余数性质及同余定理B级答案.docx
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余数性质及同余定理B级答案
余数性质及同余定理
知识框架
一、带余除法的定义及性质
1.定义:
一般地,如果a是整数,b是整数(b≠0),若有a÷b=q……r,也就是a=b×q+r,
0≤r<b;我们称上面的除法算式为一个带余除法算式。
这里:
(1)当时:
我们称a可以被b整除,q称为a除以b的商或完全商0r?
(2)当时:
我们称a不可以被b整除,q称为a除以b的商或不完全商0?
r一个完美的带余除法讲解模型:
如图
这是一堆书,共有a本,这个a就可以理解为被除数,现在要求按照b本一捆打包,那么b就是除数的角色,经过打包后共打包了c捆,那么这个c就是商,最后还剩余d本,这个d就是余数。
这个图能够让学生清晰的明白带余除法算式中4个量的关系。
并且可以看出余数一定要比除数小。
2.余数的性质
⑴被除数除数商余数;除数(被除数余数)商;商(被除数余数)除数;?
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⑵余数小于除数.
二、余数定理:
1.余数的加法定理
a与b的和除以c的余数,等于a,b分别除以c的余数之和,或这个和除以c的余数。
例如:
23,16除以5的余数分别是3和1,所以23+16=39除以5的余数等于4,即两个余数的和3+1.当余数的和比除数大时,所求的余数等于余数之和再除以c的余数。
例如:
23,19除以5的余数分别是3和4,所以23+19=42除以5的余数等于3+4=7除以5的余数为2
2.余数的加法定理
a与b的差除以c的余数,等于a,b分别除以c的余数之差。
=1-3,两个余数差2的余数等于5除以7=16-23,所以1和3的余数分别是5除以16,23例如:
2.
当余数的差不够减时时,补上除数再减。
例如:
23,14除以5的余数分别是3和4,23-14=9除以5的余数等于4,两个余数差为3+5-4=4
3.余数的乘法定理
a与b的乘积除以c的余数,等于a,b分别除以c的余数的积,或者这个积除以c所得的余数。
例如:
23,16除以5的余数分别是3和1,所以23×16除以5的余数等于3×1=3。
当余数的和比除数大时,所求的余数等于余数之积再除以c的余数。
例如:
23,19除以5的余数分别是3和4,所以23×19除以5的余数等于3×4除以5的余数,即2.
nn除以m的余数也相同.m的余数相同,那么与b乘方:
如果a与除以ba
一、同余定理定义1、在bm同余或称a和a1的自然数m所得余数相同,就称和b对于模整数a和b,除以一个大于)a≡b(modm模m下同余,即同余的重要性质及举例。
2、
;)(a为任意自然)〈1〉a≡a(modm)b≡a(modm2〉若a≡b(modm),则〈)(modm;,b≡c(modm)则a≡c〈3〉若a≡b(modm)(modm)a≡b(modm),则ac≡bc〈4〉若modm);modm),则ac=bd(〈5〉若a≡b(modm),c≡d(modm)(modm)则an≡bm(〈6〉若a≡b〉性质〈6〉常被称为同余的可乘性,同余的可传递性,性质〈4〉、〈53其中性质〈〉常被称为
同余的可开方性常被称为)a≡b(modm,modm)且(cm)=1则可除性注意:
一般地同余没有,但是:
如果:
ac=bc(整数分类:
3、
〉用2来将整数分类,分为两类:
1〈……(奇数);,7,9,,1,35……(偶数)6,8,,0,2,4来将整数分类,分为三类:
〈2〉用3除余数是0)……,9,12,(被330,,6)(被3除余数是1,,,14,710,13……除余数是2)3……1411852,,,,,(被的情况下,可将整数分成六类,分别是:
6〉在模3〈.
0(mod6):
0,6,12,18,24,……
1(mod6):
1,7,13,19,25,……
2(mod6):
2,8,14,20,26,……
3(mod6):
3,9,15,21,27,……
4(mod6):
4,10,16,22,29,……
5(mod6):
5,11,17,23,29,……
重难点
除的余数相同。
9除的余数和这个自然数所有数字之和被9一个自然数被同余在解答竞赛题中有着广泛的应用.在这一讲中,我们将深入理解同余的概念和性质,悟出它的一些运用技巧和方法.
例题精讲
,那么,这个两位奇数是多少?
,余数是491】一个两位奇数除1477【例
22.求出符合条件的所有的两位数.2024除以一个两位数,余数是巩【固】
.415,则被除数是_______两数相除,商4余8,被除数、除数、商数、余数四数之和等于】【例2
,求933被除数、除数、商、余数的和是40,余数是16.一个自然数去除另一个自然数,商为固【巩】用个自然数各是多少?
这2
的整数倍,每人的岁数都3】一个家庭,有父、母、兄、妹四人,他们任意三人的岁数之和都是3例【
,父亲岁数最大,问:
母亲是多少岁是一个质数,四人岁数之和是100?
【巩固】有三所学校,高中A校比B校多10人,B校比C校多10人.三校共有高中生2196人.有一所学校初中人数是高中人数的2倍;有一所学校初中人数是高中人数的1.5倍;还有一所学校高中、初中人数相等.三所学校总人数是5480人,那么A校总人数是________人.
4】【例
除的余数.求被71993?
437309?
。
73倍被除,余数是3一巩【固】个数被7除,余数是,该数的
四个自然数都被同一个自然数相除,所得余数相同且为两位数,除5164,,6522458228365例【】若,.数和余数的和为_______
【巩固】一个大于1的数去除290,235,200时,得余数分别为,,,则这个自然数是多少?
a5a?
a?
2
【例6】有这样一类2009位数,它们不含有数字0,任何相邻两位(按照原来的顺序)组成的两位数都有一个约数和20相差1,这样的2009位数共有________个.
【巩固】在两位数10,11,…,98,99中,将每个被7除余2的数的个位与十位之间添加一个小数点,其余的数不变.问:
经过这样改变之后,所有数的和是多少?
【例7】甲、乙、丙三数分别为603,939,393.某数除甲数所得余数是除乙数所得余数的2倍,AAA除乙数所得余数是除丙数所得余数的2倍.求等于多少?
AA
23,求该自然数的值.,,,154,200被某自然数除所得的余数分别是60【巩固】已知a1a?
1a?
【例8】【答案】已知n是正整数,规定,n?
?
?
1?
2n!
29,则整数m除以2008的余数为多少?
令2007?
3?
?
2007!
?
m?
1!
?
1?
2!
2?
3!
?
【巩固】已知n是正整数,规定,n2?
?
n!
?
1?
,则整数Q令除以2013的余数为多少?
2012?
2012!
5?
5!
?
?
?
43Q?
3!
?
?
4!
?
n,k被7除余数为2,k被11为正整数,】【例9设n除余数为3,求n的最小值.2004?
k
nn的和.n整除的所有自然数11100试】巩【固求不大于,且使能被4?
7?
3.
【例10】一个大于10的自然数去除90、164后所得的两个余数的和等于这个自然数去除220后所得的余数,则这个自然数是多少?
baab,求.,并且7都余【巩固】两1位自然数与除以ba?
abb?
a
课堂检测
【随练1】已知2008被一些自然数去除,所得的余数都是10,那么这样的自然数共有多少个?
200322的和除以7的余数是与________.【随练2】2003
MMN被整除。
的最小值为。
、为非零自然数,且【随练3】20082007?
7NNM?
家庭作业
【作业1】大于35的所有数中,有多少个数除以7的余数和商相等?
【作业2】一个三位数除以36,得余数8,这样的三位数中,最大的是__________。
】【作业3三个数:
23,51,72,各除以大于1的同一个自然数,得到同一个余数,则这个除数是。
【作业4】学校新买来118个乒乓球,67个乒乓球拍和33个乒乓球网,如果将这三种物品平分给每个班级,那么这三种物品剩下的数量相同.请问学校共有多少个班?
【作业5】修改31743的某一个数字,可以得到823的倍数。
问修改后的这个数是几?
【作业6】科学家进行一项实验,每隔5小时做一次记录。
做第十二次记录时,挂钟的时针恰好指向9,问做第一次记录时,时针指向几?
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- 余数 性质 定理 答案