高中数学论文数学在解析几何中求参数范围的9种方法.docx

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高中数学论文数学在解析几何中求参数范围的9种方法

从高考解几题谈求参数取值范围的九个背景

解析几何中确定参数的取值范围是一类转为常见的探索性问题，历年高考试题中也常出现此类问题。

由于不少考生在处理这类问题时无从下手，不知道确定参数范围的函数关系或不等关系从何而来，本文通过一些实例介绍这类问题形成的几个背景及相应的解法，期望对考生的备考有所帮助。

背景之一：

题目所给的条件

利用题设条件能沟通所求参数与曲线上点的坐标或曲线的特征参数之间的联系，建立不等式或不等式组求解。

这是求范围问题最显然的一个背景。

例1：

椭圆的焦点为F1、F2，点P（x,y）为其上的动点，当∠F1PF2为钝角时，点P的横坐标的取值范围是___。

解：

设P（x1,y），∠F1PF2是钝角cos∠F1PF2=

。

说明：

利用∠F1PF2为钝角，得到一个不等式是解题的关键。

把本题特殊化就可以得到2000年全国高考题理科第14题：

椭圆的焦点为F1、F2，点P为其上的动点，当∠F1PF2为钝角时，点P横坐标的取值范围是__________。

（答案为x，）

例2：

（2000年全国高考题理科第22题）如图，已知梯形ABCD中，=2，点E分有向线段AC所成的比为，双曲线过点C、D、E三点，且以A、B为焦点。

当时，求双曲线离心率e的取值范围。

解：

如图，以线段AB的垂直平分线为y轴。

因为双曲线经过点C、D，且与A、B为焦点，由双曲线的对称性知C、D关y轴对称，依题意，记A，C（，h），E（x0，y0）,其中c=为双曲线的半焦距，h是梯形的高。

由定比分点坐标公式得：

x0==，y0=。

设双曲线方程为－=1，则离心率e=。

由点C、E在双曲线上，将点C、E的坐标和e=代入双曲线方程得

①

②

由①式得③

将③式代入②式，整理得：

∴

说明：

建立与e的函数关系式，再利用已知的范围，即可求得e的范围。

背景之二：

曲线自身的范围

圆、椭圆、双曲线及抛物线都有自身的范围，如椭圆>b>0）

中，x，利用这些范围是确定参数范围的途径之一。

例3：

（2002年全国高考题）设点P到点M（－1，0）、N（1，0）距离之差为2m，到x轴、y轴距离之比为2，求m的取值范围。

解：

设点P的坐标为（x，y），由题设得，即y=①

由于x，所以点P（x，y）、M（－1，0）、N（1，0）三点不共线，得

因此，点P在以M、N为焦点，实轴长为2的双曲线上，故

=1②

将①式代入②，解得

由且，得，又m

∴（0,

说明：

P到x轴、y轴距离之比为2，所以P不能在x轴上，由此得到m，这一隐含条件容易忽视。

例4：

（2004年全国卷Ⅲ理科21题文科22题）设椭圆的

两个焦点是F1（－c,0）与F2（c,0）（c>0），且椭圆上存在一点P，使得直线PF1与PF2垂直。

（1）求实数m的取值范围；

（2）设l相应于焦点F2的准线，直线PF2与l相交于Q，若，求直线PF2的方程。

解：

（1）依题设有m＋1>1,即m>0，c=,设点P的坐标为（x0,y0），由PF⊥PF2，得①

将①与联立，解得x

由此得

故m,+）

（2）答案为y=（）（x-）（解答略）

背景之三：

二次方程有解的条件

直线和圆锥曲线的关系，是解析几何中最常见的关系，它们联立消元后所得的判别式非负是直线和圆锥曲线有公共点的充要条件；若有限制条件，则还应考虑根的分布情况等，这是确定参数取值范围的一个常见背景。

例5：

（全国高考题）给定双曲线x２－=1，过点B（1，1）能否作直线

l，使l与所给双曲线交于P1及P2，且点B是线段P1P2的中点？

这样的直线l如果存在，求出它的方程；如果不存在，说明理由。

解：

画出图像知，当直线斜率不存在时，满足题设条件的l不存在。

当直线l斜率存在时，设为k，则l方程为y=k（x－1）＋1，联立，得。

设

。

故满足已知条件的直线l不存在。

例6：

（2004年湖北省高考题理科20题文科20题）直线与双曲线的右支交于不同的两点A、B。

（1）求实数k的取值范围；

（2）是否存在实数k，使得以线段AB为直径的圆经过曲线C的右焦点F？

若存在，求出k的值；若不存在，说明理由。

解：

（1）将直线代入双曲线方程，并整理得

依题意，直线l与双曲线C的右支交于不同两点，故

（2）答案是存在满足题设。

说明：

问题

（1）涉及到直线与双曲线右支相交的问题，转化为方程有不等

的两正根，由方程根的分布的充要条件建立不等式组即可。

背景之四：

已知变量的范围

利用题中给出的某个已知变量的范围，或由已知条件求出某个变量的范围，然后找出这个变量与欲求的参变量之间的关系，进而求解。

1、双参数中知道其中一个参数的范围；

例7：

（2004年浙江省高考题理科21题文科22题）已知双曲线的中心在原点，右顶点为A（1,0），点P、Q在双曲线的右支上，点M（m,0）到直线AP的距离为1。

（1）若直线AP的斜率为k，且，求实数m的取值范围；

（2）当时，的内心恰好是点M，求此双曲线的方程

解：

（1）由条件知直线AP的方程为，因为点

M到直线AP的距离为1，所以。

∵

∴

故

（2）答案是（解答略）

例8：

（2004年全国高考卷Ⅱ理科21题）给定抛物线，F是C的焦点，过点F的直线l与C相交于A、B两点。

（1）设l的斜率为1，求的夹角的大小；

（2）设，求l在y轴上截距m的变化范围。

解：

（1）答案为（解答略）。

（2）F（1,0）,设A（x1,y1）,B（x2,y2）,由题设,得

，

即

由得②得

∵

∴③

联立①、③解得，依题意有

∴得直线l方程为：

当时，方程l在y轴上的截距。

由，可知在上是递减的。

∵

∴。

故直线l在y轴上截距m的变化范围是。

说明：

例7和例8都是已知一个变量的范围求另一变量的范围，可先利用题设条件建立变量的关系式，将所求变量和另一已知变量分离，得到函数关系，再由已知变量的范围求出函数的值域，即为所求变量的范围。

这类背景也可归结为背景一。

2、双参数中的范围均未知

例9：

（2004年全国卷Ⅰ文2理21）设双曲线与直线相交于不同的点A、B。

（1）求双曲线C的离心率e的取值范围；

（2）设直线l与y轴的交点为P，且，求a的值。

解：

（1）由C与l相交于两个不同的点，故知方程有两个不同的实数解，消去y并整理得：

由

∴双曲线的离心率

∵

∴

故

（2）略

说明：

先求出a的范围，再建立e与a的函数关系式，即可求出e的范围。

例10：

直线与双曲线的左支交于A、B两点，直线l经过点和AB的中点，求直线l在y轴上的截距b的取值范围。

解：

由方程组，消去y得：

设，AB中点，则有：

∵

设直线l的方程为，则有，它在上单调递减。

∵

∴

说明：

这类问题可先求出一个变量的范围，另一个变量范围就相应可求出来了。

背景之五：

点在圆锥曲线内域或外域的充要条件

如果我们规定圆锥曲线包含焦点的区域称为圆锥曲线的内域，同时坐标平面被圆锥曲线所划分的另一部分称为圆锥曲线的外域，则点，在

椭圆内（外）域的充要条件是；点在双曲线内（外）域的充要条件是；点在抛物线的内（外）域的充要条件是。

以这些充要条件为背景的范围问题利用上述不等式可获解。

例11：

（1986年全国高考题）已知椭圆，试确定m的取

值范围，使得对于直线，椭圆C上有不同的两点P，Q关于该直线对称。

解：

设中点，则：

①

②

①－②得，

=③

又④

由③、④解得

又点在椭圆内部

∴，即。

背景之六：

三角形两边之和大于第三边

椭圆或双曲线上一点与它们的两个焦点的构成一个三角形，具有这一背景的问题往往可以利用三角形两边之和大于第三边产生的不等式来确定参数的范围。

例12：

已知双曲线的左、右两个焦点分别为F1、

F2，左准线为l，在双曲线的左支上存在点P，使|PF1|是P到l的距离d与|PF2|的等比中项，求离心率e的取值范围。

解：

由|PF1|2=d|PF2|

又|PF2|=2a＋|PF1|③

由①、③得|PF1||PF2|

在△PF1F2中，|PF1|＋|PF2||F1F2|，即

。

说明：

因为P点还可能在双曲线顶点上，所以|PF1|＋|PF2||F1F2|。

背景之七：

参数的几何意义

解析几何是一门数与形相结合的学科，其中许多的变量都有十分明显的几何意义，以此为背景的范围问题只要抓住了参数的几何意义都可以达到目的。

例13：

椭圆C的上准线是抛物线的准线，且C经过这条抛物

线的焦点，椭圆的离心率，求椭圆的长半轴a的范围。

解：

设椭圆的上焦点为F（x,y），由定义知，

。

故椭圆上焦点F的轨变是以A（0,－1）为圆心，半径为1的圆。

由此易知焦点F到准线y=1的距离p的范围是。

又

∴

背景之八：

平均值不等式

解析几何的本质是用代数方法研究图形的几何性质。

利用代数基本不等式是求范围的又一方法。

例14：

已知直线l过定点A（3,0），倾斜角为，试求的范围，使得曲线的所有弦都不能被直线l垂直平分。

解：

当直线的斜率为0或不存在时，符合题意。

设直线l的方程为，被它垂直平分的弦的两端点为，，则BC中点P。

当线段BC被l垂直平分时，有

。

∴符合题意的直线斜率。

∴。

说明：

本题的求解利用补集法，即先求弦能被l垂直平分的直线l的斜率，取其补集就是满足题设的斜率，再利用斜率和倾斜角的关系，就可以求出的范围。

背景之九：

目标函数的值域

要确定变量k的范围，可先建立以k为函数的目标函数，从而使这种具有函数背景的范围问题迎刃而解。

例15：

是椭圆上任一点，F1、F2是两个焦点，求|PF1|·|PF2|的取值范围。

解：

∵|PF1|＋|PF2|=2a

∴|PF1|·|PF2|=|PF1|·（2a－|PF1|）=－（|PF1|－a）2＋a2

又∵

∴当时,有最小值b2;当时,|PF1|·|PF2|有最大值a2。

故|PF1|·|PF2|的取值范围是。

例16：

（2004年福建省高考题理科22题）如图，P是抛物线上一点，直线l过点P且与抛物线C交于另一点Q。

（1）若直线l与过点P的切线垂直，求线段PQ中点M的轨变方程；

（2）若直线l不过原点且x轴交于点S，与y轴交于点T，试求的取值范围。

解：

（1）设，依题意有。

由

∴过点P的切线的斜率为

∵不合题意

∴

∴直线l的斜率

∴直线l的方程为

联立直线l和抛物线方程，消去y，得

∵M是PQ的中点

∴

消去x1，得

∴PQ中点M的轨迹方程为。

（2）设直线l的方程为，依题意，分别过P、Q作轴，轴，垂足分别为、，则

由①

∴

方法1：

∴

∵y1、y2可取一切不相等的正数

∴的取值范围是

方法2：

∴

当时，

当时，

又由方程①有两个相异实根，得

，于是，即

所以

∵当时，可取一切正数

∴的取值范围是

说明：

利用图形找到与P、Q两点纵坐标之间的关系，是快速求解第

（2）个问题的关键。