角平分线模型的构造.docx
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角平分线模型的构造角平分线模型的构造第二讲角平分线模型的构造3月角平分线(l)定义:
如图2-1,如果AOBBOC,那么AOC=2AOB=2BOC,像OB这样,从一个角的顶点出发,把这个角分成相等的两个角的射线,叫作这个角的角平分线
(2)角平分线的性质定理如果一条射线是一个角的平分线,那么它把这个角分成两个相等的角,在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等(3)角平分线的判定定理在角的内部,如果一条射线的端点与角的顶点重合,且把一个角分成两个等角,那么这条射线是这个角的平分线,在角的内部,到一个角两边距离相等的点在这个角的平分线上,与角平分线有关的常用辅助线作法,即角平分线的四大基本模型,已知P是MON平分线上一点,(l)若PAOM于点A,如图2-2(a),可以过P点作PBON于点B,则PB=PA.可记为“图中有角平分线,可向两边作垂线”
(2)若点A是射线OM上任意一点,如图2-2(b),可以在ON上截取OB=OA,连接PB,构造OPBOPA.可记为“图中有角平分线,可以将图对折看,对称以后关系现”(3)若APOP于点P,如图2-2(c),可以延长AP交ON于点B,构造AOB是等腰三角形,P是底边AB的中点,可记为“角平分线加垂线,三线合一试试看”(4)若过P点作PQON交OM于点Q,如图2-2(d),可以构造POQ是等腰三角形,可记为“角平分线十平行线,等腰三角形必呈现”例1
(1)如图2-3(a),在ABC中,C=90。
,AD平分CAB,BC=6cm,BD=4cm,那么点D到直线AB的距离是()cm.
(2)如图2-3(b),已知:
1=2,3=4,求证:
AP平分BAC例2如图2-4(a),RtABC中,ACB=90,CDAB,垂足为D.AF平分CAB,交CD于点E,交CB于点F求证:
CE=CF.将图2-4(a)中的ADE沿AB向右平移到A,D,E,的位置,使点E,落在BC边上,其它条件不变,如图2-4(b)所示试猜想:
BE与CF有怎样的数量关系?
请证明你的结论例3阅读下列学习材料:
如图2-5(a)所示,OP平分MON,A为OM上一点,C为OP上一点,连接AC,在射线ON上截取OB=OA,连接BC(如图2-5(b),易证AOCBOC.请根据上面的学习材料,解答下列各题:
(l)如图2-5(c)所示,在ABC中,AD是BAC的外角平分线,P是AD上异于点A的任意一点,试比较PB+PC与AB+AC的大小,并说明理由
(2)如图2-5(d)所示,AD是ABC的内角平分线,其它条件不变,试比较PCPB与ACAB的大小,并说明理由例4如图2-6(a),已知等腰直角三角形ABC中,A=90,AB=AC,BD平分ABC,CEBD,垂足为点E,求证:
BD=2CE.
(1)如图2-7(a),BD、CE分别是ABC的外角平分线,过点A作AD上BD、AECE,垂足分别为D、E,连接DE.求证:
DEBC,DE=(AB+BC+AC);
(2)如图2-7(b),BD、CE分别是ABC的内角平分线,其它条件不变;(3)如图2-7(c),BD为ABC的内角平分线,CE为ABC的外角平分线,其它条件不变,则在图2-7(b)、图2-7(c)两种情况下,DE与BC还平行吗?
它与ABC三边又有怎样的数量关系?
请写出你的猜测,并对其中的一种情况进行证明。
变式如图2-8,在ABC中,AB=3AC,BAC的平分线交BC于点D,过点B作BEAD,垂足为E,求证:
AD=DE例6如图2-9(a),AB=AC,BD,CD分别平分ABC,ACB.问:
(l)图2-9(a)中有几个等腰三角形?
(2)过D点作EFBC,如图2-9(b),交AB于点E,交AC于点F,图中又增加了几个等腰三角形?
(3)如图2-9(c),若将题中的ABC改为不等边三角形,其他条件不变,图中有几个等腰三角形?
直接写出线段EF与BE、CF有什么关系?
(4)如图2-9(d),BD平分ABC,CD平分外角ACG.DEBC交AB于点E,交AC于点F线段EF与BE、CF有什么关系?
并说明理由(5)如图2-9(e),BD、CD为外角CBM、BCN的平分线,DEBC交AB延长线于点E,交AC延长线于点F,直接写出线段EF与BE、CF有什么关系?
例7如图2-10(a)所示,已知ABC中,AC=BC,C=90,AD平分CAB,求证:
AB=ACD变式1如图2-11所示,已知ABC中,AB=AC,A=108,BD平分ABC.求证:
BC=ABCD.变式2如图2-12,已知ABC中,AB=AC,A=IOO,BD平分ABC,求证:
BC=BDAD.例8如图2-13(a),OP是MON的平分线,请你利用该图形画一对以OP所在直线为对称轴的全等三角形,请你参考上图构造全等三角形的方法,解答下列问题:
(1)如图2-13(b),在ABC中,ACB是直角,B=60,AD、CE分别是BAC、BCA的平分线,AD、CE相交于点F.请你判断写出FE与FD之间的数量关系;
(2)如图2-13(c),在ABC中,如果ACB不是直角,而(l)中的其他条件不变,请问,你在
(1)中所得结论是否依然成立?
若成立请证明;若不成立,请说明理由牛刀小试(l)如图2-14(a),在ABC中,ABC与ACB的角平分线相交于点F,过点F作DFBC,交AB于点D,交AC于点E,若BD+CE=9,则线段DE之长为()
(2)如图2-14(b),在ABC中,BD、CD分别平分ABC和ACB,DEAB,FDAC.,BC=6,求DEF的周长,2.已知:
如图2-15,BAD=CAD,ABAC,CDAD于点D.H是BC中点求证:
DH(ABAC).3、已知如图2-16,四边形ABCD中,B+D=180,BC=CD.求证:
AC平分BAD.4.如图2-17,ABC的外角/ACD的平分线CP与内角ABC的平分线BP交于点P,连接AP、CP,若BPC=40。
,求CAP的度数5.已知:
如图2-18,在四边形中,BCAB,AD=CD,BD平分ABC.求证:
A+C=1806.在平行四边形ABCD中,BAD的平分线交直线BC于点E,交直线DC于点F.
(1)在图2-19(a)中证明CECF;
(2)若ABC=90,G是EF的中点(如图2-19(b),直接写出BDG的度数;(3)若ABC=120,FGCE,FG=CE,分别连接DB、DG(如图2-19(c),求BDG的度数7.已知:
如图2-20,在ODC中,D一90,EC是DCO的角平分线,且OECE,过点E作EFOC交OC于点F.猜想:
线段EF与OD之间的关系,并证明8.已知:
如图2-21,在四边形ABCD中,AB+BCCDDA,ABC的外角角平分线与CDA的外角平分线交于点P,求证:
APB=CPD.如有侵权请联系告知删除,感谢你们的配合!
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