数学分析课本华师大三版习题及答案第四章.docx
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数学分析课本华师大三版习题及答案第四章
篇一:
数学分析课本(华师大三版)-习题及答案第八章
第八章不定积分
一.填空题
x
1.若f?
(e)?
1?
x,则f(x)?
___________
2.设f(x)的一个原函数为xe,则?
xf?
(x)dx?
_____________3.若e
?
x
x
是f(x)的一个原函数,则?
xf(x)dx?
________________
4.若f(x)?
1,则f(x)?
____________5.?
max(x,x)dx?
___________________
6.若f(x)有原函数xlnx,则?
xf(x)dx?
_______________7.?
ln(sinx)sin
2
?
3
2
x
dx?
________________
8.若?
dx(1?
2cosx)
2
?
Asinx1?
2cosx
?
B?
dx1?
2cosx
,则A?
__________,B?
__________
9.设?
xf(x)dx?
arcsinx?
C,则?
dxx(4?
x)
lnx?
1x
2
dxf(x)
?
_________
10.?
?
_________________
11.?
dx?
_________________
12.?
13.?
14.?
?
a?
sin(lnx)?
cos(lnx)
n
x
?
________________
?
f(x)?
xf?
(x)?
dx
dx1?
e
x
?
________________
?
_____________
15.?
16.?
xe
x2
(1?
x)
dx?
_____________________
4sinx?
3cosxsinx?
2cosx
dx?
______________
2
17.已知f?
(2?
cosx)?
sinx?
tan
2
x,则f(x)?
_______________
18.?
f?
(x)1f(x)?
2
dx?
______________
19.若?
f(x)dx?
F(x)?
C,而u(x),则?
f(u)du?
___________.20设函数f(x)的二阶导数f(x)连续,那么?
xf(x)dx?
__________.21设f(x)的原函数是
sinxx
,则?
xf?
(x)dx?
__________.
112
22已知曲线y?
f(x)上任一点的切线斜率为3x2?
3x?
6,且x1时,y?
则f(x)?
__________;f(x)的极小值是__________.
1?
x
2
是极大值,
23已知一个函数的导数为f(x)?
并且当x?
1时,这个函数值等于
32
?
则这个函
数为F(x)?
__________.24设f?
(sin
2
x)?
cosx(x?
1),则f(x)?
__________.
2
25若f(x)为连续函数,且f?
(x)?
f(x),则?
f(x)dx?
__________.26若(?
f(x)dx)lnx,则f(x)?
__________.27已知e28
?
x
2
是f(x)的一个原函数,则?
f(tanx)secxdx?
__________.
2
2?
f()dx?
__________.2
xx
1?
x
29设f(x)dxC,则f(x)?
__________.
1?
x
?
1
?
30在积分曲线族?
二、选择填空题1.设I?
1xx
dx中,过(1,1)点的积分曲线是y?
__________.
?
x
e?
1e?
1
x
x
,则I?
()
A.ln(1?
e)?
CB.2ln(1?
e)?
x?
CC.x?
2ln(1?
e)?
CD.ln(e?
1)?
C
2.设f(x)是连续的偶函数,则期原函数F(x)一定是()A.偶函数B.奇函数C.非奇非偶函数D.有一个是奇函数
x
x
x
3.设I1?
?
1?
xdx,I2?
?
du,则存在函数u?
u(x),使()
x(1?
xex
)
u(1?
u)
A.I1?
I2?
xB.I1?
I2?
xC.I2I1D.I2?
I14.当n1时,?
xn
lnxdx?
()n
n?
1
A.x
n
(lnx?
1n
)?
CB.
x
n?
1(lnx?
1n?
1
)?
C
n?
1
C.1?
1
x
n?
1
x
n(lnx?
1n?
1
)?
CD.
n?
1
lnx?
C
7.?
(cosx2
?
sin
x2
)dx?
()
A.2(sinx?
cos
x)?
CB.2(cos
xx2
2
2?
sin
2)?
C
C.sinx?
cosx
xx22?
CD.cos2
?
sin2?
C
8.?
x?
sinx
1?
cosx
dx?
()
A.xcotxxxx2?
CB.xtan2?
CC.x
2cotx?
CD.2tan2
?
C
9.若f(x)的导函数是e?
x
?
cosx,则f(x)的一个原函数为()
A.e
?
x
?
cosxB.?
e
?
x
?
sinxC.?
e?
x
?
cosxD.e
?
x
?
sinx
10.若f(x)是以l为周期的连续函数,则其原函数()。
A.是以l为周期的函数B.是周期函数,但周期不是lC.不是周期函数D.不一定是周期函数
12.已知函数y?
3x2
的一条积分曲线过(1,1)点,则其积分曲线的方程为()A.y?
x3
B.y?
x3
?
1C.y?
x3
?
2D.y?
x3
?
C13.?
xf(x)dx?
()A.xf'(x)?
?
f(x)dxB.xf'(x)?
f'(x)?
C
C.xf'(x)?
f(x)?
CD.f(x)?
xf'(x)?
C14.sin2x的原函数是()
A.2cos2xB.
12
cos2xC.?
cos
2
xD.
12
sin2x
15.若f'(x)为连续函数,则?
f'(2x)dx?
()A.f(2x)?
CB.f(x)?
CC.
12
f(2x)?
CD.2f(2x)?
C
16.一个函数的原函数如果有的话有().
(A)一个;(B)两个;(C)无穷多个;(D)都不对.
17.若?
f(x)dx?
F(x)?
C,且x?
at?
b,则?
f(t)dt?
().(A)F(x)?
c;(B)F(t)?
c;(C)
1a
F(at?
b)?
C;(D)F(at?
b)?
C.
18.设f(x)为可导函数,则().(A)
?
f(x)dx?
f(x);(B)
?
f?
(x)dx?
f(x);f(x)?
C.
(C)(
?
f(x)dx)
f(x);(D)(
?
f(x)dx)
19.若u,v都是x的可微函数,则?
udv?
().(A)uv?
(C)uv?
?
vdu;(B)uvu?
vdu;?
v?
du;(D)uvuv?
du.
?
x
2
20.已知f(x)的一个原函数是e(A)?
2xe(C)e
?
x
2
,求?
xf?
(x)dx?
().
?
2xe
2
?
x
2?
x
2
?
C;(B)
2
;f(x)dx..
(?
2x?
1)?
C;(D)xf(x)?
?
21.已知曲线上任意点的二阶导数y?
6x,且在曲线上(0,-2)处的切线为2x?
3y?
6,则这条曲线的方程为().
(A)y?
x?
2x?
2;(B)3x?
2x?
3y?
6?
0;(C)y?
x;(D)以上都不对.
33
3
22.若f(x)的一个原函数是ln(2x),则f?
(x)?
().(A)?
1x
2
;(B)
1x
;(C)ln(2x);(D)x?
ln2x.
23.若?
df(x)dg(x),则下列各式中不成立的是().
(A)f(x)?
g(x);(B)f?
(x)?
g?
(x);(C)df(x)?
dg(x);(D)d
?
f?
(x)dx?
d?
g?
(x)dx.
24.若f?
(x2)?
1x
(x?
0),则f(x)?
().
1x
(A)2x?
C;(B)lnx?
C;(C)2x?
C;(D)
f?
(lnx)x
?
C
25.若f(x)?
e?
2x,则?
(A)
1x
2
dx?
().
?
C;(B)?
1x
2
?
C;(C)?
lnx?
C;(D)lnx?
C.
?
x
26.设?
f(x)dx?
F(x)?
C,则?
e(A)F(e)?
C;(B)F(e
x
f(e
?
x
)dx?
().
?
x
)?
C;(C)
F(ex
?
x
)
?
C;(D)?
F(e
?
x
)?
C.
27.设sinx是f(x)的一个原函数,则?
xf(x)dx?
().
(A)xsinx?
cosx?
C;(B)xsinx?
cosx?
C;(C)xcosx?
sinx?
C;(D)xcosx?
sinx?
C.
28.设f(x)?
cosx,则f(x)在区间()是可积的.
(A)(,);(B)[0,);(C)[,?
];(D)[?
1,0.
29.在计算积分?
x
2?
xdx时,为使被积函数有理化,可做变换().
(A)x?
sint;(B)x?
tant;
(C)x?
sect;(D)t?
3
?
x.
30.
?
x
2x
2
?
2x?
5
dx?
?
(x?
1)
2x?
2?
2
2
?
4
dx?
().
x?
1x?
122
?
c;(B)lnx?
2x?
5?
arcta?
c;(A)lnx?
2x?
5?
2arcta22x?
11x?
122
?
c;(D)lnx?
2x?
5?
arcta?
c.(C)lnx?
2x?
5?
2arcta424
三、计算题
1.求一曲线y=f(x),使它在点(x、f(x))处的切线的斜率为2x,且通过点(2、5).2.求下列不定积分:
篇二:
数学分析课本(华师大三版)-习题及答案第二十二章
第二十二章曲面积分
一、证明题
1.证明:
由曲面S所包围的立体V的体积等于
V=
余弦.
2.若S为封闭曲面,L为任何固定方向,则cos?
n,L?
ds=0
S1?
xcosycoszcosr?
ds其中cos?
cos?
cpsr3S为曲面S的外法线方向
其中n为曲面S的外法线方向.
3.证明公式
?
Vdxdydzr=1cos?
r,n?
ds2S
其中S是包围V的曲面,n为S的外法线方向.r=x2?
y2?
z2,r=(x,y,z).
4.证明:
场A=?
yz?
2x?
y?
z?
zs?
x?
2y?
z?
xy?
x?
y?
2z是有势场并求其势函数.
二、计算题
1.计算下列第一型曲面积分:
(1)?
x?
y?
z?
ds,其中S为上半球面
S
2222x?
y?
z=az?
0;
(2)?
x
S2?
y2?
ds,其中S为主体x?
y22?
z?
1的边界曲面;
(3)
S1x?
y22ds,其中S为柱面x2?
y2?
R2被平面Z=0,Z=H所截取的P分;
(4)xyzds
S,其中S为平面在第一卦限中的部分.
2.计算zds,其中S为圆锥表面的一部分.
S2
?
x?
rcos?
sin0?
r?
a?
S:
?
y?
rsin?
sin?
D:
?
0?
2?
z?
rcos
这里θ为常数(0<θ
2).
3.计算下列第二型曲面积分
(1)y?
x?
z?
dydz+x2dzdx+?
y2?
xz?
dxdy,其中S为x=y=z=0,x=y=z=a平成所围成
S
的正方体并取处侧为正向;
(2)?
x?
y?
dydzy?
z?
dzdxz?
x?
dxdy,其中S是以原点中心,边长为2的正方体
S
表面并取外侧正向;
(3)xydydz?
yzdzdx?
zxdxdy,其中S是由平面x=y=z=0和x+y+z=1所围的四面体
S
表面并取外侧为正向;
(4)yzdzdx,其中S是球面,x2?
y2?
z2=1的上半部分并取外侧为正向;
S
2(5)xdydz?
ydzdx?
zdxdy,其中S是球面?
x?
a?
+?
y?
b?
+?
x?
c?
=R并取222222
S
外侧为正向.
4.设某流体的流速为V=(x,y,0),求单位时间内从球面x2+y2+z2=4的内部流过球面的流量
5.计算第二型曲面积分
I=f?
x?
dydz+g?
y?
dzdx+h?
z?
dxdy
S
其中S是平行分面体(0?
x?
a,0?
y?
b,0?
z?
c)表面并取外侧,f(x),g(y),h(z)为S上的连续函数,
6.设磁场强度为E(x,y,z),求从球内出发通过上半球面x2+y2+z2=a2,z=0的磁通量,
7.应用高斯公式计算下列曲面积分:
(1)
(2)Syzdydz?
zxdzds?
sydxdy,其中S为单位球面x2+y2+z2=1的外侧;xdydz?
ydzds?
zdxdy,其中S是立方体0?
x,y,z?
a的表面取外侧;
xdydz?
ydzds?
zdxdy,其中S为锥面x2+y2=z2与平面z=h所围的空间区222222S
S(3)域(0?
z?
h)的表面方向取外侧;
(4)x
S2dydz?
ydzds?
zdxdy,其中S是单位球面x2+y2+z2=1的外侧;33
(5)xdydz
S?
ydzds?
2dxdy,其中S为上半球面Z=a2?
x2?
y2的外侧.
8.应用高斯公式计算三重积分
xy?
yz?
zx?
dxdydz
V
其中v是由x?
0,y?
0,0?
z?
1与x2?
y2?
所确定的空间区域.
9.应用斯托克斯公式计算下列曲线积分
(1)?
y?
z?
dx+?
x2?
z2?
dy+?
x2?
y2?
dz,其中L为x+y+z=1与三坐标面的交线,它22
L
的走向使新围平面区域上侧在曲线的左侧;
(2)xydx?
dy?
zdz,其中为y2?
z2=1,x=y所交的椭圆的正向;L22
(3)?
z?
y?
dx+?
x?
z?
dy+?
y?
x?
dz,其中L是以A(a,0,0),B(0,a,0),C(0,0,a)为顶点的三角形L
沿ABCA的方向.
10.若L是平面xcos?
+ycos?
+zcosr-p=0上的闭曲线,它所包围区域的面积为S,求
dxdydz
Lcos?
cos?
cosr
xyz
其中L依正向进行.
11.若r=x2?
y2?
z2,计算?
r2,?
1
r,?
f?
r?
?
rn(n=3)
12.求u=x2?
2y2?
3z2+2xy-4y+2y-4z在点0(0,0,0),A(1,1,1),B(―1,―1,―1)的梯度,并求梯度为零之点.
13.计算下列向量场A的散度和旋度:
(1)A=?
y?
z,z?
x,x?
y222222?
;
(2)A=?
xyz,xyz,xyz222?
;(3)A=?
x?
yzzx,y,z.xy
22214.流体流速A=?
x,y,z
流量.?
求单位时间内穿过1球面x82+y+z2=1(x>1,y>0,z>0)的2
15.设流速A=y,x,c?
(c为常数)求环流量
(1)沿圆周x?
y=1,z=0;
2
(2)沿圆周?
x?
2y=1,z=0.222
三、考研复习题
?
u
?
x221.证明:
若?
u=+?
u?
y22+?
u?
z22,S为包围区域V的同面的外例,则
(1)udxdydz=VS?
u?
nds;
(2)u
S?
u?
nds=udxdydz+?
uudxdydzVV
2.设S为光滑闭曲面,V为S所围的区域,在V上与S上函数u(x,y,z)二阶偏导连续,函数W(x,y,z)偏导连续,证明:
?
u
?
x?
w?
x
(1)?
WVdxdydz=uwdydz?
S?
Vudxdydz;
(2)?
Wudxdydz=WVS?
u?
nds?
uVWdxdydz.
3.设A=r
r3S为一封闭曲面,r=(x,y,z).证明当原点在曲面S外,上,内时分别有
Ads
S=0.2π,4π.
4.证明公式:
f?
msin?
cosnsin?
sinPcossin?
d?
d?
D
=2fum?
u?
p?
11?
222?
du
篇三:
《数学分析》(华师大二版)课本上的习题6
P.124习题
1.试讨论下列函数在指定区间内是否存在一点?
,使f?
(?
)?
0:
1xsin
(1)f(x)x
0
解
(1)因为f在[0,理,?
(0,
0?
x?
x?
0
1
?
,
(2)f(x)?
|x|?
1?
x?
1
1
1
?
]连续,在([0,
?
1
)可导,且f(0)?
f(),所以由Rolle定
?
1
?
),使得f?
(?
)?
0。
?
1x?
0
,且f?
(0)不存在,故不存在一点?
,使f?
(?
)?
0
?
1x?
0?
3
(2)因为f?
(x)
2.证明:
(1)方程x?
3x?
c?
0(这里c为常数)在区间[0,1]内不可能有两个不同的实根;
32
证明设f(x)?
x?
3x?
c,由于方程f?
(x)?
3x?
3?
0在(0,1)内没有根,所以
(由P.120,例1)方程x?
3x?
c?
0在区间[0,1]内不可能有两个不同的实根。
(2)方程x?
px?
q?
0(n为正整数)当n为偶数时至多有两个实根;当n为奇数时至多有三个实根。
证明设f(x)?
x?
px?
q,于是f?
(x)?
nx奇数,故方程f?
(x)?
nx
n
n?
1n
n?
1
n
3
?
p?
0。
当n为偶数时,n-1为
?
p?
0至多有一个实根(因为幂函数nxn?
1?
p严格递增),
从而方程x?
px?
q?
0至多有两个实根;
当n为奇数时,n-1为偶数,故由上述证明的关于偶数的结论有:
方程
nf?
(x)?
nxn?
1?
p?
0至多有两个实根,从而方程x?
px?
q?
0当n为奇数时至多有三
个实根。
3.证明:
若函数f和g均在区间I上可导,且f?
(x)?
g?
(x),x?
I,则在区间I上
f和g只相差一常数,即f(x)?
g(x)?
c(c为某一常数)
证明令F(x)?
f(x)?
g(x),则F在区间I上可导,且F?
(x)?
f?
(x)?
g?
(x)?
0,由推论1,存在常数c,使得F(x)?
c,即f(x)?
g(x)?
c
4.证明
(1)若函数f在[a,b]上可导,且f?
(x)?
m,则f(b)?
f(a)?
m(b?
a)
(2)若函数f在[a,b]上可导,且|f?
(x)|?
M,则|f(b)?
f(a)|?
M(b?
a)(3)对任意实数x1,x2,都有|sinx1?
sinx2|?
|x2?
x1|
证明因为f在[a,b]上可导,所以f在[a,b]上满足Lagrange中值定理的条件,于是?
(a,b),使得f(b)?
f(a)?
f?
(?
)(b?
a)
(1)因为f?
(x)?
m,所以f(b)?
f(a)?
f?
(?
)(b?
a)?
m(b?
a),从而有
f(b)?
f(a)?
m(b?
a)
(2)因为|f?
(x)|?
M,所以|f(b)?
f(a)|?
|f?
(?
)|?
|b?
a|?
M(b?
a)(3)不妨设x1?
x2,正弦函数f(x)?
sinx在[x1,x2]上连续,在(x1,x2)可导,于是?
(a,b),使得|sinx1?
sinx2|?
|cos?
|?
|x1?
x2|?
|x2?
x1|
5.应用拉格朗日中值定理证明下列不等式:
(1)
b?
abb?
a
,其中0?
a?
b?
ln?
baa
证明设f(x)?
lnx,则f在[a,b]上连续且可导,所以f在[a,b]上满足Lagrange中值定理的条件,于是?
(a,b),使得ln
b1
?
lnb?
lna?
f?
(?
)(b?
a)?
(b?
a),a?
因为0?
a?
b,所以
b?
ab?
ab?
ab?
abb?
a,从而?
ln?
b?
abaa
h2
?
arctanh?
h,其中h?
0
(2)2
1?
h
证明设f(x)?
arctanx,则f在[0,h]上满足Lagrange中值定理的条件,于是
?
(0,h),使得arctanh?
arctanh?
arctan0?
f?
(?
)(h?
0)?
h
。
因为2
1
h2hh
h,从而?
arctanh?
h。
0?
h,所以2
1?
h2121?
h
6.确定下列函数的单调区间:
(1)f(x)?
3x?
x
(2)f(x)?
2x?
lnx
2
2
x2?
1
(3)f(x)?
2x?
x(4)f(x)?
x
2
解
(1)f?
(x)?
3?
2x,令f?
(x)?
0,得x?
当x?
32
33
时,f?
(x)?
0,f递增;当x?
时,f?
(x)?
0,f递减。
22
14x2?
11
(2)f的定义域为x?
0。
f?
(x)?
4x,令f?
(x)?
0,得x?
xx2
当0?
x?
11
时,f?
(x)?
0,f递减;当x?
时,f?
(x)?
0,f递增。
22
1?
x2x?
x
2
(3)f的定义域为0?
x?
2。
f?
(x)?
,令f?
(x)?
0,得x?
1
当0?
x?
1时,f?
(x)?
0,f递增;当1?
x?
2时,f?
(x)?
0,f递减。
1x2?
1
?
0,故f在其定义域(4)f的定义域为x?
0。
f?
(x)?
1?
2?
2
xx(,0)?
(0,)递增。
7.应用函数的单调性证明下列不等式:
x3?
(1)tanx?
x?
,x?
(0,)
33
x3
证明设f(x)?
tanx?
x?
,则f在x?
0连续,且f(0)?
0。
因为
3f?
(x)?
sec2x?
1?
x2?
tan2x?
x2?
0,x?
(0,
?
3
),故f在(0,
?
3
)严格单调递
x3?
增,又因f在x?
0连续,于是f(
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