七年级数学几何难题总结.docx
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七年级数学几何难题总结.docx
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七年级数学几何难题总结
几何类大题难点释疑3讲—线段中点类问题
要点1:
直线,射线,线段,基本概念
直线:
两端都可以无限延长的线.
特点:
两端都没有端点;直线是无限长的;直线是不可测量长度的.
(2)射线:
直线上的一点和它一旁的部分所组成的图形称为射线或半直线.
特点:
只有一个端点,另一边可无限延长.射线可无限延长.不可测量.
(3)线段:
直线上两个点和它们之间的部分叫做线段.
特点:
有限长度,可以测量;有两个端点.
小结:
图形
端点
延长线
能否度量
直线
没有端点的一条线
无
可以两边无限延长
否
射线
只有一个端点的一条线
1个
可以向一边无限延长
否
线段
两边都有端点的一条线
2个
不能延长
能
1.经典例题-简单中点问题
(2016秋•庐江期末)如图点C、D在线段AB上,D是线段AB的中点,AC=AD,CD=6,求线段AB的长.
【解析】:
∵AC=AD,
∴CD=AD,
∵CD=6,
∴AD=9,
∵D是线段AB的中点,
∴AB=2×9=18.
2.变式练习-简单中点问题
2.1(2017秋•双台子区期末)如图,线段AC=6cm,线段BC=15cm,点M是AC的中点,在CB上取一点N,使得CN:
NB=1:
2,求MN的长.
2.2(2015秋•瑶海区期末)已知一道路沿途5个车站A、B、C、D、E,它们之间的距离如图所示(km)
(1)求D、E两站之间的距离;
(2)如果a=8,D为线段AE的中点,求b的值.
3.强化练习-中点与分类讨论
(2017秋•蜀山区期末)如图,已知点A在数轴上表示的数为a,点B表示的数为b,且a、b满足|a+3|+(b﹣2)2=0.
(1)若点A为线段BC的中点,求点C表示的数.
(2)在数轴上是否存在点P,使PA+PB=BC?
若存在,求出点P表示的数;若不存在,说明理由.
4.强化练习-中点与线段比例
(2014秋•瑶海区期末)A、B是线段EF上两点,已知EA:
AB:
BF=1:
2:
3,M、N分别为EA、BF的中点,且MN=8cm,求EF的长.
5.强化练习-中点与新定义
(2015秋•庐阳区期末)如果一点在由两条公共端点的线段组成的一条折线上且把这条折线分成长度相等的两部分,这点叫做这条折线的“折中点”.如果点D是折线A﹣C﹣B的“折中点”,请解答以下问题:
(1)已知AC=m,BC=n.
当m>n时,点D在线段 上;
当m=n时,点D与 重合;
当m<n时,点D在线段 上;
(2)若E为线段AC中点,EC=4,CD=3,求CB的长度.
6.强化练习-中点与动点问题
6.1(2013秋•包河区期末)操作:
如图1,直线l上有A、B两点,线段AB=10cm,C是线段AB上一点,取AC中点M与BC中点N.
探究:
(1)图1中的MN长度是 cm;
(2)小明作了进一步思考:
若C沿直线l向线段AB外运动,仍然取AC中点M与BC中点N,MN的长度有没有变化呢?
你能帮助小明解决这个问题吗,试试看.(请选择图2或图3中一种情况进行求解)
6.2(2018秋•海港区期中)如图,直线l上依次有三点A、B、C,且AB=8、BC=16,点P为射线AB上一动点,将线段AP进行翻折得到线段PA′(点A落在直线l上点A′处、线段AP上的所有点与线段PA′上的点对应).
(1)若翻折后A’C=2,则翻折前线段AP= .
(2)若点P在线段BC上运动,点M为线段A′C的中点,直接写出线段PM的长度.
7.强化练习-中点与规律问题
(2018秋•武昌区期中)如图,在数轴上有三个点A、B、C,完成下列问题:
(1)将点B向右移动六个单位长度到点D,在数轴上表示出点D.
(2)在数轴上找到点E,使点E为BA的中点(E到A、B两点的距离相等),井在数轴上标出点E表示的数,求出CE的长.
(3)O为原点,取OC的中点M,分OC分为两段,记为第一次操作:
取这两段OM、CM的中点分别为了N1、N2,将OC分为4段,记为第二次操作,再取这两段的中点将OC分为8段,记为第三次操作,第六次操作后,OC之间共有多少个点?
求出这些点所表示的数的和.
几何类大题难点释疑3讲—角平分线相关问题
要点1:
补角
互为补角的定义:
如果两个角的和是一个平角,那么这两个角叫互为补角.其中一个角叫做另一个角的补角
∠A+∠C=180°,∠A=180°-∠C,∠C的补角=180°-∠C即:
∠A的补角=180°-∠A
补角的性质:
同角的补角相等。
比如:
∠A+∠B=180°,∠A+∠C=180°,则:
∠C=∠B。
等角的补角相等。
比如:
∠A+∠B=180°,∠D+∠C=180°,∠A=∠D则:
∠C=∠B。
余角
互为余角的定义:
如果两个角的和是一个直角,那么称这两个角互为余角,简称互余,也可以说其中一个角是另一个角的余角.∠A+∠C=90°,∠A=90°-∠C,∠C的余角=90°-∠C即:
∠A的余角=90°-∠A
余角的性质:
同角的余角相等。
比如:
∠A+∠B=90°,∠A+∠C=90°,则:
∠C=∠B。
等角的余角相等。
比如:
∠A+∠B=90°,∠D+∠C=90°,∠A=∠D则:
∠C=∠B。
要点2:
角平分线的性质:
1.角平分线可以得到两个相等的角。
2.角平分线上的点到角两边的距离相等。
3.三角形的三条角平分线交于一点,称作三角形内心。
三角形的内心到三角形三边的距离相等。
4.三角形一个角的平分线,这个角平分线其对边所成的两条线段与这个角的两邻边对应成比例。
*现阶段提到的为性质1
1,经典例题-简单角平分线问题
(2017·安庆期末)如图所示.
(1)已知∠AOB是直角,∠BOC=30°,OM平分∠AOC,ON平分∠BOC.求∠MON的度数;
(2)若∠AOB=a,其他条件不变.求∠MON的度数(用含a的代数式表示).
【解析】:
(1)∵OM、ON分别平分∠AOC、∠BOC,
∴∠MOC=∠AOC,∠NOC=∠BOC(角平分线的定义)
∴∠MON=∠MOC﹣∠NOC=(∠AOC﹣∠BOC)=∠AOB=45°
(2)当∠AOB=a时,同
(1)可得∠MON=∠AOB=.
2,变式练习-简单角平分线问题
(2018秋•滦县期中)已知:
如图,OM是∠AOC的角平分线,ON是∠BOC的角平分线,
(1)当∠AOB=90°,∠BOC=40°时,求∠MON的度数.
(2)若∠AOB的度数不变,∠BOC的度数为α时,求∠MON的度数.
3.强化练习-角平分线与分类讨论
(2018春•道外区期末)如图,O是直线AB上的一点,∠COD是直角,OE平分∠BOC.
(1)若∠AOC=30°,求∠DOE的度数;
(2)若∠AOC=α,直接写出∠DOE的度数(用含α的代数式表示);
(3)在
(1)的条件下,∠BOC的内部有一射线OG,射线OG将∠BOC分为1:
4两部分,求∠DOG的度数.
4.强化练习-角平分线与角度比例
(2015秋•马鞍山期末)如图,O是直线AB上一点,OC、OD是从点O引出的两条射线,OE平分∠AOC,∠BOC:
∠AOE:
∠AOD=2:
5:
8,求∠BOD的度数.
5.强化练习-角平分线与新定义
(2016秋•嵊州市期末)定义:
从一个角的顶点出发,把这个角分成1:
2的两个角的射线,叫做这个角的三分线,显然,一个角的三分线有两条,例如:
如图1,若∠BOC=2∠AOC,则OC是∠AOB的一条三分线.
(1)已知:
如图1,OC是∠AOB的一条三分线,且∠BOC>∠AOC,若∠AOB=60°,求∠AOC的度数.
(2)已知:
∠AOB=90°,如图2,若OC,OD是∠AOB的两条三分线.
①求∠COD的度数.
②现以O为中心,将∠COD顺时针旋转n度得到∠C′OD′,当OA恰好是∠C′OD′的三分线时,求n的值.
6.强化练习-角平分线与旋转问题
(2017秋•蚌埠期末)已知:
∠AOD=160°,OB、OC、OM、ON是∠AOD内的射线.
(1)如图1,若OM平分∠AOB,ON平分∠BOD.则∠MON的大小为 ;
(2)如图2,若∠BOC=20°,OM平分∠AOC,ON平分∠BOD.求∠MON的大小;
(3)在
(2)的条件下,若∠AOB=10°,当∠BOC在∠AOD内绕着点O以2°/秒的速度逆时针旋转t秒时,∠AOM:
∠DON=2:
3,求t的值.
7.强化练习-角平分线与规律问题
(2015秋•海淀区期末)如图1,点O是弹力墙MN上一点,魔法棒从OM的位置开始绕点O向ON的位置顺时针旋转,当转到ON位置时,则从ON位置弹回,继续向OM位置旋转;当转到OM位置时,再从OM的位置弹回,继续转向ON位置,…,如此反复.按照这种方式将魔法棒进行如下步骤的旋转:
第1步,从OA0(OA0在OM上)开始旋转α至OA1;第2步,从OA1开始继续旋转2α至OA2;第3步,从OA2开始继续旋转3α至OA3,….
例如:
当α=30°时,OA1,OA2,OA3,OA4的位置如图2所示,其中OA3恰好落在ON上,∠A3OA4=120°;
当α=20°时,OA1,OA2,OA3,OA4,OA5的位置如图3所示,
其中第4步旋转到ON后弹回,即∠A3ON+∠NOA4=80°,而OA5恰好与OA2重合.
解决如下问题:
(1)若α=35°,在图4中借助量角器画出OA2,OA3,其中∠A3OA2的度数是 ;
(2)若α<30°,且OA4所在的射线平分∠A2OA3,在如图5中画出OA1,OA2,OA3,OA4并求出α的值;
(3)若α<36°,且∠A2OA4=20°,则对应的α值是 .
(4)当OAi所在的射线是∠AjOAk(i,j,k是正整数,且OAj与OAk不重合)的平分线时,旋转停止,请探究:
试问对于任意角α(α的度数为正整数,且α<180°),旋转是否可以停止?
写出你的探究思路.
几何类大题难点释疑3讲-尺规作图
要点1:
尺规作图是指用无刻度的直尺和圆规作图。
八种基本作图:
1、作一条线段等于已知线段
2、作一个角等于已知角
3、作已知线段的垂直平分线
4、作已知角的角平分线
5、过一点作已知直线的垂线
6、已知三边作三角形
7、已知两角、一边作三角形
8、已知一角、两边作三角形
*现阶段提到的为1,2,4三条
题型一作一条线段等于已知线段
1.典型例题(2017秋•埇桥区期末)
(1)已知:
如图,线段a,b.请按下列语句作出图形(保留作图痕迹):
①作射线AM;
②在射线AM上依次截取AC=CD=a;
③在线段DA上截取DB=b.
(2)由
(1)的作图可知AB= (用含a,b的式子表示)
【解析】:
(1)如图所示:
(2)∵AC=CD=a,
∴AD=2a,
又∵BD=b,
∴AB=AD﹣BD=2a﹣b,
故答案为:
2a﹣b.
2.变式练习(2015秋•白城校级月考)如图,平面上有四个点A、B、C、D,根据下列语句画图.
(1)画直线AB;
(2)作射线BC;
(3)画线段CD;
(4)连接AD,并将其反向延长至E,使DE=2AD;
(5)找到一点F,使点F到A、B、C、D四点距离和最短.
题型二作一个角等于已知角
3.典型例题(2017秋•瑶海区期末)已知∠α,线段a、b.
请按下列步骤完成作图.(不需要写作法,保留作图痕迹)
(1)作∠PAQ=∠α.
(2)在边AP上截取AB=a,在边AQ上截取AC=b.
(3)连接BC.
【解析】:
如图,△ABC
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