新教材新人教A版必修一 集合 复习 学案.docx
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新教材新人教A版必修一集合复习学案
学习目标1.构建知识网络,理解其内在联系;2。
盘点重要技能,提炼操作要点;3.体会数学思想,培养严谨灵活的思维能力.
[知识网络]
[知识梳理]
1.本章基本技能梳理
本章用到以下技能:
(1)运算技能主要表现在求并交补集,求函数表达式、定义域、值域、最值、单调性和奇偶性的证明和应用中大量的方程、不等式运算,以及式子的变形等.
(2)图形处理技能包括识图能力和作图能力.识图主要体现在给出Venn图,数轴,函数图象,要能从中读出相关信息;作图能力体现在给出集合间的关系或运算,能用Venn图或数轴表示,给出函数解析式或性质,能画出相应图象.
(3)推理技能主要体现在给出子集、并集、交集、补集、函数、定义域、值域、最值、单调性、奇偶性的定义,依据这些定义去证明或判断具体的集合和函数问题.
课本还先给出大量具体例子让同学们归纳出一般概念和结论,这叫归纳推理;还有一些类比:
如由增函数到减函数,由奇函数到偶函数,由具体函数到抽象函数等.
(4)数据处理表现在使用表格、图象、Venn图来收集整理数据,这样可以更直观,更便于发现数据的内在规律.
(5)数学交流体现在使用了大量的文字、符号、图形语言,用以刻画集合的关系运算及函数表示和性质,往往还需要在三种语言间灵活转换,有意识地培养灵活选择语言,清晰直观而又严谨地表达自己的想法,听懂别人的想法,从而进行交流与合作.
(6)运用信息技术的技能主要表现在应用网络资源拓展知识,了解数学史及发展前沿,以及应用计算机强大的计算能力描点作图探究新知等方面.
2.数学四大思想:
函数与方程、转化与化归、分类讨论、数形结合思想,本章用到以下思想方法:
(1)函数与方程思想体现在函数解析式部分,将实际问题中的条件转化为数学模型,再通过研究函数性质解决诸如最大、最优等问题.
(2)转化与化归主要体现在集合部分符号语言、文字语言、图形语言的转化,函数中求定义域大多转化成解不等式,求值域大多可以化归为求二次函数等基本函数的值域.
(3)分类讨论主要体现在集合中对空集和区间端点的讨论,函数中主要是欲去绝对值而正负不定,含参数的函数式的各种性质的探讨.
(4)数形结合主要体现在用数轴求并交补集,借助函数图象研究函数性质.
类型一集合的综合运算
例1已知集合A={x|0≤x≤2},B={x|a≤x≤a+3}.
(1)若(∁RA)∪B=R,求a的取值范围;
(2)是否存在a使(∁RA)∪B=R且A∩B=∅?
解
(1)∵A={x|0≤x≤2},
∴∁RA={x|x<0或x>2}.
∵(∁RA)∪B=R.
∴∴-1≤a≤0。
(2)由
(1)知(∁RA)∪B=R时,
-1≤a≤0,而a+3∈[2,3],
∴A⊆B,这与A∩B=∅矛盾.
即这样的a不存在.
反思与感悟借助数轴表达集合间的关系可以更直观,但操作时要规范,如区间端点的顺序、虚实不能标反.
跟踪训练1已知全集U={x|x≤4},集合A={x|-2<x<3},集合B={x|-3<x≤3},求∁UA,A∩B,∁U(A∩B),(∁UA)∩B.
解把集合U及集合A,B分别在数轴上表示出来.
如图,
∁UA={x|x≤-2或3≤x≤4},A∩B={x|-2<x<3},
∁U(A∩B)={x|x≤-2或3≤x≤4},
(∁UA)∩B={x|-3<x≤-2或x=3}.
类型二函数三要素在实际问题中的应用
例2某省两相近重要城市之间人员交流频繁,为了缓解交通压力,特修一条专用铁路,用一列火车作为交通车,已知该车每次拖挂4节车厢,一天能来回16次,如果该车每次拖挂7节车厢,则每天能来回10次.
(1)若每天来回的次数是车头每次拖挂车厢节数的一次函数,求此一次函数的解析式和定义域;
(2)在
(1)的条件下,每节车厢能载乘客110人.问这列火车每天来回多少次才能使运营人数最多?
并求出每天最多运营人数.
解
(1)设每天来回y次,每次拖挂x节车厢,由题意设y=kx+b(k≠0),当x=4时,y=16,当x=7时,y=10,得到16=4k+b,10=7k+b,解得k=-2,b=24,∴y=-2x+24.
依题意有
解得定义域为{x∈N|0≤x≤12}.
(2)设每天来回y次,每次拖挂x节车厢,由题意知,每天拖挂车厢最多时,运营人数最多,设每天拖挂S节车厢,则S=xy=x(-2x+24)=-2x2+24x=-2(x-6)2+72,x∈[0,12]且x∈N.所以当x=6时,Smax=72,此时y=12,则每日最多运营人数为110×72=7920(人).
故这列火车每天来回12次,才能使运营人数最多,每天最多运营人数为7920.
反思与感悟建立函数模型如本例
(1)中的y=-2x+24,
(2)中S=-2x2+24x是借助函数研究问题的第一步,在此过程中要善于抓住等量关系,并把等量关系中涉及的量逐步用变量表示出来;在实际问题中,定义域不但受解析式的影响,还受实际含义约束,如本例中x不能为负值,不能为等.
跟踪训练2某粮店销售大米,若一次购买大米不超过50kg时,单价为m元;若一次购买大米超过50kg时,其超出部分按原价的90%计算,某人一次购买了xkg大米,其费用为y元,则y与x的函数关系式y=________。
答案
解析当0≤x≤50时,y=mx;当x>50时,y=50m+(x-50)×90%·m=0.9mx+5m.
类型三函数性质的综合运用
例3函数f(x)的定义域为D={x|x≠0},且满足对于任意x1,x2∈D,有f(x1·x2)=f(x1)+f(x2).
(1)求f
(1)的值;
(2)判断f(x)的奇偶性并证明你的结论;
(3)如果f(4)=1,f(x-1)〈2,且f(x)在(0,+∞)上是增函数,求x的取值范围.
解
(1)∵对于任意x1,x2∈D,
有f(x1·x2)=f(x1)+f(x2),
∴令x1=x2=1,得f
(1)=2f
(1),∴f
(1)=0。
(2)f(x)为偶函数.
证明:
令x1=x2=-1,有f
(1)=f(-1)+f(-1),
∴f(-1)=f
(1)=0.
令x1=-1,x2=x有f(-x)=f(-1)+f(x),
∴f(-x)=f(x),∴f(x)为偶函数.
(3)依题设有f(4×4)=f(4)+f(4)=2,
由
(2)知,f(x)是偶函数,
∴f(x-1)<2⇔f(|x-1|)〈f(16).
又f(x)在(0,+∞)上是增函数.
∴0<|x-1|〈16,解之得-15〈x<17且x≠1.
∴x的取值范围是{x|-15 反思与感悟题目给出的条件是任意x1,x2,那么我们就可以根据自己的需要对x1,x2任意赋值,但关键是你得知道自己想要什么,即清楚自己的变形方向. 跟踪训练3对于函数f(x)=x2-2|x|. (1)判断其奇偶性,并指出图象的对称性; (2)画此函数的图象,并指出单调区间和最小值. 解 (1)函数的定义域为R,关于原点对称, f(-x)=(-x)2-2|-x|=x2-2|x|. 则f(-x)=f(x),∴f(x)是偶函数. 图象关于y轴对称. (2)f(x)=x2-2|x|= 画出图象如图所示, 根据图象知,函数f(x)的最小值是-1,无最大值. 单调增区间是[-1,0],[1,+∞);单调减区间是(-∞,-1],[0,1]. 1.已知集合M={x|-3<x<1},N={-3,-2,-1,0,1},则M∩N等于() A.{-2,-1,0,1} B.{-3,-2,-1,0} C.{-2,-1,0} D.{-3,-2,-1} 答案C 解析运用集合的运算求解.M∩N={-2,-1,0},故选C. 2.已知集合P={x|y=},集合Q={y|y=},则P与Q的关系是() A.P=QB.PQ C.PQD.P∩Q=∅ 答案B 解析P={x|y=}=[-1,+∞),Q={y|y=}=[0,+∞),所以QP. 3.设函数f(x)=则f(-4)=________,若f(x0)=8,则x0=________. 答案18 -或4 解析f(-4)=(-4)2+2=18, 由f(x0)=8,得或 得x0=-,或x0=4。 4.已知集合A={x|2-a≤x≤2+a},B={x|x≤1,或x≥4}. (1)当a=3时,求A∩B; (2)若A∩B=∅,求实数a的取值范围. 解 (1)当a=3时,A={x|-1≤x≤5},B={x|x≤1,或x≥4}, ∴A∩B={x|-1≤x≤1,或4≤x≤5}. (2)①若A=∅,此时2-a>2+a, ∴a<0,满足A∩B=∅。 ②当a≥0时,A={x|2-a≤x≤2+a}≠∅, ∵A∩B=∅,∴∴0≤a<1. 综上可知,实数a的取值范围是(-∞,1). 1.集合中的元素的三个特征,特别是无序性和互异性在解题时经常用到.解题后要进行检验,要重视符号语言与文字语言之间的相互转化. 2.在判断两个函数是否为同一函数时,要紧扣两点: 一是定义域是否相同;二是对应关系是否相同. 3.定义域优先原则: 函数定义域是研究函数的基础依据,对函数性质的讨论,必须在定义域上进行. 4.函数解析式的几种常用求法: 待定系数法、换元法、配凑法、消去法. 一、选择题 1。 设全集U=R,M={x|x〈-2,或x>2},N={x|1 A.{x|-2≤x〈1}B.{x|-2≤x≤2} C.{x|1〈x≤2}D.{x|x〈2} 答案C 解析阴影部分所表示集合是N∩(∁UM), 又∵∁UM={x|-2≤x≤2}, ∴N∩(∁UM)={x|1〈x≤2}. 2.下列函数中,既是偶函数,又在(0,+∞)上单调递减的函数是() A.y=x-2B.y=x-1 C.y=x2D.y=x 答案A 3.定义在R上的偶函数f(x),对任意x1,x2∈[0,+∞)(x1≠x2),有<0,则() A.f(3)〈f(-2) (1)B.f (1)〈f(-2) C.f(-2) (1)〈f(3)D.f(3) (1) 答案A 解析由已知<0, 得f(x)在x∈[0,+∞)上单调递减, 由偶函数性质得f(3) (1),故选A。 4.函数f(x)=ax2+2(a-1)x+2在区间(-∞,4]上为减函数,则a的取值范围为() A.0<a≤B.0≤a≤ C.0<a<D.a> 答案B 解析当a≠0时,函数f(x)的对称轴为x=-, ∵f(x)在(-∞,4]上为减函数, ∴图象开口朝上,a>0且-≥4,得0<a≤。 当a=0时,f(x)=-2x+2,显然在(-∞,4]上为减函数. 5.给定映射f: (x,y)→(x+2y,2x-y),在映射f下,(3,1)的原像为() A.(1,3)B.(1,1) C.(3,1)D.(,) 答案B 解析由得 6.已知函数f(x)是(-∞,0)∪(0,+∞)上的奇函数,且当x<0时,函数的图象如图所示,则不等式xf(x)<0的解集是() A.(-2,-1)∪(1,2) B.(-2,-1)∪(0,1)∪(2,+∞) C.(-∞,-2)∪(-1,0)∪(1,2) D.(-∞,-2)∪(-1,0)∪(0,1)∪(2,+∞) 答案D 7.函数y=f(x)对于任意x,y∈R,有f(x+y)=f(x)+f(y)-1,当x〉0时,f(x)>1,且f(3)=4,则() A.f(x)在R上是减函数,且f (1)=3 B.f(x)在R上是增函数,且f (1)=3 C.f(x)在R上是减函数,且f (1)=2 D.f(x)在R上是增函数,且f (1)=2 答案D 解析设x1 =f[(x2-x1)
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