初中上趣味课堂有理数.docx
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初中上趣味课堂有理数
第三讲:
有理数(三)
【说百者输】
学生每两个人一组,第一个学生说一个在0到10之间的数字,然后两个学生轮流说数字,每次说的数字要比前一个人说的大,但差值不能超过10,最后,谁说到一百就为输,输的人要接受惩罚。
1.理解掌握有理数有关概念,有理数的运算法则、运算律、运算顺序以及近似数、科学计数法等有关知识;
2.培养学生综合运用知识解决问题的能力;
3.渗透数形结合的思想。
1、正数与负数:
①正数大于0,0大于负数,正数大于负数②实际中表示意义相反的量③带“-”号的数并不都是负数
2.有理数的分类
(1)按定义分类
(2)按性质分类
正整数正整数
整数0正有理数
负整数正分数
有理数有理数0
正分数负整数
分数负有理数
负分数负分数
3、数轴
原点
①三要素正方向
单位长度
②如何画数轴
③数轴上的点与有理数的关系
4、相反数
①只有符号不同的两个数,互为相反数。
0的相反数是0
②a的相反数-a
③a与b互为相反数a+b=0
5、绝对值
①一般地,数轴上表示数a的点与原点距离,表示成|a|。
a(a≥0)
②|a|=(正数的绝对值是它本身;负数的绝对值是它的相反数;0的绝对值是0)
-a(a≤0)
6、倒数
①乘积是1的两个数叫作互为倒数。
②a的倒数是
(a≠0)③a与b互为倒数ab=1
7.有理数的运算
运算名称
运算法则
运算律
加法
同号相加取相同的符号,绝对值相加
加法交换律:
a+b=b+a
异号相加
绝对值不相等时,取绝对值较大的数的符号,绝对值相减
互为相反数的两个数相加得0
加法结合律:
(a+b)+c=a+(b+c)
一个数同0相加,仍得这个数
减法
(减法转化为加法)减去一个数,等于加上这个数的相反数。
乘法
两个数相乘,同号得正,异号得负,绝对值相乘
任何数同0相乘,都得0.
乘法交换律:
a×b=b×a
乘法结合律:
(a×b)×c=a×(b×c)
分配率:
a(b+c)=ab+bc
除法
两个数相除,除数不为零,同号得正,异号得负,并把绝对值相除(除以一个数,等于乘以这个数的倒数。
)
0除以任何一个不等于0的数,都得0.
乘方
正数的任何次幂都是正数
负数的奇次幂是负数,负数的偶次幂是正数
0的任何正整数次幂都是0
8.科学记数法与近似数
科学记数法:
①把一个绝对值大于10的数表示成a×10n(其中1≤|a|<10,n为正整数)
②指数n与原数的整数位数之间的关系。
近似数与有效数字
①准确数、近似数、精确度
精确到万位
②精确度精确到0.001
保留三个有效数字
③近似数的最后一位是什么位,这个数就精确到哪位。
知识点1:
不定方程——分油问题的一般性解法;正负数表示相反意义的量;有理数的加减运算
例题:
韩信分油
韩信是汉高祖刘邦手下的大将,不但善于用兵打仗,而且精通天文、地理和数学。
有一次,韩信在行军途中偶遇两个合伙卖油的商人。
这两个商人争论不休,急得满脸通红。
韩信驱马上前一问,原来是为了一件小事。
这两个商人做生意剩下10公斤油,打算平分了,可没有带秤,只有一个能盛10公斤的油篓、一个能盛7公斤的油罐和一个能盛3公斤的油葫芦。
两个人折腾了半天也没能把这10公斤油分好,便互相抱怨了起来。
韩信问明原因后,在马背上略加思索,便想出了分油的办法。
他笑着对这两个商人说:
“好办,好办。
葫芦归罐罐归篓,分好油来回家走。
”说完他便扬鞭催马而去。
两个商人一头雾水,抓耳挠腮好一阵子,才恍然大悟。
按照韩信的办法,他们很快就把油分好,高高兴兴回家去了。
从此,“韩信分油”的故事就广泛流传开来。
人们在对韩信的智慧钦佩之余,不禁要问:
这“葫芦归罐罐归篓”到底是怎么一回事呢?
解析:
“葫芦归罐罐归篓”就是把油篓中的油通过油葫芦倒到油罐中,当油罐被灌满时,再将油罐中的油全部倒到油篓中。
具体倒法是:
从油篓中往油葫芦里倒三次,前两次油葫芦中的油全部倒到油罐中,第三次油葫芦中的油只能往油罐中倒1公斤,油罐就满了;将油罐中的油全部倒回油篓,再将油葫芦中剩下的2公斤油倒到油罐中;从油篓中往油罐中倒1葫芦油(3公斤),这时,油篓和油罐中便各有5公斤油。
问题因此得到解决。
第二种解法答案:
见下表:
步数
油篓10Kg
油罐7Kg
油葫芦3Kg
0
10
0
0
1
3
7(+1)
0
2
3
4
3(-1)
3
6
4
0
4
6
1
3(-1)
5
9
1
0
6
9
0
1
7
2
7(+1)
1
8
2
5
3(-1)
9
5
5
0
拓展:
分油问题的一般性解法
(1)三个容器N1,N2,N按容积由小到大排列,分别为自然数N1,N2,N;得到的油M是小于N的自然数。
(2)两个较小容器的容积数N1,N2互素的(不是互素的要简单一些)。
互素指多个整数的最大公因数是1。
(3)由于容器没有刻度,倒油过程中,较小容器总需要倒空或者填满。
(4)小容器倒油的次数X、Y是整数,最后需要得到的油M也是正整数。
(5)在小容器里得到数量较少的油,如容器N1得到小于等于N1的油;容器N2得到大于N1小于等于N2的油
所以分油的实质是一个求解二元一次不定方程的解的过程。
方程列为N2·X+N1·Y=M,其中,N=N1+N2,M=(N1+N2)/2,则是平均分油问题,是分油问题的一个特例。
与一般不定方程有所不同的是,在倒油问题上,这里X和Y取正值,也可取负值。
正值表示倒满某个小容器的次数且首先将此容器倒满,负值表示从满油小容器倒出的次数。
如果方程有多解,需要寻找一个最优解:
X和Y的绝对值越小,表明倒油的次数越少,表明是一个最优解。
有了这个解,就可以用来帮助我们完成分油过程,中间倒油的过程为了满足某个较小容器倒满或者清空而倒来倒去,而具体如何实现只需要费一点点脑筋。
在上题中,韩信分油问题的不定方程为:
7x+3y=3,最优解为:
x=2,y=-3。
这里2表示先倒满油罐且整个过程中倒满它的次数为2次,而-3表示从满油的油葫芦中倒出的次数为3次。
课堂练习
1.法国著名数学家泊松年轻时研究过的一道题:
某人有12品脱美酒,想把一半赠人,但没有6品脱的容器,而只有一个8品脱和一个5品脱的容器,问怎样才能把6品脱的酒倒入8品脱的容器中?
2.一位出租车司机对自己两小时的运营状况进行记录:
自
地出发,向东记为正,则向西记为负.所走路程(单位:
千米)为:
问:
①最后他们是否回到出发点?
若没有,则在
地的什么位置?
答:
他们____(填:
有或没有)回到出发点,在
地的正______方向,距
地____千米.
②若每千米耗油1.5升,则今天共耗油_______升.
3.为了简记我班某小组同学的数学成绩,采用了以80分为标准的办法,高于80分的记为正,低于80分的成绩记为负,现有10名同学的成绩记录如下:
,求这10名同学的平均成绩.
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
知识点2:
“找补”问题;有理数的乘方运算
例题:
俄罗斯古题
甲、乙两人合养了若干头羊,而每头羊的卖价又恰与羊的头数相等,全部卖完后,两人按照下面的方法分钱:
先由甲拿10元,再由乙拿10元,如此轮流,拿到最后,剩下不足10元,轮到乙拿去。
为了平均分配,甲应该找补给乙多少元?
解析:
根据“每头羊的卖价又恰与羊的头数相等”,所以羊的总价为n2元,由题意知n2元中含有奇数个10元,即完全平方数n2的十位数字是奇数。
如果完全平方数的十位数字是奇数,则它的个位数字一定是6.所以,n2的末尾数字是6,,即乙最后拿的是6元,从而为平均分配,甲应补给乙2元。
答案:
甲应该找补给乙2元。
课堂练习
1.甲、乙两人合干一项工程,而每天的工资又恰与工作的天数相等,工程竣工后,两人按照下面的方法分钱:
先由甲拿30元,再由乙拿30元,如此轮流,拿到最后,剩下的钱不足30元,但多于20元,轮到乙拿去。
为了平均分配,甲应该找补给乙多少元?
2.与乘方有关的数字规律探究:
观察下列算式:
。
通过观察,用你发现的规律写出
的末位数字是_________。
3.观察下面三行数,
2,-4,8,-16,32,-64,…①
-2,-8,4,-20,28,-68,… ②
-1,2,-4,8,-16,32,… ③
(1)第①行第10个数是多少?
(2)第②③行数与第①行数分别有什么关系?
(3)取每行第10个数,计算这三个数的和。
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
知识点3:
二进制思想在实际中的应用;有理数的乘方运算
例题:
巧分苹果
小明是个卖苹果的,小红一次从小明那里买N(N≤1023)个苹果。
小明每次都要数N个苹果给小红,唉,太麻烦了。
于是小明想出了一种办法:
他把苹果分在10个袋子中,则无论小红来买多少个苹果,他都可以整袋整袋地拿给小红。
问怎样分配苹果到各个袋子?
解析:
运用二进制编码思想
按照二进制编码的特点,n位二进制的各个数位的权重从低到高分别是20,21,22,…,2n-1.n位无符号二进制数可以表示0到(2n)-1,共n个数。
而二进制数位只有1和0两种状态,正好对应题目中苹果袋子的“给”与“不给”两种状态。
因此只要将各个袋子分别装入20,21,22,…,29个苹果即可满足题目要求。
例如:
需要66个苹果,因66的二进制是1000010,则小明只要将苹果个数为21(2个)和26(64个)的袋子给小红就可以了。
答案:
10个袋子分别装苹果1、2、4、8、16、32、64、128、256、512个
课堂练习
1.一位老大爷带上了1000元钱上街买东西。
东西的价格都是整元数,为了保证至少1000元的东西都能立即付钱,他把钱包分成若干包。
付钱时只要拿出几包而无需折散也无需找零便行。
他应如何包这些钱?
2.计算:
3.观察下列等式,
…想一想等式左边各项幂的底数与右边幂的底数有什么关系?
猜一猜可以引出什么规律,并把这种规律用等式写出来
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
知识点4:
三进制思想在实际中的应用
例题:
砝码问题
一位商人有一个40磅的砝码,由于跌落在地上而碎成四块。
后来,称得每块碎片的重量都是整磅数,而且可以用这四块来称1~40磅之间的任意整数磅的重物。
问这四块砝码碎块各重多少?
解析:
“平衡三进制”的问题,也称对称三进制
“平衡三进制”是一种以3为基数,各个三进制位权重为30,31,32,…,3n,以-1,0,1为基本数码的三进制计数体系。
N位三进制数表示的范围是:
~
。
需要明白的是,一个砝码可以放在要称量的物品的同侧,也可以放在对侧,当然也可以不放。
砝码的三种状态可以表示为:
不放(0)、放在物品对侧(+1)、放在物品同侧(-1)。
因此各个砝码碎片的重量就是各个平衡三进制数位的权重,即1,3,9,27。
答:
这四块砝码碎块重量分别是1,3,9,27。
课堂练习
1.27个小球。
其中一个比其他小球都要重一点。
给你一个天平,最多称3次,找出这个特殊的小球。
2.已知:
(1)请你猜想填空:
;
(2)试计算:
3.比较下面算式结果的大小(在横线上填“>”、“<”或“=”):
通过观察归纳,写出能反映这一规律的一般结论。
1.别莱利曼在《趣味几何学》中表述:
一只水桶,装有12杓水,还有两只容量分别为9杓和5杓的空桶,如何将大水桶的水分成两半?
2.超市新进了
箱橙子,每箱标准重量为
,到货后超市复秤结果如下(超市标准重量的千克数记为正数,不足的千克数记为负数):
、
、
、
、
、
、
、
、
、
那么超市购进的橙子共多少千克?
3.甲、乙两人合卖了若干苹果,而每个苹果的卖价又恰与苹果的个数相等,全部卖完后,两人按照下面的方法分钱:
先由甲拿30元,再由乙拿30元,如此轮流,拿到最后,剩下不足10元,轮到乙拿去。
为了平均分配,甲应该找补给乙多少元?
4.已知
,则
,
,
的大小关系是什么?
5.观察下列各式:
用你所发现的规律写出
的末位数字__________。
6为了称出1~100克的所有整数克的重量,针对以下两种情况:
用一架天平与至少几个砝码?
(1)砝码只准放在天平的一边,物体放在另一边;
(2)砝码允许放在天平的两边。
答案:
例一练习
1.根据题意,可列不定方程8X+5Y=6,得到的解为:
X=2,Y=-2,这是一个最优解。
也就是从最大容器中先倒满8升容器并倒满2次,5升容器装满后倒出2次进入最大的容器,就会得到两个6升。
过程如下表:
步数
12品脱容器
8品脱容器
5品脱容器
0
12
0
0
1
4
8(+1)
0
2
4
3
5(-1)
3
9
3
0
4
9
0
3
5
1
8(+1)
3
6
1
6
5(-1)
7
6
6
0
2.①没有;东;1②40.5
3.这10名同学的成绩分别为:
100,70,75,95,89,77,90,88,84,64,所以平均成绩为83.2
例二练习:
1.根据“每天的工资又恰与工作的天数相等”,所以总钱数为n2元,由题意知n2元中含有奇数个30元,再加上乙拿到的20多元,也就是含有奇数个10元,即完全平方数n2的十位数字是奇数。
如果完全平方数的十位数字是奇数,则它的个位数字一定是6.所以,n2的末尾数字是6,,即乙最后拿的是26元,从而为平均分配,甲应补给乙2元。
2.答案:
4
3.
(1)-1024
(2)第①行数减4得第②行数,第①行数除(-2)得第③行数
(3)三数的和=(-1024)+(-1024-4)+(-1024)÷(-2)=-1540
例三练习:
1.应把1000元钱分别包成1元、2元、4元、8元、16元、32元、64元、128元、256元及489元共10包。
支付金额不超过511元时,将金额转化为二进制数,易知取前九包中的若干包可按要求支付;而支付金额超过511元,可先支付489元,再把剩余的钱转化为二进制数再选取前9包中的若干包支付。
2.解:
设L=
①
则2L=
②
1-②得:
-L=1-211
所以
=211-1
3.等式左边各项幂的底数的和为右边幂的底数;
规律为:
13+23+33+…+n3=(1+2+3+…+n)2
例四练习:
1.可以使用三进制的原理来解决。
三进制各个数位的权重分别为30,31,32,…,3n。
三进制用0 , 1 , 2 这3个数码表示数,因此每个三进制数位有3种状态。
对于每一次天平称量的结果有3种:
左边较重、右边较重、平衡。
我们可以将左边较重编号为1,右边较重编号为2,平衡编号为0。
首先将27个小球按照0到26编号,编号的三进制的形式如下:
000 001 002 010 011 012 020 021 022 100 101 102 110 111 112 120 121 122 200 201 202 210 211 212 220 221 222
第一称量将编号的三进制第1位为1的小球(9个)放在左边,编号第1位为2的小球(9个)放在右边,编号第1位为0的不放。
第二次称量将编号的三进制第2位为1的小球(9个)放在左边,编号第2位为2的小球(9个)放在右边,编号第2位为0的不放。
第三次称量将编号的三进制第3位为1的小球(9个)放在左边,编号第3位为2的小球(9个)放在右边,编号第3位为0的不放。
根据3次称量的结果,我们就可以知道较重的那个小球的编号了。
假设3次称量结果的编号分别为0,1,2,那么我们可以知道较重的是21号小球。
因为21的三进制是( 210 ),因此只有21号小球在第一次称量时没放,第二次放在左边,第三次放在右边。
2.
(1)
(2)原式=
=25502500
3.>;>;=
规律可总结为:
a2+b2≥2ab
能力提升:
1.别莱利曼问题的不定方程为:
9X+5Y=6,可得最优解为:
X=-1,Y=3。
表示从12杓水桶中先灌满5杓的空桶并灌满3次,将灌满的9杓水桶中倒出1次。
过程如下表:
步数
12杓水桶
9杓水桶
5杓水桶
0
12
0
0
1
7
0
5(+1)
2
0
7
5
3
5
7
0
4
5
2
5(+1)
5
10
2
0
6
10
0
2
7
1
9(-1)
2
8
1
6
5(+1)
9
6
6
0
2.这10箱橙子的总重量为:
50×10+0.5+0.3-0.9+0.1+0.4-0.2-0.7+0.8+0.3+0.1=500.7Kg
3.根据“每个苹果的卖价又恰与苹果的个数相等”,所以总钱数为n2元,由题意知n2元中含有奇数个30元,也就是含有奇数个10元,即完全平方数n2的十位数字是奇数。
如果完全平方数的十位数字是奇数,则它的个位数字一定是6.所以,n2的末尾数字是6,,即乙最后拿的是6元,从而为平均分配,甲应补给乙12元。
4.
<
<
5.答案:
3
6
(1)7个,用1,2,4,8,16,32,37克这7个砝码即可。
(二进制思想)
(2)5个,用1,3,9,27,81克的砝码。
(平衡三进制思想)
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