中考数学压轴题典型题型解析.docx
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中考数学压轴题典型题型解析
2009年全国中考数学压轴题精选精析(三)
25.
2的顶点为A,与
(09年广西贺州)28.(本题满分10分)如图,抛物线yy轴交于点B.
26.
求点A、点B的坐标.
P是AB的延长线与x轴交点时,
PBAB.5分
P在x轴上又异于AB的延长线与x轴的交点时,
P、A、B构成的三角形中,PAPBAB.
综合上述:
PAPB (3)作直线AB交x轴于点P,由 (2)可知: 当PA—PB最大时,点P是所求的点“8分 作AH±OP于H. .•BO±OP, ..△BOPs^AHP .AHHP BOOP 由 (1)可知: AH=3、OH=2、OB=2, OP=4,故P(4,0)10分 注: 求出AB所在直线解析式后再求其与x轴交点P(4,0)等各种方法只要正确也相应给分. 27.(09年广西柳州)26.(本题满分10分) 如图11,已知抛物线yax22axb(a0)与x轴的一个交点为B(1,0),与y轴 的负半轴交于点C,顶点为D. (1)直接写出抛物线的对称轴,及抛物线与X轴的另一个交点A的坐标; (2)以AD为直径的圆经过点C. 1求抛物线的解析式; 2点E在抛物线的对称轴上,点F在抛物线上,且以B,A,F,E四点为顶点的四边形为平行四边形,求点F的坐标. (09年广西柳4、N26题解析)解: (1)对称轴是直线: x1, 点A的坐标是(3,0).・2分 (说明: 每写对1个给1分,直线”两字没写不扣分) (1)如图11,连接AC、AD,过D作DMy轴于点M, 解法一: 利用△AOC^ACMD •••点A、D、C的坐标分别是A(3,0),D(1,ab)、 C(0,b), AO=3,MD=1. AOOC小3b 由————得一— CMMDa1 3ab03分 又.•0a (1)22a (1)b4分 土3ab 0 a 1 .•由 得 5分 3ab 0 b 3 函数解析式为: y 2X 2x3 6分 解法二: 利用以AD为直径的圆经过点C 点A、 D的坐标分别是 A(3,0)、D(1, ab)、C(0, b), AC V9b2,CD Jia2,AD也 (ab)2 AC2 22 CD2AD2 ••3ab0••① 又.•0a (1)22a (1)b..②4分 由①、②得a1,b35分 函数解析式为: yx22x36分 (3)如图所示,当BAFE为平行四边形时 则BA//EF,并且BA=EF. BA=4,EF=4 由于对称为x1, .••点F的横坐标为5.7分 将x5代入yx22x3得y12, •••F(5,12).8分 根据抛物线的对称性可知,在对称轴的左侧抛物线上也存在点 F,使得四边形BAEF是平行四边形,此时点F坐标为(3,12) 9分 当四边形BEAF是平行四边形时,点F即为点D, 此时点F的坐标为(1,4).10分 综上所述,点F的坐标为(5,12),(3,12)或(1,4) (其它解法参照给分) 28. 120米,下底 (09年广西南宁)26.如图14,要设计一个等腰梯形的花坛,花坛上足 长180米,上下底相距80米,在两腰中点连线(虚线)处有一条横向甬道,上下底之间有两条纵向甬道,各甬道的宽度相等.设甬道的宽为x米. (1)用含x的式子表示横向甬道的面积; (2)当三条甬道的面积是梯形面积的八分之一时,求甬道的宽; (3)根据设计的要求,甬道的宽不能超过6米.如果修建甬道的总费用(万元)与甬道的宽 度成正比例关系,比例系数是5.7,花坛其余部分的绿化费用为每平方米0.02万元,那么当 甬道的宽度为多少米时,所建花坛的总费用最少? 最少费用是多少万元? 120180o (09年广西南丁26题解析)解: (1)横向甬道的面积为: x150xm“2分 2 、…o1120180 (2)依题启、: 280x150x2x-804分 82 整理得: x2155x7500 xi5,支150(不符合题意,舍去)6分 甬道的宽为5米. (2)设建设花坛的总费用为y万元. 1201802八 y0.0280160x150x2x25.7x7分 2 2 0.04x0.5x240 当x—0.56.25时,y的值最小.8分 2a20.04 因为根据设计的要求,甬道的宽不能超过6米, 当x6米时,总费用最少.9分 最少费用为: 0.04620.56240238.44万元10分 29.(09年广西钦州)26.(本题满分10分) 如图,已知抛物线y=3x2+bx+c与坐标轴交于A、B、C三点,A点的坐标4 为(一1,0),过点C的直线y=—x-3与x轴交于点Q,点P是线段BC上的一个动点,4t 过P作PH±OB于点H.若PB=5t,且0VtV1. (1)填空: 点C的坐标是▲,b=▲,c=▲; (2)求线段QH的长(用含t的式子表示); (3)依点P的变化,是否存在t的值,使以P、H、Q为顶点的三角形与△COQ相似? 若存在,求出所有t的值;若不存在,说明理由. (09年广西钦州26题解析)解: (1)(0,—3),b=—-,c=—3.3分 4 B两点,得B(4,0). (2)由 (1),得y=3x2—-x—3,它与x轴交于A, 44 •••OB=4,又.•OC=3,BC=5. 由题意,得△BHPs^BOC, OC: OB: BC=3: 4: 5, HP: HB: BP=3: 4: 5, ..PB=5t,HB=4t,HP=3t. OH=OB—HB=4—4t. 3 由y=—x—3与x轴父于点Q,碍Q(4t,0). 4t OQ=4t.4分 ①当H在Q、B之间时, QH=OH—OQ =(4—4t)—4t=4-8t.5分 ②当H在O、Q之间时, QH=OQ—OH =4t—(4—4t)=8t-4.6分 综合①,②得QH=|4—8t|;6分 (3)存在t的值,使以P、H、Q为顶点的三角形与△COQ相似.7分 ①当H在Q、B之间时,QH=4-8t, 若^QHPs^COQ,贝UQH: CO=HP: OQ,得48t=31, t=Z•7分 32 若^PHQs^COQ,贝UPH: CO=HQ: OQ,得里=48t,34t 即t2+2t-1=0. •■-ti=贬—1,t2=一厄一1(舍去).8分 ②当H在O、Q之间时,QH=8t—4. 若^QHPs^COQ,贝UQH: CO=HP: OQ,得8t4=31, 34t ..t=25•9分 32 若^PHQs^COQ,贝UPH: CO=HQ: OQ,得里=8Lj4,34t 即t2—2t+1=0. •■-tl=t2=1(舍去).10分 综上所述,存在t的值,t1=J2—1,t2=—,t3=类.10分 3232 30.(09年广西梧州)26.(本题满分12分) 如图(9)-1,抛物线yax23axb经过A(1,0),C(3,2)两点,与y轴交于点D,与x轴交于另一点B. (1)求此抛物线的解析式; (2)若直线ykx1(k0)将四边形ABCD面积二等分,求k的值; (3) 如图(9)-2,过点E(1,1)作EF±x轴于点F,将△AEF绕平面内某点旋转180°得△MNQ(点M、N、Q分别与点A、E、F对应),使点M、N在抛物线上,作MG±x轴于点G,若线段MG: AG=1: 2,求点M,N的坐标. (1)2a3 (1)ab0 9a9ab2 整理得 4ab0 b2 1分 1 a—一八 解得23分 b2 12 .••抛物线的解析式为y-x 2 3—x 2 2••• 4分 A123一八 (2)令—x-x20 22 解得 x〔1, x24 •■-B点坐标为(4,0) 又D点坐标为(0,2) AB //CD■ ..四边形ABCD是梯形. S梯形abcd=—(53)285分 2 设直线ykx1(k0)与x轴的交点为H, 与CD的交点为T, 则H(1,0),T(-,2)6分 kk •.•直线ykx1(k0)将四边形ABCD面积二等分 S梯形AHTD=1S梯形ABCD=4 2 113._. —(—1—)247分 2kk ..4八 --k—8分 3 (3)MG±x轴于点G,线段MG: AG=1: 2 一m1、 .••设M(m,),9分 2 •点M在抛物线上•■-m—-—m2—m2 222 解得m3,m21(舍去)10分 •■-M点坐标为(3,2) 根据中心对称图形性质知, 30.(09年贵州黔东南州) 11分 MQ//AF,MQ=AF,NQ=EF, 12分 2 26、(12分)已知一次函数yxaxa2o (1)求证: 不论a为何实数,此函数图象与x轴总有两个交点。 (2)设a<0,当此函数图象与x轴的两个交点的距离为J13时,求出此二次函数的解析式。 (3)若此二次函数图象与x轴交于A、B两点,在函数图象上是否存在点P,使得△ 3.13 PAB的面积为一—,右存在求出P点坐标,右不存在请说明理由。 (09年贵州黔东南州26题解析)解 (1)因为△=&? 4(a2)(a2)240 所以不论a为何实数,此函数图象与x轴总有两个交点。 (2分) 2 (2)设xi、x2是yxaxa20的两个根,则x1x2a,x1? x2a2, 因两交点的距离是或13,所以|x1x2|x'(x1x2)2J13。 (4分) 即: (x1x2)213 变形为: (x1x2)24x1? x213(5分) 所以: (a)24(a2)13 整理得: (a5)(a1)0 解方程得: a5或1 又因为: a<0 所以: a=-1 所以: 此二次函数的解析式为yx2x3(6分) (3)设点P的坐标为(xo,y0),因为函数图象与x轴的两个交点间的距离等于J13, 所以: AB=、」13(8分) 1.13 所以: S/xpab=—AB? |y0| 22 所以: / 22 即: |y°|3,则y°3(10分) 2 当y03时,x°x°33,即(xo3)(xo2)0 解此方程得: x0=—2或3 2 当y°3时,x°x°33,即x°(x。 1)0 解此方程得: x0=0或1(11分) 综上所述,所以存在这样的P点,P点坐标是(—2,3),(3,3),(0,-3)或(1,-3)。 •••(12 分) 31.(09年贵州安顺)27、(本题满分12分) 如图,已知抛物线与X交于A(—1,0)、E(3,0)两点,与y轴交于点B(0,3)。 (1)求抛物线的解析式; (2)设抛物线顶点为D,求四边形AEDB的面积; (3)△AOB与^DBE是否相似? 如果相似,请给以证明;如果不相似,请说明理由。 (09年贵州安顺27题解析)解: (1)(5')•.•抛物线与y轴交于点(0,3), •,•设抛物线解析式为yax2bx3(a0)(1z) ab30a1 根据题意,得,解得 9a3b30b2 .••抛物线的解析式为yx22x3(5') (2)(5')由顶点坐标公式得顶点坐标为(1,4)(2') 四边形ABDE的面积 1--1- =—AOBO—(BO =SABOS梯形BOFD -1 DF)OF-EF SDFE DF 22 2 11 =13(34)1 22 (3)(2')相似 1 24=9 2 (5,) 设对称轴与x轴的交点为F 如图,BD=JBG2 DG2 「12124i.••-be=Jbo2oe2 .3232 32 DE=.DF2EF2 ..2242 2扼••-BD2BE220,DE2 20 即: BD2BE2 2一 DE,所以 BDE是直角三角形 AOBDBE 90,且- AOBO.2 BDBE2 AOBsDBE (2') 32.(09年黑龙江大兴 •安岭地区) 28.(本小题满分10分)直线y kxb(k 0)与坐 标轴分别交于A、B两点,OA、OB的长分别是方程x214x480的两根 (OAOB),动点P从O点出发,沿路线O-B-A以每秒1个单位长度的速度运动, 到达A点时运动停止. (1)直接写出A、B两点的坐标; (2)设点P的运动时间为t(秒),OPA的面积为S,求S与t之间的函数关系式(不 必写出自变量的取值范围); (3)当S12时,直接写出点P的坐标,此时,在坐标轴上是否存在点M,使以O、A、P、M为顶点的四边形是梯形? 若存在,请直接写出点M的坐 若不存在,请说明理由. .各1分 (09年黑龙江大兴安岭地区28题解析) (1)A(8,0),B(0,6) (2).•OA8,OB6,AB10 当点P在OB上运动时,OPit, 「1…—1- S-OAOP1—8t4t-1分 22 AP2610 t16t, •••P2D- 5 c1八 1 483t 12 S—OA P2D—8 2 2 5 5 t192 5 (3)当4t t3,R(0,3), 12时, 当点P在BA上运动时,作P2DOA于点D, 此时,过AOP各顶点作对边的平行线,与坐标轴无第二个交点,所以点M不存 在;1分 12192 当一t——12时,t11,P2(4,3),1分 55 此时,Mi(0,3)、M2(0,6)各1分 注: 本卷中各题,若有其它正确的解法,可酌情给分. 33.(09年海南)24.(满分13分)如图12,已知抛物线经过坐标原点O和x轴上另一点E, 顶点M的坐标为(2,4);矩形ABCD的顶点A与点O重合,AD、AB分别在x轴、y轴上,且AD=2,AB=3. (1)求该抛物线所对应的函数关系式; (2)将矩形ABCD以每秒1个单位长度的速度从图12所示的位置沿x轴的正方向匀速平行移动,同时一动点P也以柜同的速慝从点A出发向B匀速移动,设它们运动的时间为t秒(0Vt<3),直线AB与该抛物线的交点为N(如图13所示). 1当t=5时,判断点P是否在直线ME上,并说明理由; 2 2设以P、N、C、D为顶点的多边形面积为S,试问S是否存在最大值? 若存在, 所求函数关系式为y 4,即y 4x. (4分) (5分) E点的坐标为(4,0), (2)①点P不在直线ME上. 根据抛物线的对称性可知又M的坐标为(2,4),设直线ME的关系式为y=kx+b. 于是得4kb0,解得k2 所以直线ME的关系式为y=-2x+8.……(6分) 由已知条件易得,当t。 时,OA=AP5,P。 5(7分) 2kb4b8 2222 P点的坐标不满足直线ME的关系式y=-2x+8. •■-当t5时,点P不在直线ME上.(8分) 2 ②S存在最大值.理由如下: (9分) •••点A在x轴的非负半轴上,且N在抛物线上,OA=AP=t.点P,N的坐标分别为(t,t)、(t,-t2+4t)AN=-t2+4t(0 AN-AP=(-t2+4t)-t=-t2+3t=t(3-t)>0,...PN=-t2+3t••-(10分) (i)当PN=0,即t=0或t=3时,以点P,N,C,D为顶点的多边形是三角形,此三角 形的高为AD,S=1dc-AD=1X3X2=3.(11分) 22 (ii)当PN丰0时,以点P,N,C,D为顶点的多边形是四边形 .•PN//CD,AD±CD, 11c°3221 S=1(CD+PN)-AD=1[3+(-t2+3t)]X2=-t2+3t+3=t-芝 2224 其中(0vtv3),由a=-1,0v|v3,此时国大号.(12分) 综上所述,当t3时,以点P,N,C,D为顶点的多边形面积有最大值, 这个最大值为 21 ~4 (13分) 说明: (ii)中的关系式,当t=0和t=3时也适合. 34.(09年河北)26.(本小题满分12分)如图16,在Rt△ABC中,/C=90°,AC=3,AB=5.点P从点C出发沿CA以每秒1个单位长的速度向点A匀速运动,至IJ达点A后立刻以原来的速度沿AC返回;点Q从点A出发沿AB以每秒1个单位长的速度向点B匀速运动.伴随着P、Q的运动,DE保持垂直平分PQ,且交PQ于点D,交折线QB-BC-CP于点E.点 P、Q同时出发,当点Q到达点B时停止运动,点P也随之停止.设点t秒(t>0). (1)当t=2时,AP=,点Q到AC的距离是; (2)在点P从C向A运动的过程中,求△APQ的面积S与 t的函数关系式;(不必写出t的取值范围) (3)在点E从B向C运动的过程中,四边形QBED能否成为直角梯形? 若能,求t的值.若不能,请说明理由; (4)当DE经过点C时,请直接写出t的值. 2 (09年河北26题解析)解: (1)1,8; 5 (2)作QFLAC于点F,如图3,AQ=CP=t,二AP3t. 由^AQF^AABC,BC财324, zBQFt4, QF-t 455 14 --S-(3t)—t, 25 即S2t26t. 55 (3)能. ①当DE//QB时,如图4. •••DE±PQ,•••PQ±QB,四边形QBED是直角梯形. 此时ZAQP=90°. 由^APQABC,得施冬 ACAB' 即【口.解得t9. 358 ②如图5,当PQ//BC时,DE±BC,四边形QBED是直角梯形. 此时ZAPQ=90°. 由^AQPABC,得些住 ABAC' 即1U.解得七K 538 5v45 (4)t—或t2 【注: ①点P 方法一、连接 2 PCt,QC2 14 由C向A运动,DE经过点C. QC,作QGLBC于点G,如图6.3242 [-(5t)]2[4-(5t)]2. 55 QG2 CG2 由PC2QC2,得t2 方法二、由CQCP [5(5 AQ, 24 t)][4(5 5 得QAC BBCQ,得CQ ②点P由A向C运动, 232 t)2[-(5t)]2[4 5 DE 5 2 QCA,进而可得 5, —..•t 2 经过点C,如图7. t)]2,解得t ...AQBQ (6 4245 5(5t)],t— 35. 0)、 (09年河南)23.(11分)如图,在平面直角坐标系中,已知矩形ABCD勺三个顶点B(4, 2 C(8,0)、D(8,8).抛物线y=ax+bx过A、C两点. (1)直接写出点A的坐标,并求出抛物线的解析式; (2)动点P从点A出发.沿线段AB向终点B运动,同时点Q从点C出发,沿线段CD 向终点D运动.速度均为每秒1个单位长度,运动时间为t秒.过点P作PELAB交AC于点 E 1过点E作EdAD于点F,交抛物线于点G.当t为何值时,线段EG最长? 2连接EQ在点P、Q运动的过程中,判断有几个时刻使得^CE班等腰三角形? 请直接写出相应的t值. (09年河南23题解析) (1)点A的坐标为(4,8)1分 将A(4,8)、C(8,0)两点坐标分别代入y=ax2+bx { 8=16a+4b 0=64a+8b 解得a=—,b=4 2 抛物线的解析式为: y=-—x2+4x3分 2 (2)①在Rt△APE^Rt△ABg,tanZPA^-PE=-BC,即-^^=- APABAP8 ”1…1,, PE=_AP=_t.PB=8-t. 22 .••点E的坐标为(4+It,8-t). 2 .••点G的纵坐标为: -1(4+lt)2+4(4+It)=-112+8. 2228 •••EG=-lt2+8-(8-t) 8 =-112+t. 8 ……7分 8分 ••-1V0,.••当t=4时,线段E燮长为2. 8 危,t 3 竺t3=8、5 1325 11分 ②共有三个时刻. 36.(09年黑龙江哈尔滨)28.(本题10分) 如图1,在平面直角坐标系中,点O是坐标原点,四边形ABCO是菱形,点A的坐标 为(一3,4), 点C在x轴的正半轴上,直线AC交y轴于点M,AB边交y轴于点H. (1)求
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