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大一轮复习配套讲义
第八章 平面解析几何
第一节直线的倾斜角与斜率、直线的方程
1.直线的倾斜角
(1)定义:
x轴正向与直线向上方向之间所成的角叫做这条直线的倾斜角.当直线与x轴平行或重合时,规定它的倾斜角为0°.
(2)倾斜角的范围为[0,π).
2.直线的斜率
(1)定义:
一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率,斜率常用小写字母k表示,即k=tan_α,倾斜角是90°的直线没有斜率.
(2)过两点的直线的斜率公式:
经过两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)(x1≠x2)的直线的斜率公式为k==.
3.直线方程
名称
几何条件
方 程
局限性
点斜式
过点(x0,y0),斜率为k
y-y0=k(x-x0)
不含垂直于x轴的直线
斜截式
斜率为k,纵截距为b
y=kx+b
不含垂直于x轴的直线
两点式
过两点(x1,y1),(x2,y2),(x1≠x2,y1≠y2)
=
不包括垂直于坐标轴的直线
截距式
在x轴、y轴上的截距分别为a,b(a,b≠0)
+=1
不包括垂直于坐标轴和过原点的直线
一般式
Ax+By+C=0(A,B不全为0)
1.利用两点式计算斜率时易忽视x1=x2时斜率k不存在的情况.
2.用直线的点斜式求方程时,在斜率k不明确的情况下,注意分k存在与不存在讨论,否则会造成失误.
3.直线的截距式中易忽视截距均不为0这一条件,当截距为0时可用点斜式.
4.由一般式Ax+By+C=0确定斜率k时易忽视判断B是否为0,当B=0时,k不存在;当B≠0时,k=-.
[试一试]
1.若直线(2m2+m-3)x+(m2-m)y=4m-1在x轴上的截距为1,则实数m是( )
A.1 B.2C.-D.2或-
解析:
选D 当2m2+m-3≠0时,即m≠1或m≠-时,在x轴上截距为=1,即2m2-3m-2=0,故m=2或m=-.
2.过点M(-2,m),N(m,4)的直线的斜率等于1,则m的值为________.
解析:
∵kMN==1,∴m=1.答案:
1
3.过点M(3,-4),且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程为________.
解析:
①若直线过原点,则k=-,所以y=-x,即4x+3y=0.
②若直线不过原点.设+=1,即x+y=a.则a=3+(-4)=-1,
所以直线的方程为x+y+1=0.答案:
4x+3y=0或x+y+1=0
1.求斜率可用k=tanα(α≠90°),其中α为倾斜角,由此可见倾斜角与斜率相互联系不可分割,牢记:
“斜率变化分两段,90°是分界线,遇到斜率要谨记,存在与否需讨论”.
2.求直线方程的一般方法
(1)直接法:
根据已知条件,选择适当的直线方程形式,直接写出直线方程,选择时,应注意各种形式的方程的适用范围,必要时要分类讨论.
(2)待定系数法,具体步骤为:
①设所求直线方程的某种形式;
②由条件建立所求参数的方程(组);
③解这个方程(组)求出参数;
④把参数的值代入所设直线方程.
[练一练]
1.直线xsinα+y+2=0的倾斜角的取值范围是( )
A.[0,π)B.∪C.D.∪
解析:
选B 设倾斜角为θ,则有tanθ=-sinα其中sinα∈[-1,1].又θ∈[0,π),∴0≤θ≤或≤θ<π.
2.过点(5,10)且到原点的距离是5的直线的方程为________.
解析:
当斜率不存在时,所求直线方程为x-5=0;当斜率存在时,设其为k,
则所求直线方程为y-10=k(x-5),即kx-y+(10-5k)=0.
由点到直线的距离公式,得=5,解得k=.故所求直线方程为3x-4y+25=0.
综上知,所求直线方程为x-5=0或3x-4y+25=0.答案:
x-5=0或3x-4y+25=0
考点一
直线的倾斜角与斜率
1.(2013·秦皇岛模拟)直线x+y+1=0的倾斜角是( )
A. B.C.D.
解析:
选D 由直线的方程得直线的斜率为k=-,设倾斜角为α,则tanα=-,又α∈[0,π),所以α=.
2.若直线l的斜率为k,倾斜角为α,而α∈∪则k的取值范围是________.
解析:
当α∈时,k=tanα∈;当α∈时,k=tanα∈.
综上k∈∪.答案:
∪
[类题通法]
1.求倾斜角的取值范围的一般步骤:
(1)求出斜率k=tanα的取值范围;
(2)利用三角函数的单调性,借助图像或单位圆数形结合,确定倾斜角α的取值范围.
2.求倾斜角时要注意斜率是否存在.
考点二
直线方程
[典例] 根据所给条件求直线的方程:
(1)直线过点(-4,0),倾斜角的正弦值为;
(2)直线过点(-3,4),且在两坐标轴上的截距之和为12.
[解]
(1)由题设知,该直线的斜率存在,故可采用点斜式.设倾斜角为α,则sinα=(0<α<π),从而cosα=±,则k=tanα=±.故所求直线方程为y=±(x+4).
即x+3y+4=0或x-3y+4=0.
(2)由题设知截距不为0,设直线方程为+=1,又因为直线过点(-3,4),
所以+=1,解得a=-4或a=9.
故所求直线方程为4x-y+16=0或x+3y-9=0.
[类题通法]
1.在求直线方程时,应选择适当的形式,并注意各种形式的适用条件.
2.对于点斜式、截距式方程使用时要注意分类讨论思想的运用.
[针对训练]
经过点P(-5,-4),且与两坐标轴围成的三角形的面积为5的直线方程是( )
A.8x+5y+20=0或2x-5y-12=0B.8x-5y-20=0或2x-5y+10=0
C.8x+5y+10=0或2x+5y-10=0D.8x-5y+20=0或2x-5y-10=0
解析:
选D 由题意设所求方程为y+4=k(x+5),即kx-y+5k-4=0.由·|5k-4|·|-5|=5得,k=或k=.
考点三
直线方程的综合应用
直线方程的综合应用是常考内容之一,它与函数、向量、不等式相结合,命题多为客观题.归纳起来常见的命题角度有:
(1)与基本不等式相结合求最值问题;
(2)直线方程与平面向量的综合应用.
角度一 与基本不等式相结合求最值问题
1.已知直线l过点M(1,1),且与x轴,y轴的正半轴分别相交于A,B两点,O为坐标原点.求:
(1)当|OA|+|OB|取得最小值时,直线l的方程;
(2)当|MA|2+|MB|2取得最小值时,直线l的方程.
解:
(1)设A(a,0),B(0,b)(a>0,b>0).设直线l的方程为+=1,则+=1,
所以|OA|+|OB|=a+b=(a+b)=2++≥2+2=4,
当且仅当a=b=2时取等号,此时直线l的方程为x+y-2=0.
(2)设直线l的斜率为k,则k<0,直线l的方程为y-1=k(x-1),
则A,B(0,1-k),所以|MA|2+|MB|2=2+12+12+(1-1+k)2=2+k2+≥2+2=4,当且仅当k2=,即k=-1时,|MA|2+|MB|2取得最小值4,此时直线l的方程为x+y-2=0.
角度二 直线方程与平面向量的综合
2.已知直线l过点M(2,1),且与x轴,y轴的正半轴分别相交于A,B两点,O为坐标原点.求当
·
取得最小值时,直线l的方程.
解:
设A(a,0),B(0,b)则a>0,b>0,直线l的方程为+=1,所以+=1.故
·
=-
·
=-(a-2,-1)·(-2,b-1)=2(a-2)+b-1=2a+b-5=(2a+b)-5=+≥4,当且仅当a=b=3时取等号,此时直线l的方程为x+y-3=0.
[类题通法]
1.含有参数的直线方程可看作直线系方程,这时要能够整理成过两条定直线交点的直线系,即能够看出“动中有定”.
2.求解与直线方程有关的最值问题,选设出直线方程,建立目标函数,再利用基本不等式求解最值.
第二节两直线的位置关系
1.两直线的位置关系
斜截式
一般式
方程
y=k1x+b1
y=k2x+b2
A1x+B1y+C1=0(A+B≠0)
A2x+B2y+C2=0(A+B≠0)
相交
k1≠k2
A1B2-A2B1≠0
垂
直
k1=-或
k1k2=-1
A1A2+B1B2=0
平
行
k1=k2
且b1≠b2
或
2.两直线的交点
设两条直线的方程是l1:
A1x+B1y+C1=0,l2:
A2x+B2y+C2=0,两条直线的交点坐标就是方程组的解,若方程组有唯一解,则两条直线相交,此解就是交点坐标;若方程组无解,则两条直线无公共点,此时两条直线平行;反之,亦成立.
3.几种距离
(1)两点间的距离:
平面上的两点A(x1,y1),B(x2,y2)间的距离公式
d(A,B)=|AB|=.
(2)点到直线的距离:
点P(x1,y1)到直线l:
Ax+By+C=0的距离d=.
(3)两条平行线间的距离:
两条平行线Ax+By+C1=0与Ax+By+C2=0间的距离d=.
1.在判断两直线的位置关系时,易忽视斜率是否存在,两条直线都有斜率可据条件进行判断,若无斜率,要单独考虑.
2.运用两平行直线间的距离公式时易忽视两方程中的x,y的系数分别相等这一条件盲目套用公式导致出错.
[试一试]
1.(2013·长春调研)已知直线3x+4y-3=0与直线6x+my+14=0平行,则它们之间的距离是( )
A. B.C.8D.2
解析:
选D ∵=≠,∴m=8,直线6x+my+14=0可化为3x+4y+7=0,两平行线之间的距离d==2.
2.已知p:
直线l1:
x-y-1=0与直线l2:
x+ay-2=0平行,q:
a=-1,则p是q的
A.充要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件
解析:
选A 由于直线l1:
x-y-1=0与直线l2:
x+ay-2=0平行的充要条件是1×a-(-1)×1=0,即a=-1.
1.与已知直线垂直及平行的直线系的设法
与直线Ax+By+C=0(A2+B2≠0)垂直和平行的直线方程可设为:
(1)垂直:
Bx-Ay+m=0;
(2)平行:
Ax+By+n=0.
2.转化思想在对称问题中的应用
对称问题一般是将线与线的对称转化为点与点的对称,利用坐标转移法.
[练一练]
1.点(2,3)关于直线x+y+1=0的对称点是________.
解析:
设对称点为(a,b),则解得
答案:
(-4,-3)
2.(2014·张家口质检)已知直线l过点(-1,2)且与直线2x-3y+4=0垂直,则直线l的方程为________.
解析:
由直线l与直线2x-3y+4=0垂直,可知直线l的斜率是-,由点斜式可得直线l的方程为y-2=-(x+1),即3x+2y-1=0.答案:
3x+2y-1=0
考点一
两直线平行与垂直
1.已知过点A(-2,m)和点B(m,4)的直线为l1,直线2x+y-1=0为l2,直线x+ny+1=0为l3.若l1∥l2,l2⊥l3,则实数m+n的值为( )
A.-10 B.-2C.0D.8
解析:
选A ∵l1∥l2,∴kAB==-2.解得m=-8.
又∵l2⊥l3,∴-×(-2)=-1,解得n=-2,∴m+n=-10.
2.“a=2”是“直线ax+2y=0与直线x+y=1平行”的( )
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
解析:
选C 当a=2时,直线ax+2y=0即x+y=0与直线x+y=1平行;当直线ax+2y=0与直线x+y=1平行时,-=-1,a=2.综上所述,“a=2”是“直线ax+2y=0与直线x+y=1平行”的充要条件,故选C.
3.经过两直线l1:
x-2y+4=0和l2:
x+y-2=0的交点P,且与直线l3:
3x-4y+5=0垂直的直线l的方程为________.
解析:
法一 由方程组得即P(0,2).
∵l⊥l3,∴直线l的斜率k1=-,∴直线l的方程为y-2=-x,即4x+3y-6=0.
法二 ∵直线l过直线l1和l2的交点,∴可设直线l的方程为x-2y+4+λ(x+y-2)=0,
即(1+λ)x+(λ-2)y+4-2λ=0.∵l与l3垂直,∴3(1+λ)+(-4)(λ-2)=0,∴λ=11,
∴直线l的方程为12x+9y-18=0,即4x+3y-6=0.答案:
4x+3y-6=0
[类题通法]
充分掌握两直线平行与垂直的条件是解决本题的关键,对于斜率都存在且不重合的两条直线l1和l2,l1∥l2⇔k1=k2,l1⊥l2⇔k1·k2=-1.若有一条直线的斜率不存在,那么另一条直线的斜率是多少一定要特别注意.
考点二
距离问题
[典例] 已知A(4,-3),B(2,-1)和直线l:
4x+3y-2=0,在坐标平面内求一点P,使|PA|=|PB|,且点P到直线l的距离为2.
解:
设点P的坐标为(a,b).∵A(4,-3),B(2,-1),
∴线段AB的中点M的坐标为(3,-2).而AB的斜率kAB==-1,
∴线段AB的垂直平分线方程为y+2=x-3,即x-y-5=0.
∵点P(a,b)在直线x-y-5=0上,∴a-b-5=0.①
又点P(a,b)到直线l:
4x+3y-2=0的距离为2,∴=2,
即4a+3b-2=±10,②由①②联立可得或
∴所求点P的坐标为(1,-4)或.
[类题通法]
1.点到直线的距离问题可直接代入点到直线的距离公式去求.注意直线方程为一般式.
2.动点到两定点距离相等,一般不直接利用两点间距离公式处理,而是转化为动点在两定点所在线段的垂直平分线上,从而计算简便,如本例中|PA|=|PB|这一条件的转化处理.
[针对训练]
与直线7x+24y-5=0平行,并且到它的距离等于3的直线方程是______________________.
解析:
设所求直线方程为7x+24y+m=0,由3=,
∴m=70或-80.答案:
7x+4y-80=0或7x+24y+70=0
考点三
对称问题
对称问题是高考常考内容之一,也是考查学生转化能力的一种常见题型.归纳起来常见的命题角度有:
(1)点关于点对称;
(2)点关于线对称;(3)线关于线对称;(4)对称问题的应用.
角度一 点关于点的对称
1.过点P(0,1)作直线l使它被直线l1:
2x+y-8=0和l2:
x-3y+10=0截得的线段被点P平分,求直线l的方程.
解:
设l1与l的交点为A(a,8-2a),则由题意知,点A关于点P的对称点B(-a,2a-6)在l2上,代入l2的方程得-a-3(2a-6)+10=0,解得a=4,即点A(4,0)在直线l上,
所以直线l的方程为x+4y-4=0.
角度二 点关于线对称
2.已知直线l:
2x-3y+1=0,点A(-1,-2),求点A关于直线l的对称点A′的坐标.
解:
设A′(x,y),再由已知得解得
故A′.
角度三 线关于线对称
3.在[角度二]的条件下,求直线m:
3x-2y-6=0关于直线l的对称直线m′的方程.
解:
在直线m上取一点,如M(2,0),则M(2,0)关于直线l的对称点M′必在直线m′上.
设对称点M′(a,b),则得M′.
设直线m与直线l的交点为N,则由得N(4,3).又∵m′经过点N(4,3),
∴由两点式得直线m′的方程为9x-46y+102=0.
角度四 对称问题的应用
4.光线从A(-4,-2)点射出,到直线y=x上的B点后被直线y=x反射到y轴上的C点,又被y轴反射,这时反射光线恰好过点D(-1,6),求BC所在的直线方程.
解:
作出草图,如图所示,设A关于直线y=x的对称点为A′,D关于y轴的对称点为D′,则易得A′(-2,-4),D′(1,6).由入射角等于反射角可得A′D′所在直线经过点B与C.
故BC所在的直线方程为=,即10x-3y+8=0.
[类题通法]
解决对称问题的方法
(1)中心对称
①点P(x,y)关于O(a,b)的对称点P′(x′,y′)满足
②直线关于点的对称可转化为点关于点的对称问题来解决.
(2)轴对称
①点A(a,b)关于直线Ax+By+C=0(B≠0)的对称点A′(m,n),则有
②直线关于直线的对称可转化为点关于直线的对称问题来解决.
第三节圆的方程
1.圆的定义及方程
定义
平面内与定点的距离等于定长的点的集合(轨迹)
标准
方程
(x-a)2+(y-b)2=r2
(r>0)
圆心:
(a,b),半径:
r
一般
方程
x2+y2+Dx+Ey+F=0
(D2+E2-4F>0)
圆心:
,
半径:
2.点与圆的位置关系
点M(x0,y0)与圆(x-a)2+(y-b)2=r2的位置关系:
(1)若M(x0,y0)在圆外,则(x0-a)2+(y0-b)2>r2.
(2)若M(x0,y0)在圆上,则(x0-a)2+(y0-b)2=r2.
(3)若M(x0,y0)在圆内,则(x0-a)2+(y0-b)2 对于方程x2+y2+Dx+Ey+F=0表示圆时易忽视D2+E2-4F>0这一成立条件. [试一试] 方程x2+y2+4mx-2y+5m=0表示圆的充要条件是( ) A.<m<1 B.m<或m>1C.m<D.m>1 解析: 选B 由(4m)2+4-4×5m>0知m<或m>1. 1.确定一个圆的方程,需要三个独立条件.“选形式、定参数”是求圆的方程的基本方法: 是指根据题设条件恰当选择圆的方程的形式,进而确定其中的三个参数. 2.求圆的方程时,要注意应用圆的几何性质简化运算. (1)圆心在过切点且与切线垂直的直线上. (2)圆心在任一弦的中垂线上. (3)两圆内切或外切时,切点与两圆圆心三点共线. [练一练] 1.圆心在y轴上且通过点(3,1)的圆与x轴相切,则该圆的方程是( ) A.x2+y2+10y=0B.x2+y2-10y=0C.x2+y2+10x=0D.x2+y2-10x=0 解析: 选B 设圆心为(0,b),半径为r,则r=|b|,∴圆的方程为x2+(y-b)2=b2. ∵点(3,1)在圆上,∴9+(1-b)2=b2,解得: b=5.∴圆的方程为x2+y2-10y=0. 2.以直线3x-4y+12=0夹在两坐标轴间的线段为直径的圆的方程为______________. 解析: 法一: 直线3x-4y+12=0与两坐标轴的交点分别为A(-4,0),B(0,3), 所以线段AB的中点为C,|AB|=5.故所求圆的方程为(x+2)2+2=2. 法二: 易得圆的直径的两端点为A(-4,0),B(0,3),设P(x,y)为圆上任一点,则PA⊥PB. ∴kPA·kPB=-1得·=-1(x≠-4,x≠0),即x(x+4)+y(y-3)=0. 化简得(x+2)2+2=2.答案: (x+2)2+2= 考点一 圆的方程 1.圆心在y轴上,半径为1,且过点(1,2)的圆的方程为( ) A.x2+(y-2)2=1 B.x2+(y+2)2=1 C.(x-1)2+(y-3)2=1D.x2+(y-3)2=1 解析: 选A 设圆心坐标为(0,b),则由题意知=1,解得b=2,故圆的方程为x2+(y-2)2=1. 2.经过点(1,0),且圆心是两直线x=1与x+y=2的交点的圆的方程为( ) A.(x-1)2+y2=1B.(x-1)2+(y-1)2=1C.x2+(y-1)2=1D.(x-1)2+(y-1)2=2 解析: 选B 由得即所求圆的圆心坐标为(1,1),又由该圆过点(1,0),得其半径为1,故圆的方程为(x-1)2+(y-1)2=1. 3.过直线2x+y+4=0和圆(x+1)2+(y-2)2=4的交点,并且面积最小的圆的方程为 A.x2+y2+x-y+=0B.x2+y2+x-y-=0 C.x2+y2-x-y+=0D.x2+y2-x-y-=0 解析: 选A 设所求圆的方程为(x+1)2+(y-2)2-4+k(2x+y+4)=0,即x2+y2+2(k+1)x+(k-4)y+1+4k=0,化为圆的标准方程得[x+(k+1)]2+2=(k+1)2+(k-4)2-(4k+1),由(k+1)2+(k-4)2-(1+4k)>0,得5k2-16k+16>0,此时,所求圆的半径r==. 显然,当k=-,即k=时,5k2-16k+16有最小值,此时,圆的半径最小,从而面积最小.故所求的圆的方程为x2+y2+x-y+=0. [类题通法] 1.利用待定系数法求圆的方程关键是建立关于a,b,r或D,E,F的方程组. 2.利用圆的几何性质求方程可直接求出圆心坐标和半径,进而写出方程,体现了数形结合思想的运用. 考点二 与圆有关的最值问题 与圆有关的最值问题也是命题的热点内容,它着重考查数形结合与转化思想.归纳起来常见的命题角度有: (1)斜率型最值问题; (2)截距型最值问题;(3)距离型最值问题;(4)利用对称性求最值. 角度一 斜率型最值问题 1.已知实数x,y满足方程x2+y2-4x+1=0.求的最大值和最小值. 解: 原方程可化为(x-2)2+y2=3,表示以(2,0)为圆心,为半径的圆. 的几何意义是圆上一点与原点连线的斜率,所以设=k,即y=kx. 当直线y=kx与圆相切时,斜率k取最大值或最小值,此时=,解得k=±.(如图)所以的最大值为,最小值为-. 角度二 截距型最值问题 2.在[角度一]条件下求y-x的最大值和最小值. 解: y-x可看作是直线y=x+b在y轴上的截距,当直线y=x+b与圆相切时,纵截距b取得最大值或最小值,此时=,解得b=-2±.(如图)所以y-x的最大值为-2+,最小值为-2-. 角度三 距离型最值问题 3.在[角度一]条件下求x2+y2的最大值和最小值. 解: x2+y2表示圆上的一点与原点距离的平方,由平面几何知识知,在原点和圆心连线与圆的两个交点处取得最大值和最小值.(如图) 又圆心到原点的距离为=2, 所以x2+y2的最大值是(2+)2=7+4,x2+y2的最小值是2=7-4. 角度四 利用对称性求最值 4.(2013·重庆高考)已知圆C1: (x-2)2+(y-3)2=1,圆C2: (x-3)2+(y-4)2=9,M,N分别是圆C1,C2上的动点,P为x轴上的动点,则|PM|+|PN|的最小值为( ) A.5-4B.-1C.6-2D. 解析: 选A 两圆的圆心均在第一象限,先求|PC1|+|PC2|的最小值,作点C1关于x轴的对称点C(2,-3),则(|PC1|+|PC2|)min=|CC2|=5,所以(|PM|+|PN|)min=5-(1+3)=5-4. [类题通法] 数形结合法求解与圆有关的最值问题 (1)形如t=形式的最值问题,可转化为动直线斜率的最值问题; (2)形如t=ax+by形式的最值问题,可转化为动直线截距的最值问题; (3)形如t=(x-a)2+(y-b)2形式的最值问题,可转化为动点到定点的距离的最值问题. 考点三 与圆有关的轨迹问题 [典例] (2013·全国课标卷Ⅱ)在平面直角坐标系xOy中,已知圆P在x轴上截得线段长为2,在y轴上截得线段长为2. (1)求圆心P的轨迹方程; (2)若P点到直线y=x的距离
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