届高三数学一轮复习导学案教师讲义第4章第5讲 三角函数的图象与性质.docx
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第5讲 三角函数的图象与性质
1.用五点法作正弦函数和余弦函数的简图
(1)正弦函数y=sinx,x∈[0,2π]的图象中,五个关键点是:
(0,0),,(π,0),,(2π,0).
(2)余弦函数y=cosx,x∈[0,2π]的图象中,五个关键点是:
(0,1),,(π,-1),,(2π,1).
2.正弦、余弦、正切函数的图象与性质
函数
y=sinx
y=cosx
y=tanx
图象
定义域
R
R
{x|x∈R且x≠kπ+,k∈Z}
值域
[-1,1]
[-1,1]
R
周期性
2π
2π
π
奇偶性
奇函数
偶函数
奇函数
单调性
在(k∈Z)上增;
在(k∈Z)上减
在[2kπ,2kπ+π](k∈Z)上减;在[2kπ-π,2kπ](k∈Z)上增
在(k∈Z)上增
对称中心
(kπ,0)(k∈Z)
(k∈Z)
(k∈Z)
对称轴
x=kπ+(k∈Z)
x=kπ(k∈Z)
无
判断正误(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)y=sinx在第一、第四象限是增函数.( )
(2)常数函数f(x)=a是周期函数,它没有最小正周期.( )
(3)正切函数y=tanx在定义域内是增函数.( )
(4)已知y=ksinx+1,x∈R,则y的最大值为k+1.( )
(5)y=sin|x|是偶函数.( )
(6)若sinx>,则x>.( )
答案:
(1)×
(2)√ (3)× (4)× (5)√ (6)×
(2017·高考全国卷Ⅱ)函数f(x)=sin的最小正周期为( )
A.4π B.2π
C.πD.
解析:
选C.依题意得,函数f(x)=sin(2x+)的最小正周期T==π,选C.
函数y=tan3x的定义域为( )
A.B.
C.D.
解析:
选D.由3x≠+kπ(k∈Z),得x≠+,k∈Z.故选D.
(教材习题改编)函数f(x)=3sin(2x-)在区间上的值域为( )
A.B.
C.D.
解析:
选B.因为x∈,
所以2x-∈.
所以3sin∈.
函数y=sin的对称轴为________,对称中心为________.
解析:
由x-=+kπ,得x=π+kπ,
由x-=kπ,得x=+kπ.
故函数y=sin的对称轴为x=π+kπ,k∈Z;
对称中心为,k∈Z.
答案:
x=π+kπ,k∈Z ,k∈Z
已知函数f(x)=4sin,x∈[-π,0],则f(x)的单调递增区间是________.
解析:
由-+2kπ≤2x-≤+2kπ(k∈Z)
得-+kπ≤x≤π+kπ(k∈Z),
又因为x∈[-π,0],
所以f(x)的增区间为和.
答案:
和
三角函数的定义域和值域
[典例引领]
(1)函数y=的定义域为________.
(2)当x∈时,函数y=3-sinx-2cos2x的值域为________.
【解析】
(1)利用三角函数线,画出满足条件的终边范围(如图阴影部分所示),所以定义域为.
(2)因为x∈,所以sinx∈.
又y=3-sinx-2cos2x
=3-sinx-2(1-sin2x)
=2+.
所以当sinx=时,ymin=,
当sinx=-或sinx=1时,ymax=2.
即函数值域为.
【答案】
(1)
(2)
(1)三角函数定义域的求法
求三角函数定义域实际上是构造简单的三角不等式(组),常借助三角函数线或三角函数图象来求解.
(2)三角函数值域的不同求法
①利用sinx和cosx的值域直接求.
②把所给的三角函数式变换成y=Asin(ωx+φ)的形式求值域.
③把sinx或cosx看作一个整体,转换成二次函数求值域.
④利用sinx±cosx和sinxcosx的关系转换成二次函数求值域.
[通关练习]
1.函数y=2sin(0≤x≤9)的最大值与最小值之和为( )
A.2- B.0
C.-1D.-1-
解析:
选A.因为0≤x≤9,
所以-≤-≤,
所以sin∈.
所以y∈[-,2],所以ymax+ymin=2-.
2.函数y=的定义域为________.
解析:
要使函数有意义,必须有
即故函数的定义域为.
答案:
3.函数y=sinx+cosx+sinxcosx的值域为________.
解析:
设t=sinx+cosx,
则sinxcosx=(-≤t≤),
y=t+t2-=(t+1)2-1,
当t=时,y取最大值为+,
当t=-1时,y取最小值为-1.
所以函数值域为.
答案:
三角函数的单调性(高频考点)
三角函数的单调性是每年高考命题的热点,题型既有选择题也有填空题,或解答题某一问出现,多为中档题.主要命题角度有:
(1)确定三角函数的单调性(单调区间);
(2)已知三角函数的单调区间求参数.
[典例引领]
角度一 确定三角函数的单调性(单调区间)
(1)y=sin的单调递减区间为________.
(2)函数y=|tanx|的单调递增区间为________,递减区间为________.
【解析】
(1)y=-sin的减区间是y=sin的增区间.
由2kπ-≤2x-≤2kπ+,k∈Z,
得kπ-≤x≤kπ+,k∈Z.
故所给函数的减区间为,k∈Z.
(2)作出函数y=|tanx|的图象,如图,
观察图象可知,函数y=|tanx|的单调递增区间为,k∈Z;单调递减区间为,k∈Z.
【答案】
(1),k∈Z
(2),k∈Z ,k∈Z
角度二 已知三角函数的单调区间求参数
已知ω>0,函数f(x)=sin在上是减函数,则ω的取值范围是________.
【解析】 由 由题意知⊆(k∈Z)且≥2×, 则且0<ω≤2, 故≤ω≤. 【答案】 三角函数单调性问题的解题策略 (1)已知三角函数的解析式求单调区间 ①求函数的单调区间应遵循简单化原则,将解析式先化简,并注意复合函数单调性规律“同增异减”;②求形如y=Asin(ωx+φ)或y=Acos(ωx+φ)(其中ω>0)的单调区间时,要视“ωx+φ”为一个整体,通过解不等式求解.但如果ω<0,那么一定先借助诱导公式将ω化为正数,防止把单调性弄错. (2)已知三角函数的单调区间求参数 先求出函数的单调区间,然后利用集合间的关系求解. [通关练习] 1.函数f(x)=tan的单调递增区间是( ) A.(k∈Z) B.(k∈Z) C.(k∈Z) D.(k∈Z) 解析: 选B.由kπ-<2x- 所以函数f(x)=tan的单调递增区间为(k∈Z),故选B. 2.若函数f(x)=sinωx(ω>0)在区间上单调递增,在区间上单调递减,则ω等于( ) A.B. C.2D.3 解析: 选B.因为f(x)=sinωx(ω>0)过原点, 所以当0≤ωx≤,即0≤x≤时, y=sinωx是增函数; 当≤ωx≤,即≤x≤时,y=sinωx是减函数. 由f(x)=sinωx(ω>0)在上单调递增, 在上单调递减,知=,所以ω=. 三角函数的奇偶性、周期性、对称性(高频考点) 三角函数的奇偶性、周期性及对称性是高考考查的重点,主要涉及性质的判断及应用,题型多为选择题、填空题,难度适中.主要命题角度有: (1)三角函数的奇偶性与周期性; (2)三角函数的对称性. [典例引领] 角度一 三角函数的奇偶性与周期性 (1)函数f(x)=2cos2-1是( ) A.最小正周期为π的奇函数 B.最小正周期为π的偶函数 C.最小正周期为的奇函数 D.最小正周期为的偶函数 (2)若函数f(x)=sin(φ∈[0,2π])是偶函数,则φ=________. (3)若函数f(x)=2tan的最小正周期T满足1<T<2,则自然数k的值为________. 【解析】 (1)因为f(x)=2cos2-1 =cos=cos=sin2x. 所以T==π,f(x)=sin2x是奇函数. 故函数f(x)是最小正周期为π的奇函数. (2)由已知f(x)=sin是偶函数,可得=kπ+,k∈Z,即φ=3kπ+(k∈Z),又φ∈[0,2π],所以φ=. (3)由题意知1<<2, 所以k<π<2k. 即<k<π,又k∈N, 所以k=2或3. 【答案】 (1)A (2)π (3)2或3 角度二 三角函数的对称性 (1)若函数y=cos(ω∈N*)图象的一个对称中心是,则ω的最小值为( ) A.1B.2 C.4D.8 (2)已知函数y=2sin的图象关于点P(x0,0)对称,若x0∈,则x0=________. 【解析】 (1)由题意知+=kπ+(k∈Z)⇒ω=6k+2(k∈Z), 又ω∈N*,所以ωmin=2,故选B. (2)由题意可知2x0+=kπ,k∈Z, 故x0=-,k∈Z, 又x0∈, 所以-≤k≤,k∈Z, 所以k=0,则x0=-. 【答案】 (1)B (2)- 三角函数的奇偶性、对称性和周期问题的解题思路 (1)奇偶性的判断方法: 三角函数中奇函数一般可化为y=Asinωx或y=Atanωx的形式,而偶函数一般可化为y=Acosωx+b的形式. (2)周期的计算方法: 利用函数y=Asin(ωx+φ),y=Acos(ωx+φ)(ω>0)的最小正周期为,函数y=Atan(ωx+φ)(ω>0)的最小正周期为求解. (3)解决对称性问题的关键: 熟练掌握三角函数的对称轴、对称中心. [注意] 对于函数y=Asin(ωx+φ),其对称轴一定经过图象的最高点或最低点,对称中心的横坐标一定是函数的零点,因此在判断直线x=x0或点(x0,0)是否是函数的对称轴或对称中心时,可通过检验f(x0)的值进行判断. [通关练习] 1.(2017·高考全国卷Ⅲ)设函数f(x)=cos(x+),则下列结论错误的是( ) A.f(x)的一个周期为-2π B.y=f(x)的图象关于直线x=对称 C.f(x+π)的一个零点为x= D.f(x)在单调递减 解析: 选D.根据函数解析式可知函数f(x)的最小正周期为2π,所以函数的一个周期为-2π,A正确;当x=时,x+=3π,所以cos=-1,所以B正确;f(x+π)=cos=cos,当x=时,x+=,所以f(x+π)=0,所以C正确;函数f(x)=cos在上单调递减,在上单调递增,故D不正确.所以选D. 2.已知函数f(x)=2sin,若对任意的实数x,总有f(x1)≤f(x)≤f(x2),则|x1-x2|的最小值是( ) A.2B.4 C.πD.2π 解析: 选A.由题意可得|x1-x2|的最小值为半个周期,即==2. 3.已知函数f(x)=2cos(ωx+φ)+b对任意实数x有f=f(-x)恒成立,且f=1,则实数b的值为( ) A.-1B.3 C.-1或3D.-3 解析: 选C.由f=f(-x)可知函数f(x)=2cos(ωx+φ)+b关于直线x=对称,又函数f(x)在对称轴处取得最值,故±2+b=1,所以b=-1或b=3. 三角函数性质的处理方法 (1)讨论三角函数的性质,要把三角函数式化成y=Asin(ωx+φ)(ω>0)的形式. (2)函数y=Asin(ωx+φ)和y=Acos(ωx+φ)的最小正周期为,y=tan(ωx+φ)的最小正周期为. (3)若f(x)=Asin(ωx+φ)(A,ω,φ为常数,A≠0)为偶函数,则φ=kπ+(k∈Z),同时当x=0时,f(x)取得最大值或最小值.若f(x)=Asin(ωx+φ)为奇函数,则φ=kπ(k∈Z),同时当x=0时,f(x)=0. (4)对于函数的性质(定义域、值域、单调性、对称性、最值等)可以通过换元的方法令t=ωx+φ,将其转化为研究y=sint(或y=cost)的性质. 解决三角函数性质问题的注意点 (1)闭区间上最值或值域问题,首先要在定义域基础上分析单调性;含参数的最值问题,要讨论参数对最值的影响. (2)要注意求函数y=Asin(ωx+φ)的单调区间时A和ω的符号,尽量化成ω>0时情况,避免出现增减区间的混淆. (3)求三角函数的单调区间时,当单调区间有无穷多个时,别忘了注明k∈Z. (4)对于y=tanx不能认为其在定义域上为增函数,而是在每个区间(kπ-,kπ+)(k∈Z)内为增函数. 1.下列函数中,最小正周期为π且图象关于原点对称的函数是( ) A.y=cos B.y=sin C.y=sin2x+cos2x D.y=sinx+cosx 解析: 选A.y=cos=-sin2x,最小正周期T==π,且为奇函数,其图象关于原点对称,故A正确;y=sin=cos2x,最小正周期为π,且为偶函数,其图象关于y轴对称,故B不正确;C、D均为非奇非偶函数,其图象不关于原点对称,故C、D不正确. 2.函数y=的定义域为( ) A. B.,k∈Z C.,k∈Z D.R 解析: 选C.由cosx-≥0,得cosx≥,所以2kπ-≤x≤2kπ+,k∈Z. 3.若函数f(x)=sin-cos的图象关于原点对称,则角θ=( ) A.- B. C.-D. 解析: 选D.因为f(x)=2sin,且f(x)的图象关于原点对称,所以f(0)=2sin=0,即sin=0, 所以θ-=kπ(k∈Z),即θ=+kπ(k∈Z). 又|θ|<,所以θ=. 4.函数y=tanx+sinx-|tanx-sinx|在区间内的图象是( ) 解析: 选D.y=tanx+sinx-|tanx-sinx|=结合选项图形知,D正确. 5.(2018·广州综合测试 (一))已知函数f(x)=sin(ωx+φ)+cos(ωx+φ)(ω>0,0<φ<π)是奇函数,直线y=与函数f(x)的图象的两个相邻交点的横坐标之差的绝对值为,则( ) A.f(x)在上单调递减 B.f(x)在上单调递减 C.f(x)在上单调递增 D.f(x)在上单调递增 解析: 选D.f(x)=sin(ωx+φ)+cos(ωx+φ)=sin,因为0<φ<π且f(x)为奇函数,所以φ=,即f(x)=-sinωx,又直线y=与函数f(x)的图象的两个相邻交点的横坐标之差的绝对值为,所以函数f(x)的最小正周期为,由=,可得ω=4,故f(x)=-sin4x,由2kπ+≤4x≤2kπ+,k∈Z,即+≤x≤+,k∈Z,令k=0,得≤x≤,此时f(x)在上单调递增,故选D. 6.已知函数f(x)=-2sin(2x+φ)(|φ|<π),若f=-2,则f(x)的单调递减区间是________. 解析: 当x=时,f(x)有最小值-2, 所以2×+φ=-+2kπ, 即φ=-π+2kπ,k∈Z, 又因为|φ|<π, 所以φ=-π. 所以f(x)=-2sin(2x-π). 由-+2kπ≤2x-π≤+2kπ, 得+kπ≤x≤π+kπ,k∈Z, 所以函数f(x)的单调递减区间为,k∈Z. 答案: ,k∈Z 7.若函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0且|φ|<)在区间上是单调减函数,且函数值从1减少到-1,则f等于________. 解析: 由题意知,k∈Z, 解之得ω=2,φ=+2kπ, 又因为|φ|<, 所以φ=. 所以f(x)=sin. 所以f=sin=cos=. 答案: 8.已知函数f(x)=3sin(ω>0)和g(x)=3·cos(2x+φ)的图象的对称中心完全相同,若x∈,则f(x)的取值范围是________. 解析: 由两三角函数图象的对称中心完全相同,可知两函数的周期相同,故ω=2,所以f(x)=3sin,当x∈时,-≤2x-≤,所以-≤sin≤1,故f(x)∈. 答案: 9.(2017·高考北京卷)已知函数f(x)=cos-2sinxcosx. (1)求f(x)的最小正周期; (2)求证: 当x∈时,f(x)≥-. 解: (1)f(x)=cos2x+sin2x-sin2x =sin2x+cos2x=sin(2x+). 所以f(x)的最小正周期T==π. (2)证明: 因为-≤x≤, 所以-≤2x+≤. 所以sin(2x+)≥sin(-)=-. 所以当x∈[-,]时,f(x)≥-. 10.(2016·高考北京卷)已知函数f(x)=2sinωxcosωx+cos2ωx(ω>0)的最小正周期为π. (1)求ω的值; (2)求f(x)的单调递增区间. 解: (1)因为f(x)=2sinωxcosωx+cos2ωx =sin2ωx+cos2ωx=sin(2ωx+), 所以f(x)的最小正周期T==. 依题意,=π, 解得ω=1. (2)由 (1)知f(x)=sin(2x+). 函数y=sinx的单调递增区间为[2kπ-,2kπ+](k∈Z). 由2kπ-≤2x+≤2kπ+(k∈Z), 得kπ-≤x≤kπ+(k∈Z). 所以f(x)的单调递增区间为[kπ-,kπ+](k∈Z). 1.(2018·惠州第三次调研)函数y=cos2x+2sinx的最大值为( ) A.B.1 C.D.2 解析: 选C.y=cos2x+2sinx=-2sin2x+2sinx+1. 法一: 设t=sinx(-1≤t≤1),则原函数可以化为y=-2t2+2t+1=-2+,所以当t=时,函数取得最大值. 法二: 设t=sinx(-1≤t≤1),则原函数可以化为y=-2t2+2t+1,y′=-4t+2.当≤t≤1时,y′≤0;当-1≤t≤时,y′≥0.当t=时y取得最小值,ymin=-2×+2×+1=,选C. 2.(2018·石家庄质量检测 (一))若函数f(x)=sin(2x+θ)+cos(2x+θ)(0<θ<π)的图象关于对称,则函数f(x)在上的最小值是( ) A.-1B.- C.-D.- 解析: 选B.f(x)=sin(2x+θ)+cos(2x+θ)=2sin,则由题意,知f=2sin=0,又0<θ<π,所以θ=,所以f(x)=-2sin2x,f(x)在上是减函数,所以函数f(x)在上的最小值为f=-2sin=-,故选B. 3.已知函数f(x)=2sinωx在区间上的最小值为-2,则ω的取值范围是( ) A.∪[6,+∞) B.∪ C.(-∞,-2]∪[6,+∞) D.(-∞,-2]∪ 解析: 选D.法一: 易知当ω=0时不符合题意.当ω>0时,-ω≤ωx≤ω,可知-ω≤-,即ω≥;当ω<0时,ω≤ωx≤-ω,可知ω≤-,即ω≤-2.综上,ω的取值范围是(-∞,-2]∪,故选D. 法二: 取ω=2,则函数f(x)=2sin2x,根据2x∈知当2x=-时,f(x)取得最小值-2,满足条件,排除A,C;取ω=-3,则函数f(x)=2sin(-3x)=-2sin3x,根据3x∈知当3x=时,f(x)取得最小值-2,满足条件,排除B,故选D. 4.(2018·成都第二次诊断检测)已知函数f(x)=sin(ωx+2φ)-2sinφcos(ωx+φ)(ω>0,φ∈R)在上单调递减,则ω的取值范围是( ) A.(0,2]B. C.D. 解析: 选C.f(x)=sin(ωx+φ+φ)-2sinφcos(ωx+φ)=cosφsin(ωx+φ)-sinφcos(ωx+φ)=sinωx,+2kπ≤ωx≤+2kπ,k∈Z⇒+≤x≤+,k∈Z,所以函数f(x)的单调递减区间为,k∈Z, 所以+≤π<≤+,k∈Z,由+≤π,可得+2k≤ω,k∈Z,由≤+,k∈Z,可得ω≤1+,k∈Z,所以+2k≤ω≤1+,k∈Z,又≥-π=,所以≥π,因为ω>0,所以0<ω≤2,所以当k=0时,≤ω≤1.故选C. 5.设函数f(x)=sin2ωx+2sinωx·cosωx-cos2ωx+λ(x∈R)的图象关于直线x=π对称.其中ω,λ为常数,且ω∈. (1)求函数f(x)的最小正周期; (2)若y=f(x)的图象经过点,求函数f(x)的值域. 解: (1)因为f(x)=sin2ωx-cos2ωx+2sinωx·cosωx+λ =-cos2ωx+sin2ωx+λ=2sin+λ, 由直线x=π是y=f(x)图象的一条对称轴, 可得sin=±1, 所以2ωπ-=kπ+(k∈Z), 即ω=+(k∈Z). 又ω∈,k∈Z, 所以k=1,故ω=. 所以f(x)的最小正周期是. (2)由y=f(x)的图象过点, 得f=0, 即λ=-2sin=-2sin=-, 即λ=-. 故f(x)=2sin-, 函数f(x)的值域为[-2-,2-]. 6.已知a>0,函数f(x)=-2asin+2a+b,当x∈时,-5≤f(x)≤1. (1)求常数a,b的值; (2)设g(x)=f且lgg(x)>0,求g(x)的单调区间. 解: (1)因为x∈,所以2x+∈. 所以sin∈, 所以-2asin∈[-2a,a]. 所以f(x)∈[b,3a+b], 又因为-5≤f(x)≤1, 所以b=-5,3a+b=1,因此a=2,b=-5. (2)由 (1)得, f(x)=-4sin-1, g(x)=f=-4sin-1 =4sin-1, 又由lgg(x)>0,得g(x)>1, 所以4sin-1>1,所以sin>, 所以2kπ+<2x+<2kπ+,k∈Z, 其中当2kπ+<2x+≤2kπ+,k∈Z时,g(x)单调递增,即kπ 所以g(x)的单调增区间为,k∈Z. 又因为当2kπ+<2x+<2kπ+,k∈Z时, g(x)单调递减, 即kπ+ 所以g(x)的单调减区间为,k∈Z.
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