大学物理学第版修订版北京邮电大学出版社下册习题答案docx.docx
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习题9
9.1选择题
(1)正方形的两对角线处各放置电荷Q,另两对角线各放置电荷q,若Q所受到合力为零,则Q与q的关系为:
()
(A)Q=-23/2q(B)Q=23/2q(C)Q=-2q(D)Q=2q
[答案:
A]
(2)下面说法正确的是:
()
(A)若高斯面上的电场强度处处为零,则该面内必定没有电荷;
(B)若高斯面内没有电荷,则该面上的电场强度必定处处为零;
(C)若高斯面上的电场强度处处不为零,则该面内必定有电荷;
(D)若高斯面内有电荷,则该面上的电场强度必定处处不为零。
[答案:
D]
(3)一半径为R的导体球表面的面点荷密度为σ,则在距球面R处的电场强度()
(A)σ/ε0(B)σ/2ε0(C)σ/4ε0(D)σ/8ε0
[答案:
C]
(4)在电场中的导体内部的()
(A)电场和电势均为零;(B)电场不为零,电势均为零;
(C)电势和表面电势相等;(D)电势低于表面电势。
[答案:
C]
9.2填空题
(1)在静电场中,电势不变的区域,场强必定为。
[答案:
相同]
(2)一个点电荷q放在立方体中心,则穿过某一表面的电通量为,若将点电
荷由中心向外移动至无限远,则总通量将。
[答案:
q/6ε0,将为零]
(3)电介质在电容器中作用(a)——(b)——。
[答案:
(a)提高电容器的容量;(b)延长电容器的使用寿命]
(4)电量Q均匀分布在半径为R的球体内,则球内球外的静电能之比。
[答案:
5:
6]
9.3电量都是q的三个点电荷,分别放在正三角形的三个顶点.试问:
(1)在这三角
形的中心放一个什么样的电荷,就可以使这四个电荷都达到平衡(即每个电荷受其他
三个电荷的库仑力之和都为零)?
(2)这种平衡与三角形的边长有无关系?
解:
如题9.3图示
(1)以A处点电荷为研究对象,由力平衡知:
q为负电荷
解得
q
3q
3
(2)与三角形边长无关.
题9.3图题9.4图
9.4两小球的质量都是m,都用长为l的细绳挂在同一点,它们带有相同电量,静止
时两线夹角为2,如题9.4图所示.设小球的半径和线的质量都可以忽略不计,求每
个小球所带的电量.
解:
如题9.4图示
解得
q
2sin4
0mg
tan
l
9.5根据点电荷场强公式E
q
,当被考察的场点距源点电荷很近
(r→0)时,则
0r2
4
场强→∞,这是没有物理意义的,对此应如何理解?
解:
q
r0仅对点电荷成立,当r
0时,带电体不能再视为点电荷,再用上
E
0r
2
4π
式求场强是错误的,实际带电体有一定形状大小,考虑电荷在带电体上的分布求出的场强不会是无限大.
9.6在真空中有A,B两平行板,相对距离为d,板面积为S,其带电量分别为+q和
q2
-q.则这两板之间有相互作用力
f,有人说f=
4
0d2,又有人说,因为
f=qE,E
q
,所以f=q2
.试问这两种说法对吗?
为什么?
f到底应等于多少?
0S
0S
解:
题中的两种说法均不对.第一种说法中把两带电板视为点电荷是不对的,第二
种说法把合场强Eq看成是一个带电板在另一带电板处的场强也是不对的.正确
1S
解答应为一个板的电场为E
q
,另一板受它的作用力fq
q
q
2
20S
20S
,这是两
20S
板间相互作用的电场力.
9.7长l=15.0cm
的直导线AB上均匀地分布着线密度
=5.0x10
-9
-1
的正电
C·m
荷.试求:
(1)在导线的延长线上与导线B端相距
a1=5.0cm处P点的场强;
(2)在导线的垂直平分
线上
与导线中点相距d2
=5.0cm处Q点的场强.
解:
如题9.7图所示
(1)在带电直线上取线元
dx,其上电量dq在P点产生场强为dEP
1
dx
4π0
(a
x)2
l
dx
EPdEP
2
题9.7
图
l
(ax)2
4π0
2
用l15cm,5.0109Cm1,a12.5cm代入得
EP6.74102NC1方向水平向右
(2)同理
dEQ
1
dx
方向如题9.7
图所示
4π0
x2
d22
由于对称性
dEQx0,即EQ只有y分量,
l
∵
dEQy
1
dx
d2
π0x2
d22
x2
d22
4
以5.0109Ccm1,l15cm,d25cm代入得
EQEQy14.96102NC1,方向沿y轴正向
9.8一个半径为R的均匀带电半圆环,电荷线密度为,求环心处O点的场强.
解:
如9.8图在圆上取dlRd
题9.8图
dqdlRd,它在O点产生场强大小为
Rd
dE方向沿半径向外
2
4π0R
则dEx
dEsin
4π0R
sin
d
积分Ex
sind
0
4π0R
2π0R
∴EEx
,方向沿x轴正向.
2π0R
9.9均匀带电的细线弯成正方形,边长为
l,总电量为
q.
(1)
求这正方形轴线上离
中心为
r处的场强
E;
(2)
证明:
在
r
l处,它相当于点电荷
q产生的场强
E.
解:
如9.9图示,正方形一条边上电荷q在P点产生物强dEP方向如图,大小为
4
l
∵
cos
2
1
2
r2l
2
∴
dEP
l
2l2
2l2
4π0
r
r
4
2
dEP在垂直于平面上的分量dEdEPcos
∴
l
r
dE
4π0r2l2
r2
l2
r2l2
4
2
4
题9.9图
由于对称性,P点场强沿OP方向,大小为
q
∵
4l
∴EP
qr
方向沿OP
4π0(r2
l2)r2l2
4
2
9.10
(1)点电荷q位于一边长为a的立方体中心,试求在该点电荷电场中穿过立方
体的一个面的电通量;
(2)如果该场源点电荷移动到该立方体的一个顶点上,这时穿
过立方体各面的电通量是多少?
解:
(1)
由高斯定理
q
EdS
s
0
立方体六个面,当q在立方体中心时,每个面上电通量相等
∴各面电通量e
q
.
6
0
(2)电荷在顶点时,将立方体延伸为边长
2a的立方体,使q处于边长2a的立方体中
心,则边长2a的正方形上电通量
q
e
6
0
q
对于边长a的正方形,如果它不包含q所在的顶点,则e,
240
如果它包含q所在顶点则e0.
如题9.10图所示.题9.10图
9.11均匀带电球壳内半径
6cm,外半径10cm,电荷体密度为2×105
-3
求距球心
C·m
5cm,8cm,12cm各点的场强.
解:
高斯定理EdS
q,E4πr2
q
s
0
0
当r5cm时,q0,E0
r8cm时,qp4π(r3
r内3)
3
4πr3
r内2
∴
E
3
2
3.4810
4
NC
1
,方向沿半径向外.
4π0r
r12
cm时,
4π3
3
q
(r外
内
3
r)
4πr外
3
r内3
∴
E
3
2
4.1010
4
NC
1
沿半径向外.
4π0r
9.12半径为R1和R2(R2>R1)的两无限长同轴圆柱面,单位长度上分别带有电量
和-,试求:
(1)r<R1;
(2)R1<r<R2;(3)r>R2处各点的场强.
解:
高斯定理
q
EdS
s
0
取同轴圆柱形高斯面,侧面积S2πrl
则
EdS
S
E2πrl
对
(1)rR1q0,E0
(2)R1rR2ql
∴E沿径向向外
2π0r
(3)rR2q0
∴
E0
题9.13图
9.13两个无限大的平行平面都均匀带电,电荷的面密度分别为1和2,试求空间
各处场强.
解:
如题9.13图示,两带电平面均匀带电,电荷面密度分别为1与2,
两面间,E
1
(12)n
2
0
1面外,E
1
(12)n
2
0
2面外,E
1
(12)n
2
0
n:
垂直于两平面由
1面指为
2面.
9.14半径为
R的均匀带电球体内的电荷体密度为
若在球内挖去一块半径为
r<
R的小球体,如题
9.14图所示.试求:
两球心
O与O
点的场强,并证明小球空腔内
的电场是均匀的.
解:
将此带电体看作带正电的均匀球与带电的均匀小球的组合,见题9.14图
(a).
(1)球在O点产生电场E10
0,
4π3
r
球在O点产生电场E20
3
3
OO'
4π0d
r3
∴O点电场E030d3OO';
4
d3
(2)在O产生电场E10
3
3OO'
4π0d
球在O产生电场E200
∴
O
点电场
E0
3
0
OO'
题9.14图(a)题9.14图(b)
(3)设空腔任一点P相对O的位矢为r,相对O点位矢为r(如题8-13(b)图)
则
EPO
r,
3
0
EPO
r
3
0
∴
EPEPOEPO
(r
r)
d
OO'
30
30
30
∴腔内场强是均匀的.
9.15
一电偶极子由q=1.0×10-6C
的两个异号点电荷组成,两电荷距离
d=0.2cm,
把这电偶极子放在1.0×105N·C-1
的外电场中,求外电场作用于电偶极子上的最大
力矩.
解:
∵电偶极子p在外场E中受力矩
∴MmaxpEqlE代入数字
9.16两点电荷q1=1.5×10-8C,q2=3.0×10-8C,相距r1=42cm,要把它们之间的距离
变为r2=25cm,需作多少功?
解:
A
r2
Fdr
r2q1q2dr
q1q2(1
1)
r1
r24π0r2
4π0r1
r2
外力需作的功AA6.55106J
题9.17图
9.17如题9.17图所示,在A,B两点处放有电量分别为+q,-q的点电荷,AB间距
离为2R,现将另一正试验点电荷q0从O点经过半圆弧移到C点,求移动过程中电场
力作的功.
解:
如题9.17图示
∴
Aq0(UO
qoq
UC)
6π0R
9.18如题9.18图所示的绝缘细线上均匀分布着线密度为的正电荷,两直导线的
长度和半圆环的半径都等于R.试求环中心O点处的场强和电势.
解:
(1)由于电荷均匀分布与对称性,AB和CD段电荷在O点产生的场强互相抵消,
取dlRd
则dqRd产生O点dE如图,由于对称性,O点场强沿y轴负方向
题9.18图
[sin()sin]
4π0R22
(2)AB电荷在O点产生电势,以U0
同理CD产生
U2
ln2
4π0
πR
半圆环产生U3
4π0R40
∴UOU1U2U3ln2
2π040
4-1
的匀速率作圆周运动.求带
9.19一电子绕一带均匀电荷的长直导线以2×10m·s
电直线上的线电荷密度.
-31
-19
(电子质量m0=9.1×10
kg,电子电量e=1.60×10C)
解:
设均匀带电直线电荷密度为,在电子轨道处场强
电子受力大小
Fe
e
eE
2π0r
∴
e
v2
2π0r
m
r
得
2π0mv2
12.51013Cm1
e
-1
9.20空气可以承受的场强的最大值为E=30kV·cm,超过这个数值时空气要发生
火花放电.今有一高压平行板电容器,极板间距离为d=0.5cm,求此电容器可承受
的最高电压.
解:
平行板电容器内部近似为均匀电场
9.21证明:
对于两个无限大的平行平面带电导体板(题9.21图)来说,
(1)相向的两
面上,电荷的面密度总是大小相等而符号相反;
(2)相背的两面上,电荷的面密度总
是大小相等而符号相同.
证:
如题9.21图所示,设两导体
A
、的四个平面均匀带电的电荷面密度依次为
1
,
B
2,3,4
题9.21图
(1)则取与平面垂直且底面分别在A、B内部的闭合柱面为高斯面时,有
∴
230
说明相向两面上电荷面密度大小相等、符号相反;
(2)在A内部任取一点P,则其场强为零,并且它是由四个均匀带电平面产生的场强叠加而成的,即
又∵
230
∴
14
说明相背两面上电荷面密度总是大小相等,符号相同.
9.22三个平行金属板
2
A,B和C的面积都是200cm,A和B相距4.0mm,A与C相
距2.0mm.B,C都接地,如题9.22图所示.如果使A板带正电3.0×10-7C,略去边
缘效应,问B板和C板上的感应电荷各是多少?
以地的电势为零,则A板的电势是多
少?
解:
如题9.22图示,令A板左侧面电荷面密度为1,右侧面电荷面密度为2
题9.22图
(1)∵
∴
∴
且
得
而
(2)
UACUAB,即
EACdACEABdAB
1
EAC
dAB
2
EAB
dAC
2
1+
qA
2
S
2
qA,
1
2qA
3S
3S
qC
1S
2qA
2107C
3
qB
2S
1107C
UAEACdAC1dAC2.3103V
0
9.23两个半径分别为R1和R2(R1<R2)的同心薄金属球壳,现给内球壳带电+q,试
计算:
(1)外球壳上的电荷分布及电势大小;
(2)先把外球壳接地,然后断开接地线重新绝缘,此时外球壳的电荷分布及电势;
*(3)再使内球壳接地,此时内球壳上的电荷以及外球壳上的电势的改变量.
解:
(1)
内球带电
q;球壳内表面带电则为
q,外表面带电为
q,且均匀分布,
其电势U
Edr
qdr
q
R24π0r
2
4
π0R
R2
题9.23图
(2)外壳接地时,外表面电荷q入地,外表面不带电,内表面电荷仍为q.所以球
壳电势由内球q与内表面q产生:
(3)设此时内球壳带电量为q;则外壳内表面带电量为q,外壳外表面带电量为
qq(电荷守恒),此时内球壳电势为零,且
得
q
R1
q
R2
外球壳上电势
9.24半径为R的金属球离地面很远,并用导线与地相联,在与球心相距为d3R
处有一点电荷+q,试求:
金属球上的感应电荷的电量.
解:
如题9.24图所示,设金属球感应电荷为q,则球接地时电势UO0
题9.24图
由电势叠加原理有:
得
q
q
3
9.25有三个大小相同的金属小球,小球1,2带有等量同号电荷,相距甚远,其间的
库仑力为F0.试求:
(1)用带绝缘柄的不带电小球3先后分别接触1,2后移去,小球1,2之间的库仑力;
(2)小球3依次交替接触小球1,2很多次后移去,小球1,2之间的库仑力.
解:
由题意知
q
2
F0
0r2
4π
(1)小球3接触小球1后,小球3和小球1均带电
qq,2
小球3再与小球2接触后,小球2与小球3均带电
∴此时小球1与小球2间相互作用力
(2)小球3依次交替接触小球
1、2很多次后,每个小球带电量均为
2q.
3
2q2q
4
∴小球
1
、
2
间的作用力
3
3
F2
4π0r2
9F0
9.26在半径为R1的金属球之外包有一层外半径为R2的均匀电介质球壳,介质相对
介电常数为r,金属球带电Q.试求:
(1)电介质内、外的场强;
(2)电介质层内、外的电势;
(3)金属球的电势.
解:
利用有介质时的高斯定理DdSq
S
(1)介质内(R1rR2)场强
D
Qr
E内
Qr
r3
;
4π3
4π
0
r
r
介质外(rR2)场强
(2)介质外(rR2)电势介质内(R1rR2)电势
(3)金属球的电势
9.27如题9.27图所示,在平行板电容器的一半容积内充入相对介电常数为r的电介
质.试求:
在有电介质部分和无电介质部分极板上自由电荷面密度的比值.
解:
如题9.27图所示,充满电介质部分场强为
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