表达式S中的每个元素都进行简化，即便使用多次simplify也不一定能得到最简形式

symsx

fun1=（1/x+7/x^2+12/x+8）^（1/3）

sfy1=simplify（fun1）

sfy2=simplify（sfy1）

simplify（sin（x）^2+cos（x）^2）

simple（S）：

使用多种代数方法对S进行简化，显其中最简单的结果

[R,how]=simple（S）：

R为最简结果，how为简化方法的字符串

s=2*cos（x）^2-sin（x）^2

simple（s）

[Rhow]=simple（s）

simple（f）

（5）、subs函数用于替换求值

subs函数可以将符号表达式的符号变量替换为数值变量

subs（S）：

将S中自由符号变量用调用函数中的值或是MATLAB工作区间值替换

subs（S,new）：

将S中自由符号变量用数值型变量或表达式new替换

subs（S,old,new）：

将S中符号变量old用数值型变量或表达式new替换

symsxy

f=x^2*y+5*x*sqrt（y）

subs（f）

subs（f,x,3）

subs（f,y,3）

subs（f,3）%与subs（f,x,3）结果相同

用户没指定被替换的符号变量，对单个字母的变量，MATLAB选择在字母表中与x接近的字母，若有两个变量离x一样近，则选择字母表中靠后的那个

findsym（f,1）

symsst

g=s+t

findsym（g,1）%找到t

subs（g,1）%替换为s+1

多个变量替换

symsab

subs（cos（a）+sin（b）,{a,b},{sym（'alpha'）,2}）

用矩阵替换

symstxy

subs（exp（a*t）,a,-magic

（2））

subs（x*y,{x,y},{[01;-1-1],[1-1;-21]}）

（6）、反函数

g=finverse（f）：

求函数f的反函数，返回g也是符号函数

g=finverse（f,v）：

设定f的自变量是v，当f包括不止一个变量时最好使用该命令

symsxy

f=x^2+y

finverse（f,y）

finverse（f）%由于没指明自变量，给出警告

symsx

f=x^2

g=finverse（f）%x^2的反函数不唯一，默认给出正值

fg=simple（compose（g,f））%验证反函数正确性

（7）、复合函数

compose（f,g）：

返回f=f（x）,g=g（y）的复合函数f（g（y）），x是findsym定义的f的符号变量，y是findsym定义的g的符号变量

compose（f,g,z）：

返回f=f（x）,g=g（y）的复合函数f（g（z）），返回函数以z为自变量

compose（f,g,x,z）：

返回f（g（z）），x为函数f的独立变量

compose（f,g,x,y,z）：

返回f（g（z）），x为函数f的独立变量，y为函数g的独立变量

symsxyztu

f=1/（1+x^2）

g=sin（y）

h=x^t

p=exp（-y/u）

compose（f,g）

compose（f,g,t）

compose（h,g,x,z）

compose（h,g,t,z）

compose（h,p,x,y,z）

compose（h,p,t,u,z）

符号矩阵的生成和运算

1、符号矩阵的生成

（1）、使用sym函数直接生成符号矩阵

a1=sym（'[1/32/35/7;9/1111/1313/17;17/1919/2323/29]'）

a1=sym（'[1/3,0.2+sqrt

（2）,pi;2/7,sin（x）,cos（x）,log（x）;sin（x）^2,sin（22*x）,exp（x）]'）%长度不一致的行补0

（2）、用生成子矩阵的方法生成符号矩阵

与字符串矩阵的直接输入法类似，同一列元素长度须相同（不同补0）

a=['[100,cos（x）]';'[1/s,x]']

（3）、由数值矩阵转换为符号矩阵

系统首先将自动在MATLAB工作区间将数值型变量转换为符号型变量，用户也可以用sym函数进行转换

M=[30111;6159;98254;3245620]

S=sym（M）

M1=[0.30.330.3331/3;3.143.1423.1416pi;log

（2）log（3）log（5）log（7）;sin

（1）cos

（1）tan

（1）atan

（1）]

S1=sym（M1）

2、符号矩阵及符号数组的运算

（1）、符号矩阵的四则运算

A+B和A-B同型矩阵可以分别对对应分量进行加减，若A与B至少有一个为标量，则把标量扩大为与另一个同型的阵列

A*B为线性代数中定义的矩阵乘法

A\B实现左除，X=A\B为符号线性方程组A*X=B的解，A\B近似等于inv（A）*B，X不存在或不唯一，则产生警告，A可以是非方阵，要求方程组必须是相容的

A/B实现右除，X=B/A为符号线性方程组X*A=B的解，B/A近似等于B*inv（A），X不存在或不唯一，则产生警告，A可以是非方阵，要求方程组必须是相容的

m=sym（'[x,x^2,x*2,1/x]'）

n=sym（'[2*x,y,x,x^2]'）

m+n

m-n

m*n%出错

m\n

m/n%出错

（2）、符号数组的四则运算

若有标量，则扩展为同型阵列

.*乘法

./右除

.\左除

q=sym（'[3496;xyzw;abcd]'）

p=sym（'[x1/xx^2x^3;abcd;5236]'）

q.*p

q./p

q.\p

r=q*p%矩阵行列不匹配，出错

（3）、矩阵和数组的逆运算

A’实现矩阵的Hermition转置，若A为复数矩阵，则A’为共轭转置

q=sym（'[3496;xyzw;abcd]'）

q'%符号变量具体值不知，只能用conj给出

q.'%普通转置

（4）、矩阵和数组的幂运算

A^B实现矩阵幂运算，若A为标量B为方阵，A^B用方阵B的特征值与特征向量计算数值。

若A、B均为矩阵，则返回错误

A.^B实现数组幂运算，若A与B为同型矩阵，则按对应分量进行计算。

若A与B中至少有一个为标量，则现将标量扩大为另一个同型的阵列

p=sym（'[x1/xx^2x^3;abcd;5236]'）

q=sym（'[3496;xyzw;abcd;1357]'）

q^2

p^2%p矩阵不为方阵，报错

q.^2

p.^2

（5）、符号矩阵的秩

rank（A）：

求出方阵A的线性不相关的独立行和列的个数

rank（A,tol）：

求出比tol值大的值的个数，在上个命令中默认tol=max（size（A））*norm（A）*eps

a=sym（'[11/xx^2;xin（x）cos（x）tan（x）;log（x）29]'）

rank（a）

（6）、符号矩阵的逆和行列式运算

inv（X）：

求方阵X的逆，当X奇异或者范数很小时，系统给出一个出错信息

det（X）：

求方阵X的行列式

h=sym（hilb（4））

inv（h）

det（h）

b=sym（'[1xx^2;00sin（x）;00log（x）]'）

inv（b）%b矩阵行列式为0，不存在逆，返回FAIL

b=sym（'[1,x;x;x^2]'）

inv（b）%矩阵不是方阵，报错

符号微积分

1、符号极限

limit（F,x,a）：

计算符号表达式当x趋于a时F=F（x）的极限值

limit（F,a）：

x默认为findsym（F）

limit（F）：

a默认为0

limit（F,x,a,’right’）或Limit（F,x,a,’left’）：

计算右极限和左极限

limit（sin（x）/x）

limit（（x-2）/（x^2-4）,2）

limit（（1-2*1/x）^（3*x）,x,inf）

limit（1/x,x,0,'left'）

limit（1/x,x,0,'right'）

limit（（sin（x+h）-sin（x））/h,h,0）

2、符号微分和求导

（1）、diff函数的使用

diff（x）：

根据findsym（x）命令返回的自变量v，求表达式x的一阶导数

diff（x,n）：

根据findsym（x）命令返回的自变量v，求表达式x的n阶导数

diff（x,’v’）或diff（x,sym（‘v’））：

对v求x的一阶导数

diff（x,‘v’,n）：

对v求x的n阶导数

symsxy

diff（x^3+3*x^2+2*x+5）

diff（sin（x^3）,6）

diff（sin（x^3）,'x',6）

diff（sin（x^3）,'v',6）%对v求x的6阶导数，结果为0

diff（x*y+y^2+sin（x）+cos（y）,y）

diff（x*y+y^2+sin（x）+cos（y）,y,3）

（2）、jacobian函数的使用

jacobian（f,v）：

计算数量或向量f对向量v的jacobi矩阵，所得矩阵的第i行第j列的数是df（i）/dv（j），当f为数量的时候，该命令返回的是f的梯度，若此时v也是数量，则jacobian（f,v）等价于diff（f,v）

symsxyz

a=[x^2+x*y;sin（x）*cos（y）]

jacobian（a,[x,y]）

3、符号积分

int（S）：

根据由findsym（S）命令返回的自变量v，求S的不定积分，其中S为符号矩阵或符号数量

int（S,v）：

求S对v的不定积分

int（S,a,b）：

求a到b的定积分

int（S,v,a,b）：

求a到b的定积分

symsxx1alphaut;

A=[cos（x*t）sin（x*t）;-sin（x*t）cos（x*t）]

int（1/（1+x^2））

int（sin（alpha*u）,alpha）

int（besselj（1,x）,x）

int（x1*log（1+x1）,0,1）

int（4*x*t,x,2,sin（t））

int（[exp（t）exp（alpha*t）]）

int（A,t）

符号积分变换

1、Fourier变换及其逆变换

（1）、Fourier变换

F=fourier（f）：

以x为默认独立变量，返回w的函数，若f是w的函数，则返回的F是t的函数

F=fourier（f,v）：

返回的F以v为自变量

fourier（f,u,v）：

返回的函数以v为自变量，f以u为自变量

fourier（1/t）

fourier（exp（-x^2）,x,t）

fourier（exp（-t）*sym（'Heaviside（t）'）,v）

fourier（diff（sym（'F（x）'））,x,w）

（2）、Fourier反变换

f=ifourier（F）：

以w为默认独立变量，默认的返回函数是以x为自变量的函数，若F以x为变量，返回函数以t为自变量

f=ifourier（F,u）：

返回的函数f以u为自变量

f=ifourier（F,v,u）：

返回的函数f以u为自变量，F以v为自变量

symstuvwx

ifourier（w*exp（-3*w）*sym（'Heaviside（w）'））

ifourier（1/（1+w^2）,u）

ifourier（v/（1+w^2）,v,u）

ifourier（sym（'fourier（f（x）,x,w）'）,w,x）

2、Laplace变换及其逆变换

（1）、Laplace变换

L=laplace（F）：

F以t为独立自变量，返回函数L以s为变量，若F以s为自变量，则L以t为自变量

L=laplace（F,t）：

返回函数以t为自变量

L-laplace（F,w,z）：

返回函数L以z为自变量，F以w为自变量

symsastwx

laplace（t^5）

laplace（exp（a*s））

laplace（sin（w*x）,t）

laplace（cos（w*x）,w,t）

laplace（x^sym（3/2）,t）

laplace（diff（sym（'F（t）'）））

（2）、Laplace反变换

F=ilaplace（L）：

L以s为独立自变量，返回函数以t为自变量，若L以t为自变量，返回函数以x为自变量

F=ilaplace（L,x）：

返回函数以x为自变量

F=ilaplace（L,y,x）：

返回函数以x为自变量，L以y为自变量

symsstwxy

ilaplace（1/（s-1））

ilaplace（1/（t^2-1））

ilaplace（t^sym（5/2）,x）

ilaplace（y/（y^2+w^2）,y,x）

ilaplace（sym（'laplace（F（x）,x,s）'）,s,x）

3、Z变换及其反变换

（1）、Z变换

F=ztrans（f）：

返回函数以z为自变量，f以n为独立自变量，若f以z为自变量，返回函数以w为自变量

F=ztrans（f,w）

F=ztrans（f,k,w）

symsknwz

ztrans（2^n）

ztrans（sin（k*n）,w）

ztrans（cos（k*n）,k,z）

ztrans（cos（k*n）,n,w）

ztrans（sym（'f（n+1）'））

（2）、Z反变换

f=iztrans（F）：

F以z为独立自变量，f以n为自变量，若F以n为自变量，f以k为自变量

f=iztrans（F,k）

f=iztrans（F,w,k）

symsxzk

iztrans（z/（z-2））

iztrans（exp（x/z）,z,k）

符号代数方程的求解

1、符号线性方程组的求解

X=linsolve（A,B）：

求解AX=B的解

a=rand（4）

b=[1;2;3;4]

linsolve（a,b）

2、符号非线性方程组的求解

F（X）=0

X=fsolve（fun,X0）：

以X0为初始矩阵来求解方程fun，fun接受输入并返回一个向量，使得F=fun（X）

%求解方程组

%3*x

（1）^2-x

（2）^2=0

%3*x

（1）*x

（2）^2-x

（1）^2-1=0

建立myfun2.m文件

functiony=myfun2（x）

y

（1）=3*x

（1）^2-x

（2）^2;

y

（2）=3*x

（1）*x

（2）^2-x

（1）^2-1;

运行代码

x=[0.80.4]

x=fsolve（'myfun2',x）

3、一般符号代数方程组的求解

solve（‘eqn1’,’eqn2’,…,’eqnN’）

solve（‘eqn1’,’eqn2’,…,’eqnN’,’var1,var2,…,varN’）

solve（‘eqn1’,’eqn2’,…,’eqnN’,’var1’,’var2’,…,’varN’）

eqns是一些具体方程的符号表达式或字符串，而vars是一些未知的符号变量或未知额的字符串

solve（'p*sin（x）=r'）

[xy]=solve（'x^2+x*y+y=3','x^2-4*x+3=0'）

S=solve（'x^2*y^2-2*x-1=0','x^2-y^2-1=0'）%S是一个结构体

[uv]=solve（'a*u^2+v^2=0','u-v=1'）%a被作为参数求解关于u和v的方程组

S=solve（'a*u^2+v^2=0','u-v=1','a,u'）%v作为参数

[auv]=solve（'a*u^2+v^2=0','u-v=1','a^2-5*a+6'）

[xy]=solve（'sin（x+y）-exp（x）*y=0','x^2-y=2'）%系统无法给出符号解，只给出数值解

符号微分方程的求解

dsolve（‘eqn1’,’eqn2’,’eqn3’,…）：

求符号解，初始条件，边界条件也可以算作eqns，默认输出函数的自变量为t，D表示对x一阶微分，D2表示对x二阶微分，以此类推

dsolve（'Dx=-a*x'）

x=dsolve（'Dx=-a*x','x（0）=1','s'）

dsolve（'D2y=-a^2*y','y（0）=1,Dy（pi/a）=0'）

图示化符号函数计算器

1、单变量符号函数计算器

使用funtool函数来调用图示化单变量符号函数计算器

（1）、输入框功能

f=显示代表函数f的符号表达式，按Enter显示图像（图形窗口1）

g=显示代表函数g的符号表达式，按Enter显示图像（图形窗口2）

x=显示用于函数f与g的绘制区间，按Enter改变图像

a=显示一个用于改变函数f的常量因子

（2）、控制按钮的功能

运算操作按钮的功能

df/dx：

函数f的导数

intf：

函数f的积分

simplef：

化简函数f

numf：

函数f的分子

denf：

函数f的分母

1/f：

函数f的倒数

finv：

函数f的反函数

f+a：

用f（x）+a代替函数f（x）

f-a：

用f（x）-a代替函数f（x）

f*a：

用f（x）*a代替函数f（x）

f/a：

用f（x）/a代替函数f（x）

f^a：

用f（x）^a代替函数f（x）

f（x+a）：

用f（x+a）代替函数f（x）

f（x*a）：

用f（x*a）代替函数f（x）

f+g：

用f（x）+g（x）代替函数f（x）

f-g：

用f（x）-g（x）代替函数f（x）

f*g：

用f（x）*g（x）代替函数f（x）

f/g：

用f（x）/g（x）代替函数f（x）

g=f:

f*g：

用f（x）代替函数g（x）

swap：

函数f（x）与g（x）互换

系统操作按钮的功能

Insert；将函数f（x）保存到函数内存列表中的最后

Cycle：

用内存函数列表中的第二项代替函数f（x）

Delete：

从内存函数列表中删除函数f（x）

Reset：

重新设计计算器为初始状态

Help：

显示在线的关于计算器的帮助

Demo：

运行该计算器的演示程序

Close：

关闭计算器的三个窗口

2、泰勒级数逼近计算器

使用taylortool函数来调用图示化泰勒级数逼近计算器

绘制函数f的前N阶泰勒级数

利用Maple的深层符号计算资源

MATLAB2010a已经不再支持maple内核