第一章质点运动学课后习题解答.docx
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第一章质点运动学课后习题解答
第一章质点运动学
1-1.质点的曲线运动中,下列各式表示什么物理量?
解:
解:
第二种方法正确
23
1-3.已知质点沿x轴作直线运动,其运动方程为x=2•6t-2t,式中x的单位为m,t的
单位为s.求:
(1)质点在运动开始后4.0s内的位移的大小;
(2)质点在该时间内所通过的路程;
(3)t=4s时质点的速度和加速度.
—Ax2T
tAx二厂也£f
1—'x/m
-30Q210
解:
(1)质点在4.0s内位移的大小
Ax=x4-冷--32m
丄dx小
(2)由0
dt
得知质点的换向时刻为
tp=2s(t=0不合题意)
^x2=x4-x2=-40m
所以,质点在4.0s时间间隔内的路程为
(3)t=4.0s时
■sJ
dx
v=
dtt¥.os
1-4.质点的运动方程为
x=—10t30t2
y=15t-20t2
式中x,y的单位为m,t的单位为s.
解
(1)速度的分量式为
设V0与x轴的夹角为a,则
(2)加速度的分量式为
a=123°41'
则加速度的大小为
■■22_2
a=axay72.1ms
设a与x轴的夹角为3,则
3=-33°41'(或326°19')
1-5
.一质点的运动学方程为
22
x=t,y=t-1(S1)。
试求:
(1)质点的轨迹方程:
⑵在t=2s
时,质点的速度和加速度。
解
(1)由质点的运动方程
x=t2
(1)
y=(t—1)
(2)
消去参数t,可得质点的轨迹方程
.y二x-1
(2)由
(1)、
(2)对时间t求一阶导数和二阶导数可得任一时刻质点的速度和加速度
dxdy
Vx2tVy21-1
dtdt
所以
v二VxiVyj=2ti2t-1j(3)
d2xd2y
ax~—2ay22
dtdt
所以
a=2i2j(4)
把t=2s代入式(3)、(4),可得该时刻质点的速度和加速度。
v=4i2ja=2i2j
1-6.已知运动函数为r=RcostPRsin「t?
(R,3为常量),求质点的速度、加速度、切
向加速度和法向加速度。
亠-I亠
解:
速度:
v=一r--R-sint?
R■cost?
dt
速度大小:
v=R•
—a.—a.
加速度:
av--Rsin;:
;ti?
-R,cost?
dt
加速度大小:
a=R2
切向加速度:
a〒=Qv=O;法向加速度:
a*=Ja2_a:
=Rt:
>2
”dt'•
1-7.质点沿半径为1m的圆周运动,运动方程为日=2+3t‘(SI).求:
⑴t=2s时,质
点的切向加速度和法向加速度.⑵当加速度的方向和半径成45°角时,角位移是多少?
解:
质点运动的角速度和角加速度分别为:
dr2
9t2dt
d-
18tdt
切向加速度:
a=dV=「:
=118t=18tdt
2224
a*二r1(9t)81t
a^81t=8124=1296m/s2
⑵加速度的方向和半径成45°时,即a=an
4
81t=18t
此时角位移
33
八23t=23t=2.67rad
1-8.飞轮半径为0.4m,自静止启动,其角加速度为3=0.2rad•S,,求t=2s时边缘
上各点的速度、法向加速度、切向加速度和合加速度.
解:
当t=2s时,用二%=0.22=0.4「ads」
则v=R=0.40.4=0.16ms」
an=R2=0.4(0.4)^0.064m孑
a二r1:
=0.40.2=0.08ms』
apa;a2二..(0.064)2(0.08)^0.102ms'
投到前方某一地面目标处,问:
(1)此时目标在飞机正下方位置的前面多远?
(2)投
放物品时,驾驶员看目标的视线和水平线成何角度?
(3)物品投出2.0s后,它的法向
加速度和切向加速度各为多少?
2
Tx
、
决!
^7/////////
解:
(1)取如图所示的坐标,物品下落时在水平和竖直方向的运动方程分别为
2
x=vt,y=1/2gt
飞机水平飞行速度v=100m-s-1,飞机离地面的高度y=100m,由上述两式可得目标在飞机
正下方前的距离
2y
x=v452m
飞g
(2)视线和水平线的夹角为
B二arctany=12.5°
x
(3)在任意时刻物品的速度与水平轴的夹角为
Vygt
aarctanarctan一
Vxv
取自然坐标,物品在抛出2s时,重力加速度的切向分量与法向分量分别为
4=gsinagsinarcta门笑]=1.88ms'
'、、v丿
1-10一质点沿半径为0.10m的圆周运动,其角位置(以弧度表示)可用公式表示:
0=2+4t3•求:
(1)t=2s时,它的法向加速度和切向加速度;
(2)当切向加速度恰为总加速度大小的一半时,0为何值?
(3)在哪一时刻,切向加速度和法向加速度恰有相等的值?
解:
(1)角速度为3=d9/dt=12t2=48(rads、,
法向加速度为an=r3=230.4(ms-2);
角加速度为3=d3/dt=24t=48(rads-2),
切向加速度为at=r34.8(ms-2)•
(2)总加速度为a=(at2+an2)1/2,
当at=a/2时,有4at2=at2+an2,即卩an=at3.
由此得「,2二…3,即(12t2)2=24t-.,3,
解得t3二3/6.
所以v-24t3=2(1、、3/3)=3.154(rad).
(3)当at=an时,可得r3=r3,即:
24t=(12t2)2,解得:
t=(1/6)1/3=0.55(s).
1-11.一物体沿x轴运动,其加速度与位置的关系为a=2+6x。
物体在x=0处的速度为10ms,
求物体的速度与位置的关系。
vdv=adx
cFoo
故物体的速度与位置的关系为
v=6x24x100
1-12.一质点在平面内运动,其加速度a=axiayj,且ax,ay为常量。
⑴求v_t和r「t
的表达式;
(2)证明质点的轨迹为一抛物线t=0时,r=r0,v=vo。
解:
由a二dV得
dt
vt
v=adt两边积分得,二oadt
因ax,ay为常量,所以a是常矢量,上式变为v_v°=at即v=v°at
dr
由v=得dr=vdt=v0atdt
dt
rt
两边积分,并考虑到v0和a是常矢量,』r二ov0atdt
1
即r=rovotat2
(2)为了证明过程简单起见,按下列方式选取坐标系,使一个坐标轴(如x轴)与a平行,
并使质点在t=0时刻位于坐标原点。
这样x=Gt-axt2⑴
2
ypt
(2)
由前面推导过程知G=v0xG=v0y(3)
联立
(1)~(3)式,消去参数t得
2
V0x
2ax
此即为轨道方程,它为一条抛物线。
1-13.在重力和空气阻力的作用下,某物体下落的加速度为a=g-Bv,g为重力加速度,B
为与物体的质量、形状及媒质有关的常数。
设t=0时物体的初速度为零。
(1)试求物体的
速度随时间变化的关系式;
(2)当加速度为零时的速度(称为收尾速度)值为多大?
解:
(1)由a=dv/dt得一也dt
g—Bv
两边积分,得—dVdt
,g_Bv■
即In(g-Bv)=-BtInc
由t=0时v=0得c=g
g一少、
v(1_e_)
B
⑵当a=0时有a=g-Bv=0
由此得收尾速率v=g/B
1-14一物体悬挂于弹簧上沿竖直方向做谐振动,其加速度a=-ky,k为常数,y是离开
又a=-ky
分离变量
vdv=
=-kydy,
积分
v
vvdv
y
二,y(-ky)dy
y0
所以v2
2
=v0-
k(y2-y。
2)。
2
1-15火车在曲率半径R=400m的圆弧轨道上行驶。
已知火车的切向加速度q=0.2m/s2,
求火车的瞬时速率为10m/s时的法向加速度和加速度。
加速度大小a二..an2at2二0.2520.22=0.32m/s2
—arctan%二arctan025at0.2
1-16一物体做如附图所示的抛体运动,测得轨道上A点处,速度的大小为V,其方向与水
平线的夹角为30,求点A的切向加速度和该处的曲率半径。
解:
a=_gsin30=-0.5g
爲V2
=gcos30-g,『=一
2an
1-17一火炮在原点处以仰角哥=30、初速v10=100m/s发射一枚炮弹。
另有一门位于
x0=60m处的火炮同时以初速v20=80m/s发射另一枚炮弹,其仰角屯为何值时,能与第
一枚炮弹在空中相碰?
相碰时间和位置如何(忽略空气阻力的影响)?
解:
建立如图坐标,设经过时间t在x处两只
时有:
弹1:
X=cos^t
(1)
y二VgSin^t--2gt2
(2)
弹2:
x=怡v20cos;2t
(3)
y=v20sin-丄gt2
2
(4)
由
(1)
(2)(3)(4),解得:
sin1=
5
广-38.682
8
或者
v-141.32t=0.403s
x二34.87m
炮弹相碰,分别讨论两炮弹的抛体运动,相遇
,t=2.48s,x二214.7m,y二93.86m
y=19.34m。
(答案里少这种情况)
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