北大版高等数学第四章 微分中值定理与泰勒公式答案 第四章总练.docx
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北大版高等数学第四章微分中值定理与泰勒公式答案第四章总练
18.设函数f(x)在(-∞,+∞)内可导,且a,b是方程f(x)=0的两个实根.证明方程f(x)+f'(x)=0在(a,b)内至少有一个实根.
证设g(x)=ef(x),g(a)=g(b)=0,g在[a,b]连续,在(a,b)可导),.
x
根据Rolle定理,存在c∈(a,b),使得g'(x)=e(f(x)+f'(x))=0,即f(x)+f'(x)=0.
x
19.决定常数A的范围,使方程3x-8x-6x+24x+A有四个不相等的实根.解P(x)=3x-8x-6x+24x,P'(x)=12x-24x-12x+24
=12(x-2x-x+2)=12[x(x-2)-(x-2)]=12(x-2)(x-1)=12(x-2)(x-1)(x+1)=0,.
x1=-1,x2=1,x3=2.P(x1)=-19,P
(1)=13,P
(2)=8.
根据这些数据画图,由图易知当在区间(-P
(1),-P
(2))=(-13,-8)时3x-8x-6x+24x+A有四个不相等的实根.
4
3
2
3
2
2
2
4
3
2
3
2
432
20.设f(x)=1-x+
x
2
2
-
x
3
3
++(-1)
n
x
n
n
.证明:
方程f(x)=0当n为奇数时有一个
实根,当n为偶数时无实根.
证当x≤0时f(x)>0,故f只有正根,当n=2k-1为奇数时,limf(x)=+∞,
x→-∞
limf(x)=-∞,存在a,b,a0,f(b)<0.
x→+∞
根据连续函数的中间值定理,存在x0∈(a,b),使得f(x0)=0.f'(x)=-1+x-x+-x实根唯一.
当n=2k为偶数时,f'(x)=-1+x-x++x
2
2k-1
2
2k-2
=
x
2k-1
+1
-x-1
<0(x>0),当x>0时,f严格单调递减,故
=
-x
2k
+1
-x-1
=0,x=1.
0
(1)是x>0时的最小值,f
(1)>0,故当n为偶数时f(x)无实根.
21.设函数u(x)与v(x)以及它们的导函数u'(x)与v'(x)在区间[a,b]上都连续,且uv'-u'v在[a,b]上恒不等于零.证明u(x)在v(x)的相邻根之间必有一根,反之也对.即有u(x)与v(x)的根互相交错地出现.试句举处满足上述条件的u(x)与
v(x).
证设x1,x2是u(x)的在[a,b]的两个根,x1 u'v-uv'v uv 在[a,b]连续,w(x1)=w(x2)=0,由Rolle定理,存在c∈[x1,x2],使得 (c)=0,即(u'v-uv')(c)=0,此与u'v-uv'恒不等于零的假设矛盾.故v(x) 在[x1,x2]上有根. 例如u=cos(x),v=sinx,u'v-uv'=-1≠0,sinxcosx的根交错出 现. 22.证明: 当x>0时函数f(x)= arctanxtanhx 单调'递增,且arctanx< π (tanhx). tanhxarctanx -2'22sinhxcoshx-(1+x)arctanx⎛arctanx⎫证f'(x)==⎪=2222 tanhxtanhx(1+x)tanhxcoshx⎝⎭1=sinh2x-(1+x)arctanx(1+x)tanhxcoshx = g(x) (1+x)tanhxcoshx . g(0)=0. g'(x)=cosh2x-1-2xarctanx,g'(0)=0,g''(x)=2sinh2x-2arctanx-g'''(x)=4cosh2x- 41+x 2x1+x g''(0)=0, 21+x+ 22 -2⨯ (1+x)-2x(1+x) =4cosh2x- 21+x - 2(1-x)1+x =4cosh2x- 4x 1+x >0(当x>0时coshx>1), 由Taylor公式,对于x>0有g(x)= g(θx)3! 3 x>0,f'(x)>0,f严格单调递增. < limf(x)=lim x→+∞ x→+∞ arctanxtanhx = π 故对于x>0有 arctanxtanhx π . 23.证明: 当0 2时有2xsinx 22f'(x)=cosxtanx+sinxsecx-2x=sinx+sinxsecx-2x, 22f''(x)=cosx+secx+2sinxsecxtanx-2=(cosx+secx-2)+2sinxsecx-2>0 (cosx+secx=cosx+1 cosx≥2,x∈(0,π/2)). f(0)=f'(0)=0,根据Taylor公式, f(x)=f''(θx) 2x>0,sinxtanx-x>0,22x sinx x(x∈(0,π/2)). 24.证明下列不等式: (1)e>1+x,x≠0. (2)x- (3)x-xx2x23 eθx6 x证 (1)e=1+x+ (2)ln(1+x)=x- x22x>1+x,x≠0.1x +12ln(1+x)=x-23(1+θx)3x>x-32,x>0. (3)f(x)=x-sinx,f(0)=0,f'(x)=1-cosx≥0,仅当x=2nπ时f'(x)=0,故当x>0时f严格单调递增,f(x)>f(0)=0,x>0. ⎛x⎫g(x)=sinx-x-⎪,6⎭⎝ ⎛x⎫g'(x)=cosx-1-⎪,g''(x)=-sinx+x>0,x>0.g当x>0时2⎝⎭ 严格单调递增,g(x)>g(0)=0,x>0. 25.设xn=(1+q)(1+q)(1+q),其中常数q∈[0,1).证明序列xn有极限. nn2n23 证xn单调递增.lnxn= q lnxn∑i=1ln(1+q) ︒xn=e 22224解f'(x)=secx,f''(x)=2secxtanx,f'''(x)=4secxtanx+2secx. f(π 4)=1,f'(π 4)=2,f''(π 4)=4,f'''(π 4)=16. ⎛⎛π⎫π⎫8⎛π⎫π⎫⎫⎛⎛ f(x)=1+2x-⎪+2x-⎪+x-⎪+ox-⎪⎪. ⎝4⎭4⎭3⎝4⎭4⎭⎪⎝⎝⎝⎭ 233 π⎫π8⎛π⎫⎛π⎛π⎫︒ tan(50)=tan+≈1+2⨯+2+⎪⎪⎪≈1.191536480. 4363636336⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 27.设00上凸,(1+a)(1+a+b) ln(1+a)+ (1+b)(1+a+b) ln(1+b)11+x f''(x)=- 1(1+x) 2 23 <0, ⎛(1+a)a(1+b)b⎫
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