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椭圆及其标准方程模板
新授课:
221椭圆及其标准方程
(1)
一、教学目标
重点:
椭圆的定义及椭圆标准方程,用待定系数法和定义法求椭圆的标准方
程.
难点:
椭圆标准方程的建立和推导.
知识点:
椭圆定义及标准方程.
能力点:
如何探寻椭圆定义及标准方程的证明思路,数形结合数学思想的
运用.
教育点:
经过椭圆定义的归纳和标准方程的推导,培养学生发现规律、认识
规律并利用规律解决实际问题的能力,培养学生探索数学的兴趣,
激发学生的学习热情.
自主探究点:
如何推导椭圆的标准方程.
考试点:
椭圆定义及标准方程,利用其解决有关的椭圆问题
易错易混点:
在用椭圆标准方程时,学生一般在”焦点的位置”上容易出错.
拓展点:
如何利用坐标法探讨其它圆锥曲线的方程.
二、引入新课
问题:
6月16日下午18时,”神州九号”载人飞船顺利升空,实现多人多天飞行,标志着中国航天事业又上了一个新台阶,请问:
”神州九号”飞船的运行轨道是什么?
多媒体展示”神州六号”运行轨道图片.
复习旧知识:
圆的定义是什么?
圆的标准方程是什么形式?
提出新问题:
椭圆是怎么画出来的?
椭圆的定义是什么?
它的标准方程又是什么形式?
引出课题:
椭圆及其标准方程
曲线能够看做适合某种条件的点的集合或轨迹,那么椭圆是满足什么条件的
点的轨迹呢?
要想知道椭圆是满足什么条件的点的轨迹,首先要知道椭圆的几何特征
学生实验:
按照课本上介绍的方法,学生用一块纸板,;两个图钉,一根无弹性的细绳试画椭圆,让学生自己动手画,同桌相互切磋,探讨研究.(提醒学生作图过程中注意观察椭圆的几何特征,即椭圆上的点要满足怎样的几何条件)
提问:
点M运动时,Fi,F2移动了吗?
点M按照什么条件运动形成的轨迹是椭圆?
1.在作图时,视笔尖为动点,两个图钉为定点,动点到两定点距离之和符合什么条件?
其轨迹如何?
2.改变两图钉之间的距离,使其与绳长相等,画出的图形还是椭圆吗?
3.当绳长小于两图钉之间的距离时,还能画出图形吗?
学生经过动手操作-独立思考-小组讨论-共同交流的探究过程,得出这样
三个结论:
|MFi|+|MF2山F1F2|椭圆;
|MFi|+|MF2|二|证|线段;
|MFi|+|MF2|GFiF2|不存在•
【设计意图】用学生感兴趣的问题引入新课,引起学生学习的兴趣,并提问以往的知识经验,并按学生的认知规律设置一系列问题。
让学生动手实践,在实
践中引导学生观察椭圆上的点满足的几何条件,从而认识椭圆概念,实验中
发现椭圆的几何特征,能够挖掘出椭圆定义的内涵,使得学生对椭圆的定义留下深刻印象.
【设计说明】让学生经过动手操作T独立思考T小组讨论T共同交流的探究过程,得出椭圆的定义
三、探究新知
(一)归纳定义
椭圆的定义:
平面内与两个定点Fi、F2的距离的和等于常数(大于厅芾2|)的点的轨迹叫做椭圆.这两个定点叫做椭圆的焦点,两焦点的距离叫做椭圆的焦距.
归纳总结:
--川注意:
”和”,”常数”及”常数”的范围(常数大于丨馮F2I)F
思考:
焦点为Fi,F2的椭圆上任一点M,有什么性质?
令椭圆上任一点M,则有MFi|MF22a(2a2c卩忑)
[设计意图]给学生充分的动手实践的时间,揭示定义的发现过程,经过学生实验发现椭圆的轨迹问题,培养学生归纳、概括、的能力(一般性探究).避
免直接将定义抛给学生.
(二)椭圆标准方程的推导
回顾:
求曲线方程的一般步骤:
(1)建系、设点、
(2)写出点的集合(3)列式、
(4)化简.(5)证明
提问:
如何建系,使求出的方程最简?
由学生自主提出建立坐标系的不同方法,教师根据学生提出的”建系”方式
把学生分成若干组,分别按
已知椭圆的焦距IF1F2I2c,(cO),椭圆上的动点M到两定点Fi,F2的距离之和
为2a,求椭圆的方程.
设点:
设M(x,y)是椭圆上任意一点,为了使RE的
坐标简单及化简过程不那么繁杂,设|FiF2匚2c(c0),则Fi(.c,O),F2(c,0)
设M与两定点Fi,F2的距离的和等于2a
(2)写点的集合:
由椭圆的定义,椭圆就是集合
PM||MFi|IMF2I2a
(4)化简:
(这里,教师为突破难点,进行设问:
我们怎么化简带根式的式子
对于本式是直接平方好还是整理后再平方好呢?
)
即a2_cx二aj(x_c)2_y2
+y
由图可知,PF1PF2a,OF1OF2c,|POJa2c2,
令bPO即a2—c2二b2(b〉0),则方程可简化为:
b2x2a2y2a2b2
22
整理成:
笃爲igb0)②
ab
(5)证明:
从上述过程能够看到,椭圆上任意一点的坐标都满足方程②,以方程
②的解(x,y)为坐标的点到椭圆的两个焦点Fi(c,0),F2(c,0)的距离之和为2a,即
以方程②的解为坐标的点都在椭圆上,由曲线与方程的关系知,方程②是椭
圆的方程,我们把它叫做椭圆的标准方程
22
方程刍与1(ab0)叫做椭圆的标准方程,
ab
焦点在x轴上,焦点是F1(c,0),F2(c,0),c2a2b2讨论:
如果以Fi,F2所在直线为y轴,线段FiF2的垂直平分线为x轴,建立直角坐标系,
焦点是Fi(0,c),F2(0,c),椭圆的方程又如何呢?
让学生根据刚才的推导椭圆标准方程思路自行推导得出
1(ab0)为椭圆的另一标准方程.
[设计意图]经过学生自己思考、动手推导椭圆的方程加深学生对求轨迹方程
的题目的理解和掌握
强化学生化简变形计算的能力,从而为以后的学习做
出铺垫.
四、理解新知
椭圆的标准方程
22
(1)2占1(abab
0)焦点在x轴上,焦点是R(c,0),F2(c,0),c2a2b2
22
(2)y2:
21(ab
ab
0)焦点在y轴上,焦点是已(0,c),F2(0,c),c2a2b2
观察上述标准方程,思考如何判断焦点位置.
由观察得出看X2,y2的分母大小,哪个分母大就在哪一条轴上.
归纳概括,方程特征:
(1)椭圆标准方程形式:
左边是两个分式的平方和,右边是1
(2)ab0
(3)椭圆焦点的位置由标准方程中分母的大小确定
(4)椭圆标准方程中三个参数a,b,c关系:
a2b2c2,a最大,b、c大小不定
[设计意图]让学生自己观察概括出以上四条,经过总结加深学生对椭圆标准
方程的理解掌握,特别是焦点位置,三个参数的关系,为求标准方程打下基础
五、运用新知
22
例1已知方程丄1表示椭圆,求实数的取值范围.
52mm1
解:
由方程表示椭圆可得,实数m必须满足:
52m0
m10
52mm1
例2
(1)已知椭圆的两个两焦点坐标分别是(2,0),(2,0),而且椭圆经过点
(2,2),求它的标准方程;
(2)求焦点在坐标轴上,且经过A0-3,2)和B(-2、3,1)两点的椭圆的标准方程.
解:
(1)法一:
(定义法)
22
因为椭圆的焦点在X轴上,因此设标准方程为令占1(ab0),ab
由椭圆定义知:
2aJ:
2)2(%2(52)2(%22-10
V22V22
因此:
a-10又因为c2,因此b2a2c21046
22
因此,所求椭圆的标准方程为・X1
106
法二:
(待定系数法)
解:
因为椭圆的焦点在x轴上,因此设它的标准方程为
22
因此解方程得:
a2仲26因此,所求椭圆的标准方程为Io計.
(2)法一:
22
①当焦点在x轴上时,设椭圆的标准方程为笃笃1(ab0),根据题意ab
得:
此时不符合ab0,因此方程无解
故所求椭圆的标准方程为
2x
2
L1.
15
5
法一:
设所求方程为mx2
2
ny
1(m0,n0,mn),由题意得:
1
常黑解得
n5
因此所求椭圆的标准方程为
22
xy1.
155
归纳求椭圆标准方程的步骤:
(1)”定位”即确定椭圆的焦点在哪条坐标轴上•
(2)”定量”即确定a2,b2的具体数值.
求椭圆标准方程的常见方法:
待定系数法及定义法
[设计意图]培养学生发散思维的能力及良好的解题习惯,发扬一题多解的发
散思维习惯.本题着重加深对椭圆定义的理解应用和熟悉待定系数法的解题方法.
变式:
已知椭圆的焦距等于8,椭圆上一点P到两焦点距离的和等于10,求椭
圆的标准方程.
2222
答案:
£01或0£1.
259259
[设计意图]经过变式强化求椭圆的标准方程的方法一定形二定量求a,b的值,
当焦点位置不定时mx2ny21(m0,n0,mn)的形式简化解题步骤.
课堂练习:
22
1.已知椭圆—匚1上一点P到椭圆一个焦点的距离为3,则P到另一
2516
焦点的距离为()
(A)2
(B)3(C)5
(D)7
2.若方程x2
ky22表示焦点在
y轴上的椭圆,那么实数的取值范围是
().
答案:
2
2
2222
4
(1)-
16
y21
(2)yx21
16
⑶yX1yX1
16363616
[设计意图]利用练习加深学生对椭圆定义,标准方程形式,求法的理解,强化双基,训练学生的运算能力.
六、课堂小结
教师提问:
本节课我们学习了哪些知识,涉及到哪些数学思想方法?
学生作答:
1知识:
椭圆的定义及标准方程.标准方程中a,b,c的关系焦点所在的轴与
标准方程形式之间的关系
2.思想:
曲线与方程的轨迹思想,方程的思想、分类讨论的思想、待定系数
法.
在归纳总结的基础上,填下表
焦点位置
在x轴上
在y轴上
教师总结:
椭圆定义是用实验的方法的引出,椭圆标准方程的推导体现了曲线与方程的轨迹思想,在学习新知时,也要经常复习前面学过的内容,”温故而知新”.在应用中加强对椭圆定义,标准方程,参数的理解,及时查缺补漏
从而更好地运用知识,解题要有目的性,加强对数学知识、思想方法的认识与
自觉运用.
[设计意图]经过椭圆的教学,加强对学生学习方法的指导,做到”授人以渔”.让学生真正体会到学习的本质、学习的乐趣.
七、布置作业
1.阅读教材P38—40;
2.书面作业
必做题:
P49习题2.2A组1,2.
2.已知B,C是两个定点,BC6,且ABC周长为16,求顶点A的轨迹方程.
3.课外思考方程Ax2By21什么时候表示椭圆?
什么时候表示焦点在x轴上的椭圆?
什么时候表示焦点在y轴上的椭圆?
[设计意图]设计作业1,2,是引导学生先复习,再作业,培养学生良好的学习习惯.书面作业的布置,是为了让学生能够运用椭圆的定义及标准方程,解决简
单的椭圆问题;课外思考的安排,是让学生理解椭圆标准方程的一般形式,培
养学生用整体的观点看问题.
八、教后反思
1.本教案的亮点是新课的引入及两个例题.在引入中利用”神九”激发兴趣,经
过动手实验加深对定义的理解。
在例1的教学中,让学生回答方法、经过分
类讨论,深刻掌握椭圆的方程,例2一题多解,让学生说明思路的由来过程一题多解开阔思路.变式既注重了与原问题的联系,又在不知不觉中提高了
难度,提高了学生的解题能力.
2•由于各校的情况不同,建议教师在使用本教案时灵活掌握,但必须做好定义的探究及公式的推导.
3•本节课的弱项是由于整堂课容量较大,在课堂上个别地方没有充分暴露学
生的思维过程,并给予针对性地诊断与分析.
九、板书设计
2.2.1椭圆及其标准方程
一、引入
二、新课
1、椭圆的定义
2、椭圆的标准方程
三、例题
例1
例2
- 配套讲稿:
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- 特殊限制:
部分文档作品中含有的国旗、国徽等图片,仅作为作品整体效果示例展示,禁止商用。设计者仅对作品中独创性部分享有著作权。
- 关 键 词:
- 椭圆 及其 标准 方程 模板
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