高考真题 绝对值不等式 解答题全集 学生版 解析版.docx
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高考真题绝对值不等式解答题全集学生版解析版
2017-2021年高考真题绝对值不等式解答题全集(学生版+解析版)
1.(2021•乙卷)已知函数f(x)=|x﹣a|+|x+3|.
(1)当a=1时,求不等式f(x)≥6的解集;
(2)若f(x)>﹣a,求a的取值范围.
2.(2020•江苏)设x∈R,解不等式2|x+1|+|x|<4.
3.(2020•新课标Ⅲ)设a,b,c∈R,a+b+c=0,abc=1.
(1)证明:
ab+bc+ca<0;
(2)用max{a,b,c}表示a,b,c的最大值,证明:
max{a,b,c}
.
4.(2020•新课标Ⅰ)已知函数f(x)=|3x+1|﹣2|x﹣1|.
(1)画出y=f(x)的图象;
(2)求不等式f(x)>f(x+1)的解集.
5.(2020•新课标Ⅱ)已知函数f(x)=|x﹣a2|+|x﹣2a+1|.
(1)当a=2时,求不等式f(x)≥4的解集;
(2)若f(x)≥4,求a的取值范围.
6.(2020•新课标Ⅲ)设数列{an}满足a1=3,an+1=3an﹣4n.
(1)计算a2,a3,猜想{an}的通项公式并加以证明;
(2)求数列{2nan}的前n项和Sn.
7.(2020•新课标Ⅲ)设a,b,c∈R,a+b+c=0,abc=1.
(1)证明:
ab+bc+ca<0;
(2)用max{a,b,c}表示a,b,c中的最大值,证明:
max{a,b,c}
.
8.(2019•江苏)设x∈R,解不等式|x|+|2x﹣1|>2.
9.(2019•新课标Ⅲ)设x,y,z∈R,且x+y+z=1.
(1)求(x﹣1)2+(y+1)2+(z+1)2的最小值;
(2)若(x﹣2)2+(y﹣1)2+(z﹣a)2
成立,证明:
a≤﹣3或a≥﹣1.
10.(2019•新课标Ⅱ)已知f(x)=|x﹣a|x+|x﹣2|(x﹣a).
(1)当a=1时,求不等式f(x)<0的解集;
(2)当x∈(﹣∞,1)时,f(x)<0,求a的取值范围.
11.(2019•新课标Ⅰ)已知a,b,c为正数,且满足abc=1.证明:
(1)
a2+b2+c2;
(2)(a+b)3+(b+c)3+(c+a)3≥24.
12.(2018•北京)设n为正整数,集合A={α|α=(t1,t2,…tn),tk∈{0,1},k=1,2,…,n},对于集合A中的任意元素α=(x1,x2,…,xn)和β=(y1,y2,…yn),记M(α,β)
[(x1+y1﹣|x1﹣y1|)+(x2+y2﹣|x2﹣y2|)+…(xn+yn﹣|xn﹣yn|)].
(Ⅰ)当n=3时,若α=(1,1,0),β=(0,1,1),求M(α,α)和M(α,β)的值;
(Ⅱ)当n=4时,设B是A的子集,且满足:
对于B中的任意元素α,β,当α,β相同时,M(α,β)是奇数;当α,β不同时,M(α,β)是偶数.求集合B中元素个数的最大值;
(Ⅲ)给定不小于2的n,设B是A的子集,且满足:
对于B中的任意两个不同的元素α,β,M(α,β)=0,写出一个集合B,使其元素个数最多,并说明理由.
13.(2018•新课标Ⅰ)已知f(x)=|x+1|﹣|ax﹣1|.
(1)当a=1时,求不等式f(x)>1的解集;
(2)若x∈(0,1)时不等式f(x)>x成立,求a的取值范围.
14.(2018•新课标Ⅱ)设函数f(x)=5﹣|x+a|﹣|x﹣2|.
(1)当a=1时,求不等式f(x)≥0的解集;
(2)若f(x)≤1,求a的取值范围.
15.(2017•新课标Ⅰ)已知函数f(x)=﹣x2+ax+4,g(x)=|x+1|+|x﹣1|.
(1)当a=1时,求不等式f(x)≥g(x)的解集;
(2)若不等式f(x)≥g(x)的解集包含[﹣1,1],求a的取值范围.
16.(2017•新课标Ⅱ)已知a>0,b>0,a3+b3=2.证明:
(1)(a+b)(a5+b5)≥4;
(2)a+b≤2.
17.(2017•新课标Ⅲ)已知函数f(x)=|x+1|﹣|x﹣2|.
(1)求不等式f(x)≥1的解集;
(2)若不等式f(x)≥x2﹣x+m的解集非空,求m的取值范围.
2017-2021年高考真题绝对值不等式解答题全集(学生版+解析版)
参考答案与试题解析
1.(2021•乙卷)已知函数f(x)=|x﹣a|+|x+3|.
(1)当a=1时,求不等式f(x)≥6的解集;
(2)若f(x)>﹣a,求a的取值范围.
【解答】解:
(1)当a=1时,f(x)=|x﹣1|+|x+3|
,
∵f(x)≥6,∴
或
或
,
∴x≤﹣4或x≥2,
∴不等式的解集为(﹣∞,﹣4]∪[2,+∞).
(2)f(x)=|x﹣a|+|x+3|≥|x﹣a﹣x﹣3|=|a+3|,
若f(x)>﹣a,则|a+3|>﹣a,
两边平方可得a2+6a+9>a2,解得a
,
即a的取值范围是(
,+∞).
2.(2020•江苏)设x∈R,解不等式2|x+1|+|x|<4.
【解答】解:
2|x+1|+|x|
.
∵2|x+1|+|x|<4,∴
或
或
,
∴
或﹣1≤x≤0或﹣2<x<﹣1,∴﹣2<x
,
∴不等式的解集为{x|﹣2<x
}.
3.(2020•新课标Ⅲ)设a,b,c∈R,a+b+c=0,abc=1.
(1)证明:
ab+bc+ca<0;
(2)用max{a,b,c}表示a,b,c的最大值,证明:
max{a,b,c}
.
【解答】证明:
(1)∵a+b+c=0,∴(a+b+c)2=0,
∴a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc=0,
∴2ab+2ac+2bc=﹣(a2+b2+c2),
∵abc=1,∴a,b,c均不为0,
∴2ab+2ac+2bc=﹣(a2+b2+c2)<0,
∴ab+ac+bc<0;
(2)不妨设a≤b<0<c
,则ab
,
∵a+b+c=0,∴﹣a﹣b=c
,
而﹣a﹣b≥2
,与假设矛盾,
故max{a,b,c}
.
4.(2020•新课标Ⅰ)已知函数f(x)=|3x+1|﹣2|x﹣1|.
(1)画出y=f(x)的图象;
(2)求不等式f(x)>f(x+1)的解集.
【解答】解:
函数f(x)=|3x+1|﹣2|x﹣1|
,
图象如图所示
(2)由于f(x+1)的图象是函数f(x)的图象向左平移了一个单位所得,(如图所示)
直线y=5x﹣1向左平移一个单位后表示为y=5(x+1)﹣1=5x+4,
联立
,解得横坐标为x
,
∴不等式f(x)>f(x+1)的解集为{x|x
}.
5.(2020•新课标Ⅱ)已知函数f(x)=|x﹣a2|+|x﹣2a+1|.
(1)当a=2时,求不等式f(x)≥4的解集;
(2)若f(x)≥4,求a的取值范围.
【解答】解:
(1)当a=2时,f(x)=|x﹣4|+|x﹣3|
,
∴当x≤3时,不等式f(x)≥4化为﹣2x+7≥4,即x
,∴x
;
当3<x<4时,不等式f(x)≥4化为1≥4,此时x∈∅;
当x≥4时,不等式f(x)≥4化为2x﹣7≥4,即x
,∴x
.
综上,当a=2时,不等式f(x)≥4的解集为{x|x
或x
};
(2)f(x)=|x﹣a2|+|x﹣2a+1|≥|x﹣a2﹣(x﹣2a+1)|=|(a﹣1)2|=(a﹣1)2.
又f(x)≥4,∴(a﹣1)2≥4,
得a﹣1≤﹣2或a﹣1≥2,
解得:
a≤﹣1或a≥3.
综上,若f(x)≥4,则a的取值范围是(﹣∞,﹣1]∪[3,+∞).
6.(2020•新课标Ⅲ)设数列{an}满足a1=3,an+1=3an﹣4n.
(1)计算a2,a3,猜想{an}的通项公式并加以证明;
(2)求数列{2nan}的前n项和Sn.
【解答】解:
(1)法一:
数列{an}满足a1=3,an+1=3an﹣4n,
则a2=3a1﹣4=5,a3=3a2﹣4×2=7,…,
猜想{an}的通项公式为an=2n+1.
证明如下:
(i)当n=1,2,3时,显然成立,
(ii)假设n=k时,ak=2k+1(k∈N+)成立,
当n=k+1时,ak+1=3ak﹣4k=3(k+1)﹣4k=2k+3=2(k+1)+1,故n=k+1时成立,
由(i)(ii)知,an=2n+1,猜想成立,
所以{an}的通项公式an=2n+1.
法二:
数列{an}满足a1=3,an+1=3an﹣4n,
则a2=3a1﹣4=5,a3=3a2﹣4×2=7,…,
猜想{an}的通项公式为an=2n+1.
证明:
设an+1+α(n+1)+β=3(an+αn+β),
可得an+1=3an+2αn+2β﹣α,
∴
,解得
,
∴an+1﹣2(n+1)﹣1=3(an﹣2n﹣1),(不能说明{an﹣2n﹣1}是等比数列)
∵a1=3,a1﹣2×1﹣1=0,并且a2﹣2(2+1)﹣1=0,所以an=2n+1恒成立.
所以an=2n+1.
(2)令bn=2nan=(2n+1)•2n,则数列{2nan}的前n项和
Sn=3×21+5×22+…+(2n+1)2n,…①
两边同乘2得,2Sn=3×22+5×23+…+(2n+1)2n+1,…②
①﹣②得,﹣Sn=3×2+2×22+…+2×2n﹣(2n+1)2n+1
=6
(2n+1)2n+1,
所以Sn=(2n﹣1)2n+1+2.
7.(2020•新课标Ⅲ)设a,b,c∈R,a+b+c=0,abc=1.
(1)证明:
ab+bc+ca<0;
(2)用max{a,b,c}表示a,b,c中的最大值,证明:
max{a,b,c}
.
【解答】证明:
(1)∵a+b+c=0,∴(a+b+c)2=0,
∴a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc=0,
∴2ab+2ac+2bc=﹣(a2+b2+c2),
∵abc=1,∴a,b,c均不为0,
∴2ab+2ac+2bc=﹣(a2+b2+c2)<0,
∴ab+ac+bc<0;
(2)不妨设a≤b<0<c
,则ab
,
∵a+b+c=0,∴﹣a﹣b=c
,
而﹣a﹣b≥2
,与假设矛盾,
故max{a,b,c}
.
8.(2019•江苏)设x∈R,解不等式|x|+|2x﹣1|>2.
【解答】解:
|x|+|2x﹣1|
,
∵|x|+|2x﹣1|>2,
∴
或
或
,
∴x>1或x∈∅或x
,
∴不等式的解集为{x|x
或x>1}.
9.(2019•新课标Ⅲ)设x,y,z∈R,且x+y+z=1.
(1)求(x﹣1)2+(y+1)2+(z+1)2的最小值;
(2)若(x﹣2)2+(y﹣1)2+(z﹣a)2
成立,证明:
a≤﹣3或a≥﹣1.
【解答】解:
(1)x,y,z∈R,且x+y+z=1,
由柯西不等式可得
(12+12+12)[(x﹣1)2+(y+1)2+(z+1)2]≥(x﹣1+y+1+z+1)2=4,
可得(x﹣1)2+(y+1)2+(z+1)2
,
即有(x﹣1)2+(y+1)2+(z+1)2的最小值为
;
(2)证明:
由x+y+z=1,柯西不等式可得
(12+12+12)[(x﹣2)2+(y﹣1)2+(z﹣a)2]≥(x﹣2+y﹣1+z﹣a)2=(a+2)2,
可得(x﹣2)2+(y﹣1)2+(z﹣a)2
,
即有(x﹣2)2+(y﹣1)2+(z﹣a)2的最小值为
,
由题意可得
,
解得a≥﹣1或a≤﹣3.
10.(2019•新课标Ⅱ)已知f(x)=|x﹣a|x+|x﹣2|(x﹣a).
(1)当a=1时,求不等式f(x)<0的解集;
(2)当x∈(﹣∞,1)时,f(x)<0,求a的取值范围.
【解答】解:
(1)当a=1时,f(x)=|x﹣1|x+|x﹣2|(x﹣1),
∵f(x)<0,∴当x<1时,f(x)=﹣2(x﹣1)2<0,恒成立,∴x<1;
当x≥1时,f(x)=(x﹣1)(x+|x﹣2|)≥0恒成立,∴x∈∅;
综上,不等式的解集为(﹣∞,1);
(2)当a≥1时,f(x)=2(a﹣x)(x﹣1)<0在x∈(﹣∞,1)上恒成立;
当a<1时,x∈(a,1),f(x)=2(x﹣a)>0,不满足题意,
∴a的取值范围为:
[1,+∞)
11.(2019•新课标Ⅰ)已知a,b,c为正数,且满足abc=1.证明:
(1)
a2+b2+c2;
(2)(a+b)3+(b+c)3+(c+a)3≥24.
【解答】证明:
(1)分析法:
已知a,b,c为正数,且满足abc=1.
要证
(1)
a2+b2+c2;因为abc=1.
就要证:
a2+b2+c2;
即证:
bc+ac+ab≤a2+b2+c2;
即:
2bc+2ac+2ab≤2a2+2b2+2c2;
2a2+2b2+2c2﹣2bc﹣2ac﹣2ab≥0
(a﹣b)2+(a﹣c)2+(b﹣c)2≥0;
∵a,b,c为正数,且满足abc=1.
∴(a﹣b)2≥0;(a﹣c)2≥0;(b﹣c)2≥0恒成立;当且仅当:
a=b=c=1时取等号.
即(a﹣b)2+(a﹣c)2+(b﹣c)2≥0得证.
故
a2+b2+c2得证.
(2)证(a+b)3+(b+c)3+(c+a)3≥24成立;
即:
已知a,b,c为正数,且满足abc=1.
(a+b)为正数;(b+c)为正数;(c+a)为正数;
(a+b)3+(b+c)3+(c+a)3≥3(a+b)•(b+c)•(c+a);
当且仅当(a+b)=(b+c)=(c+a)时取等号;即:
a=b=c=1时取等号;
∵a,b,c为正数,且满足abc=1.
(a+b)≥2
;(b+c)≥2
;(c+a)≥2
;
当且仅当a=b,b=c;c=a时取等号;即:
a=b=c=1时取等号;
∴(a+b)3+(b+c)3+(c+a)3≥3(a+b)•(b+c)•(c+a)≥3×8
•
•
24abc=24;
当且仅当a=b=c=1时取等号;
故(a+b)3+(b+c)3+(c+a)3≥24.得证.
故得证.
12.(2018•北京)设n为正整数,集合A={α|α=(t1,t2,…tn),tk∈{0,1},k=1,2,…,n},对于集合A中的任意元素α=(x1,x2,…,xn)和β=(y1,y2,…yn),记M(α,β)
[(x1+y1﹣|x1﹣y1|)+(x2+y2﹣|x2﹣y2|)+…(xn+yn﹣|xn﹣yn|)].
(Ⅰ)当n=3时,若α=(1,1,0),β=(0,1,1),求M(α,α)和M(α,β)的值;
(Ⅱ)当n=4时,设B是A的子集,且满足:
对于B中的任意元素α,β,当α,β相同时,M(α,β)是奇数;当α,β不同时,M(α,β)是偶数.求集合B中元素个数的最大值;
(Ⅲ)给定不小于2的n,设B是A的子集,且满足:
对于B中的任意两个不同的元素α,β,M(α,β)=0,写出一个集合B,使其元素个数最多,并说明理由.
【解答】解:
(I)M(α,α)=1+1+0=2,M(α,β)=0+1+0=1.
(II)考虑数对(xk,yk)只有四种情况:
(0,0)、(0,1)、(1,0)、(1,1),相应的
分别为0、0、0、1,
所以B中的每个元素应有奇数个1,
所以B中的元素只可能为(上下对应的两个元素称之为互补元素):
(1,0,0,0)、(0,1,0,0)、(0,0,1,0)、(0,0,0,1),
(0,1,1,1)、(1,0,1,1)、(1,1,0,1)、(1,1,1,0),
对于任意两个只有1个1的元素α,β都满足M(α,β)是偶数,
所以四元集合B={(1,0,0,0)、(0,1,0,0)、(0,0,1,0)、(0,0,0,1)}满足题意,
假设B中元素个数大于等于4,就至少有一对互补元素,
除了这对互补元素之外还有至少1个含有3个1的元素α,
则互补元素中含有1个1的元素β与之满足M(α,β)=1不合题意,
故B中元素个数的最大值为4.
(Ⅲ)B={(0,0,0,…0),(1,0,0…,0),(0,1,0,…0),(0,0,1…0)…,
(0,0,0,…,1)},
此时B中有n+1个元素,下证其为最大.
对于任意两个不同的元素α,β,满足M(α,β)=0,则α,β中相同位置上的数字不能同时为1,
假设存在B有多于n+1个元素,由于α=(0,0,0,…,0)与任意元素β都有M(α,β)=0,
所以除(0,0,0,…,0)外至少有n+1个元素含有1,
根据元素的互异性,至少存在一对α,β满足xi=yi=l,此时M(α,β)≥1不满足题意,
故B中最多有n+1个元素.
13.(2018•新课标Ⅰ)已知f(x)=|x+1|﹣|ax﹣1|.
(1)当a=1时,求不等式f(x)>1的解集;
(2)若x∈(0,1)时不等式f(x)>x成立,求a的取值范围.
【解答】解:
(1)当a=1时,f(x)=|x+1|﹣|x﹣1|
,
由f(x)>1,
∴
或
,
解得x
,
故不等式f(x)>1的解集为(
,+∞),
(2)当x∈(0,1)时不等式f(x)>x成立,
∴|x+1|﹣|ax﹣1|﹣x>0,
即x+1﹣|ax﹣1|﹣x>0,
即|ax﹣1|<1,
∴﹣1<ax﹣1<1,
∴0<ax<2,
∵x∈(0,1),
∴a>0,
∴0<x
,
∴a
∵
2,
∴0<a≤2,
故a的取值范围为(0,2].
14.(2018•新课标Ⅱ)设函数f(x)=5﹣|x+a|﹣|x﹣2|.
(1)当a=1时,求不等式f(x)≥0的解集;
(2)若f(x)≤1,求a的取值范围.
【解答】解:
(1)当a=1时,f(x)=5﹣|x+1|﹣|x﹣2|
.
当x≤﹣1时,f(x)=2x+4≥0,解得﹣2≤x≤﹣1,
当﹣1<x<2时,f(x)=2≥0恒成立,即﹣1<x<2,
当x≥2时,f(x)=﹣2x+6≥0,解得2≤x≤3,
综上所述不等式f(x)≥0的解集为[﹣2,3],
(2)∵f(x)≤1,
∴5﹣|x+a|﹣|x﹣2|≤1,
∴|x+a|+|x﹣2|≥4,
∴|x+a|+|x﹣2|=|x+a|+|2﹣x|≥|x+a+2﹣x|=|a+2|,
∴|a+2|≥4,
解得a≤﹣6或a≥2,
故a的取值范围(﹣∞,﹣6]∪[2,+∞).
15.(2017•新课标Ⅰ)已知函数f(x)=﹣x2+ax+4,g(x)=|x+1|+|x﹣1|.
(1)当a=1时,求不等式f(x)≥g(x)的解集;
(2)若不等式f(x)≥g(x)的解集包含[﹣1,1],求a的取值范围.
【解答】解:
(1)当a=1时,f(x)=﹣x2+x+4,是开口向下,对称轴为x
的二次函数,
g(x)=|x+1|+|x﹣1|
,
当x∈(1,+∞)时,令﹣x2+x+4=2x,解得x
,g(x)在(1,+∞)上单调递增,f(x)在(1,+∞)上单调递减,∴此时f(x)≥g(x)的解集为(1,
];
当x∈[﹣1,1]时,g(x)=2,f(x)≥f(﹣1)=2.
当x∈(﹣∞,﹣1)时,g(x)单调递减,f(x)单调递增,且g(﹣1)=f(﹣1)=2.
综上所述,f(x)≥g(x)的解集为[﹣1,
];
(2)依题意得:
﹣x2+ax+4≥2在[﹣1,1]恒成立,即x2﹣ax﹣2≤0在[﹣1,1]恒成立,则只需
,解得﹣1≤a≤1,
故a的取值范围是[﹣1,1].
16.(2017•新课标Ⅱ)已知a>0,b>0,a3+b3=2.证明:
(1)(a+b)(a5+b5)≥4;
(2)a+b≤2.
【解答】证明:
(1)由柯西不等式得:
(a+b)(a5+b5)≥(
)2=(a3+b3)2≥4,
当且仅当
,即a=b=1时取等号,
(2)∵a3+b3=2,
∴(a+b)(a2﹣ab+b2)=2,
∴(a+b)[(a+b)2﹣3ab]=2,
∴(a+b)3﹣3ab(a+b)=2,
∴
ab,
由均值不等式可得:
ab≤(
)2,
∴(a+b)3﹣2
,
∴
(a+b)3≤2,
∴a+b≤2,当且仅当a=b=1时等号成立.
17.(2017•新课标Ⅲ)已知函数f(x)=|x+1|﹣|x﹣2|.
(1)求不等式f(x)≥1的解集;
(2)若不等式f(x)≥x2﹣x+m的解集非空,求m的取值范围.
【解答】解:
(1)∵f(x)=|x+1|﹣|x﹣2|
,f(x)≥1,
∴当﹣1≤x≤2时,2x﹣1≥1,解得1≤x≤2;
当x>2时,3≥1恒成立,故x>2;
综上,不等式f(x)≥1的解集为{x|x≥1}.
(2)原式等价于存在x∈R使得f(x)﹣x2+x≥m成立,
即m≤[f(x)﹣x2+x]max,设g(x)=f(x)﹣x2+x.
由
(1)知,g(x)
,
当x≤﹣1时,g(x)=﹣x2+x﹣3,其开口向下,对称轴方程为x
1,
∴g(x)≤g(﹣1)=﹣1﹣1﹣3=﹣5;
当﹣1<x<2时,g(x)=﹣x2+3x﹣1,其开口向下,对称轴方程为x
∈(﹣1,2),
∴g(x)≤g(
)
1
;
当x≥2时,g(x)=﹣x2+x+3,其开口向下,对称轴方程为x
2,
∴g(x)≤g
(2)=﹣4+2+3=1;
综上,g(x)max
,
∴m的取值范围为(﹣∞,
].
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