届江苏省南通市高三第二次调研测试 数学试题及答.docx
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届江苏省南通市高三第二次调研测试数学试题及答
南通市2018届高三第二次调研测试
数学学科参考答案及评分建议
一、填空题:
本大题共14小题,每小题5分,共70分.请把答案直接填写在答题卡相应位置上.
1.命题“
,
”的否定是“▲”.
【答案】
,
2.设
(
为虚数单位,
,
),则
的值为▲.
【答案】0
3.设集合
,
,则
▲.
【答案】
4.执行如图所示的伪代码,则输出的结果为▲.
【答案】11
5.一种水稻试验品种连续5年的平均单位面积产量(单位:
t/hm2)
如下:
9.8,9.9,10.1,10,10.2,则该组数据的方差为▲.
【答案】0.02
6.若函数
的图象与
轴相邻两个交点间的距离为2,则实数
的值
为▲.
【答案】
7.在平面直角坐标系
中,若曲线
在
(
为自然对数的底数)处的切线与直线
垂直,则实数
的值为▲.
【答案】
8.如图,在长方体
中,
3cm,
2cm,
1cm,则三棱锥
的体积为▲cm3.
【答案】1
9.已知等差数列
的首项为4,公差为2,前
项和为
.
若
(
),则
的值为▲.
【答案】7
10.设
(
)是
上的单调增函数,则
的值为▲.
【答案】6
11.在平行四边形
中,
,则线段
的长为▲.
【答案】
12.如图,在△ABC中,
,
,
,点
在边
上,
45°,则
的值为▲.
【答案】
13.设
,
,
均为大于1的实数,且
为
和
的等比中项,则
的最小值为▲.
【答案】
14.在平面直角坐标系
中,圆
:
,圆
:
.
若圆
上存在一点
,使得过点
可作一条射线与圆
依次交于点
,
,满足
,
则半径r的取值范围是▲.
【答案】
二、解答题:
本大题共6小题,共90分.请在答题卡指定区域内作答.解答时应写出文字说明、证
明过程或演算步骤.
15.(本小题满分14分)
如图,在四面体
中,平面
平面
,
90°.
,
,
分别为棱
,
,
的中点.
(1)求证:
平面
;
(2)求证:
平面
平面
.
证明:
(1)因为
,
分别为棱
,
的中点,
所以
,……2分
又
平面
,
平面
,
故
平面
.……6分
(2)因为
,
分别为棱
,
的中点,所以
,
又
°,故
.……8分
因为平面
平面
,平面
平面
,且
平面
,
所以
平面
.……11分
又
平面
,
平面
平面
.……14分
(注:
若使用真命题“如果两条平行线中的一条垂直于一个平面,那么另一条也垂直于这个平面”证明“
平面
”,扣1分.)
16.(本小题满分14分)
体育测试成绩分为四个等级:
优、良、中、不及格.某班50名学生参加测试的结果如下:
等级
优
良
中
不及格
人数
5
19
23
3
(1)从该班任意抽取1名学生,求这名学生的测试成绩为“良”或“中”的概率;
(2)测试成绩为“优”的3名男生记为
,
,
,2名女生记为
,
.现从这5人中
任选2人参加学校的某项体育比赛.
①写出所有等可能的基本事件;
②求参赛学生中恰有1名女生的概率.
解:
(1)记“测试成绩为良或中”为事件
,“测试成绩为良”为事件
,“测试成绩为中”
为事件
,事件
,
是互斥的. ……2分
由已知,有
. ……4分
因为当事件
,
之一发生时,事件
发生,
所以由互斥事件的概率公式,得
. ……6分
(2)①有10个基本事件:
,
,
,
,
,
,
,
,
,
.……9分
②记“参赛学生中恰好有1名女生”为事件
.在上述等可能的10个基本事件中,
事件
包含了
,
,
,
,
,
.
故所求的概率为
.
答:
(1)这名学生的测试成绩为“良”或“中”的概率为
;
(2)参赛学生中恰有1名女生的概率为
. ……14分
(注:
不指明互斥事件扣1分;不记事件扣1分,不重复扣分;不答扣1分.事件
包含的6种基本事件不枚举、运算结果未化简本次阅卷不扣分.)
17.(本小题满分14分)
在平面直角坐标系
中,已知向量
(1,0),
(0,2).设向量
(
)
,
,其中
.
(1)若
,
,求x
y的值;
(2)若x
y,求实数
的最大值,并求取最大值时
的值.
解:
(1)(方法1)当
,
时,
,
(
),……2分
则
.……6分
(方法2)依题意,
,……2分
则
.……6分
(2)依题意,
,
,
因为x
y,
所以
,
整理得,
,……9分
令
,
则
.……11分
令
,得
或
,
又
,故
.
0
↘
极小值
↗
列表:
故当
时,
,此时实数
取最大值
.……14分
(注:
第
(2)小问中,得到
,
,及
与
的等式,各1分.)
18.(本小题满分16分)
如图,在平面直角坐标系
中,椭圆
的左顶点为
,右焦点为
.
为椭圆上一点,且
.
(1)若
,
,求
的值;
(2)若
,求椭圆的离心率;
(3)求证:
以
为圆心,
为半径的圆与椭圆的
右准线
相切.
解:
(1)因为
,
,所以
,即
,
由
得,
,即
……3分
又
,
所以
,解得
或
(舍去).……5分
(2)当
时,
,
由
得,
,即
,故
,……8分
所以
,解得
(负值已舍).……10分
(3)依题意,椭圆右焦点到直线
的距离为
,且
,①
由
得,
即
②
由①②得,
,
解得
或
(舍去).……13分
所以
,
所以以
为圆心,
为半径的圆与右准线
相切.……16分
(注:
第
(2)小问中,得到椭圆右焦点到直线
的距离为
,得1分;直接使用焦半
径公式扣1分.)
19.(本小题满分16分)
设
,函数
.
(1)若
为奇函数,求
的值;
(2)若对任意的
,
恒成立,求
的取值范围;
(3)当
时,求函数
零点的个数.
解:
(1)若
为奇函数,则
,
令
得,
,即
,
所以
,此时
为奇函数.……4分
(2)因为对任意的
,
恒成立,所以
.
当
时,对任意的
,
恒成立,所以
;……6分
当
时,易得
在
上是单调增函数,在
上
是单调减函数,在
上是单调增函数,
当
时,
,解得
,所以
;
当
时,
,解得
,所以a不存在;
当
时,
,解得
,
所以
;
综上得,
或
.……10分
(3)设
,
令
则
,
,
第一步,令
,
所以,当
时,
,判别式
,
解得
,
;
当
时,由
得,即
,
解得
;
第二步,易得
,且
,
1若
,其中
,
当
时,
,记
,因为对称轴
,
,且
,所以方程
有2个不同的实根;
当
时,
,记
,因为对称轴
,
,且
,所以方程
有1个实根,
从而方程
有3个不同的实根;
②若
,其中
,
由①知,方程
有3个不同的实根;
③若
,
当
时,
,记
,因为对称轴
,
,且
,所以方程
有1个实根;
当
时,
,记
,因为对称轴
,
,且
,
,……14分
记
,则
,
故
为
上增函数,且
,
,
所以
有唯一解,不妨记为
,且
,
若
,即
,方程
有0个实根;
若
,即
,方程
有1个实根;
若
,即
,方程
有2个实根,
所以,当
时,方程
有1个实根;
当
时,方程
有2个实根;
当
时,方程
有3个实根.
综上,当
时,函数
的零点个数为7;
当
时,函数
的零点个数为8;
当
时,函数
的零点个数为9.……16分
(注:
第
(1)小问中,求得
后不验证
为奇函数,不扣分;第
(2)小问中利用分离参数法参照参考答案给分;第(3)小问中使用数形结合,但缺少代数过程的只给结果分.)
20.(本小题满分16分)
设
是公差为
的等差数列,
是公比为
(
)的等比数列.记
.
(1)求证:
数列
为等比数列;
(2)已知数列
的前4项分别为4,10,19,34.
①求数列
和
的通项公式;
②是否存在元素均为正整数的集合
,
,…,
(
,
),使得数列
,
,…,
为等差数列?
证明你的结论.
解:
(1)证明:
依题意,
,……3分
从而
,又
,
所以
是首项为
,公比为
的等比数列.……5分
(2)①法1:
由
(1)得,等比数列
的前3项为
,
,
,
则
,
解得
,从而
,……7分
且
解得
,
,
所以
,
.……10分
法2:
依题意,得
……7分
消去
,得
消去
,得
消去
,得
,
从而可解得,
,
,
,
所以
,
.……10分
②假设存在满足题意的集合
,不妨设
,
,
,
,且
,
,
,
成等差数列,
则
,
因为
,所以
,①
若
,则
,
结合①得,
,
化简得,
,②
因为
,
,不难知
,这与②矛盾,
所以只能
,
同理,
,
所以
,
,
为数列
的连续三项,从而
,
即
,
故
,只能
,这与
矛盾,
所以假设不成立,从而不存在满足题意的集合
.……16分
(注:
第
(2)小问②中,在正确解答①的基础上,写出结论“不存在”,就给1分.)
南通市2018届高三第二次调研测试
数学Ⅱ(附加题)
A.[选修4-1:
几何证明选讲](本小题满分10分)
如图,从圆
外一点
引圆的切线
及割线
,
为切点.
求证:
.
证明:
因为PC为圆
的切线,
所以
,……3分
又
,
故△
∽△
,……7分
所以
,
即
.……10分
B.[选修4-2:
矩阵与变换](本小题满分10分)
设
是矩阵
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- 届江苏省南通市高三第二次调研测试 数学试题及答 江苏省 南通市 第二次 调研 测试 数学试题