特殊的平行四边形复习讲义.docx
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特殊的平行四边形复习讲义.docx
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特殊的平行四边形复习讲义
沃根金榜一对一学科教师辅导讲义
学生姓名:
年级:
老师:
上课日期:
上课时间:
上课次数:
______年级第______单元课题______
——————————————————————————————————
[课前准备]
课前检查:
作业完成情况:
优()良()中()差()
复习预习情况:
优()良()中()差()
——————————————————————————————————
[学习内容]
特殊的平行四边形讲义
考试考点综述:
特殊平行四边形即矩形、菱形、正方形,它们是初二的必考内容之一,主要出现的题型多样,注重考查学
生的基础证明和计算能力,以及灵活运用数学思想方法解决问题的能力。
内容主要包括:
矩形、菱形、正
方形的性质与判定,以及相关计算,了解平行四边形与矩形、菱形、正方形之间的联系,掌握平行四边形
是矩形、菱形、正方形的条件。
知识目标
掌握矩形、菱形、正方形等概念,掌握矩形、菱形、正方形的性质和判定,通过定理的证明和应用的教学,
使学生逐步学会分别从题设和结论出发,寻找论证思路分析法和综合法。
重难点:
1.矩形、菱形性质及判定的应用
2.相关知识的综合应用
教学过程
知识点归纳
矩形
菱形
正方形
边
对边平行且相等
对边平行,四边相等
对边平行,四边相等
性
角
四个角都是直角
对角相等
四个角都是直角
质
对
互相垂直平分,且每条
互相垂直平分且相等,每条对角线平
角
互相平分且相等
对角线平分一组对角
分一组对角
线
·有三个角是直角;
·四边相等的四边形;
·是平行四边形且
·是平行四边形且有一
·是矩形,且有一组邻边相等;
判定
有一个角是直角;
组邻边相等;
·是菱形,且有一个角是直角。
·是平行四边形且
·是平行四边形且两条
两条对角线相等.
对角线互相垂直。
1
对称性既是轴对称图形,又是中心对称图形
矩形,菱形和正方形之间的联系如下表所示:
一.矩形
矩形定义:
有一角是直角的平行四边形叫做矩形.
【强调】矩形
(1)是平行四边形;
(2)一一个角是直角.
矩形的性质
性质1矩形的四个角都是直角;
性质2矩形的对角线相等,具有平行四边形的所以性质。
矩形的判定
矩形判定方法1:
对角线相等的平行四边形是矩形.
注意此方法包括两个条件:
(1)是一个平行四边形;
(2)对角线相等
矩形判定方法2:
四个角都是直角的四边形是矩形.
矩形判断方法3:
有一个角是直角的平行四边形是矩形。
例1:
若矩形的对角线长为8cm,两条对角线的一个交角为600,则该矩形的面积为
2
例2:
菱形具有而矩形不具有的性质是()
A.对角线互相平分;B.四条边都相等;C.对角相等;D.邻角互补
例3:
已知:
如图,□ABCD各角的平分线分别相交于点E,F,G,?
H,求证:
?
四边形EFGH是矩形.
二.菱形
菱形定义:
有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.
【强调】菱形
(1)是平行四边形;
(2)一组邻边相等.
菱形的性质
性质1菱形的四条边都相等;
性质2菱形的对角线互相平分,并且每条对角线平分一组对角;
菱形的判定
菱形判定方法1:
对角线互相垂直的平行四边形是菱形.
注意此方法包括两个条件:
(1)是一个平行四边形;
(2)两条对角线互相垂
直.
菱形判定方法2:
四边都相等的四边形是菱形.
例1已知:
如图,四边形ABCD是菱形,F是AB上一点,DF交AC于E.求证:
∠AFD=∠CBE.
例2已知:
如图ABCD的对角线AC的垂直平分线与边AD、BC分别交于E、F.
求证:
四边形AFCE是菱形.
3
例3、如图,在ABCD
中,O是对角线AC的中点,过点O作AC的垂线与边AD、BC分
别交于E、F,求证:
四边形
AFCE是菱形.
E
A
1
D
O
B
2
F
C
例4、已知如图,菱形ABCD中,E是BC上一点,AE、
BD交于M,若AB=AE,∠EAD=2∠BAE。
求证:
AM=BE。
A
BMD
E
C
例6、如图,菱形ABCD的边长为2,BD=2,E、F分别是边AD,CD上的两个动点,且满足AE+CF=2.
(1)求证:
△BDE≌△BCF;
(2)判断△BEF的形状,并说明理由;
(3)设△BEF的面积为S,求S的取值范围.
三.正方形
正方形是在平行四边形的前提下定义的,它包含两层意思:
①有一组邻边相等的平行四边形(菱形)
②有一个角是直角的平行四边形(矩形)
正方形不仅是特殊的平行四边形,并且是特殊的矩形,又是特殊的菱形.
正方形定义:
有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形.
..................
正方形是中心对称图形,对称中心是对角线的交点,正方形又是轴对称
正方形的判定方法:
?
(1)有一个角是直角的菱形是正方形;
?
(2)有一组邻边相等的矩形是正方形.
4
?
注意:
1、正方形概念的三个要点:
?
(1)是平行四边形;
?
(2)有一个角是直角;
?
(3)有一组邻边相等.
2、要确定一个四边形是正方形,应先确定它是菱形或是矩形,然后再加上相应的条件,确定是正方形.
例1已知:
如图,正方形ABCD中,对角线的交点为O,E是OB上的一点,DG⊥AE于G,DG交OA于F.求证:
OE=OF.
例2已知:
如图,四边形ABCD是正方形,分别过点A、C两点作l1∥l2,作BM⊥l1于M,DN⊥l1于N,直线MB、DN分别交l2于Q、P点.
求证:
四边形PQMN是正方形.
例3、如图,P是边长为1的正方形ABCD对角线AC上一动点(P与A、C不重合),点E在射线BC上,且PE=PB.
(1)求证:
①PE=PD;②PE⊥PD;
(2)设AP=x,△PBE的面积为y.
①求出y关于x的关系式,并写出x的取值范围;
②当x取何值时,y取得最大值,并求出这个最大值.
5
实战演练:
1.对角线互相垂直平分的四边形是()
A.平行四边形、菱形B.矩形、菱形C.矩形、正方形
2.顺次连接菱形各边中点所得的四边形一定是()
A.等腰梯形B.正方形C.平行四边形D.矩形
3.如图,已知四边形ABCD是平行四边形,下列结论中不正确的是(
A.当AB=BC时,它是菱形
B.当AC⊥BD时,它是菱形
C.当∠ABC=900时,它是矩形
D.当AC=BD时,它是正方形
A
D
D.菱形、正方形
)
A
F
E
B
C
B
D
C
4.如图,在
△ABC中,点
E,D,F分别在边AB,BC,CA上,且
DE∥CA,
DF∥BA.下列四个判断中,不正确
的是(
)
...
A
.四边形
AEDF
是平行四边形
B
.如果
BAC90
,那么四边形
AEDF
是矩形
C.如果AD平分
BAC,那么四边形
AEDF是菱形
D.如果AD
BC且AB
AC,那么四边形
AEDF是菱形
5.如图,四边形ABCD为矩形纸片.把纸片ABCD折叠,使点B恰好落在CD边的中点E
处,折痕为AF.若CD6,则AF等于()
A
.
43
B33
C42
D
.8
.
.
A
D
E
A
D
E
O
B
C
B
F
C
F
6.如图,矩形ABCD的周长为20cm,两条对角线相交于
O点,过点O作AC的垂线EF,
分别交AD,BC于E,F点,连结CE,则△CDE的周长为(
)
A.5cmB.8cmC.9cmD.10cm
7.在右图的方格纸中有一个菱形ABCD(A、B、C、D四点均为格点),
若方格纸中每个最小正方形的边长为
1,则该菱形的面积为
A
A
D
B
D
C
C
B
8.如图,在矩形
ABCD中,对角线AC,BD交于点O,已知
AOD120,AB
2.5,
则AC的长为
.
6
9.边长为5cm的菱形,一条对角线长是6cm,则另一条对角线的长是.
10.如图所示,菱形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,若再补充一个条件能使菱形
ABCD成为正方形,则这个条件是
(只填一个条件即可).
A
D
A
D
P
O
B
C
B
C
11.如图,已知P是正方形ABCD对角线BD上一点,且BP=BC,则∠ACP度数是.
12.如图,矩形ABCD中,O是AC与BD的交点,过O点的直线EF与AB,CD的延长
线分别交于E,F.
(1)求证:
△BOE≌△DOF;
(2)当EF与AC满足什么关系时,以A,E,C,F为顶点的四边形是菱形?
证明你的结
论.
F
AD
O
BC
E第12题图
应用探究:
1.如图,将矩形ABCD纸片沿对角线BD折叠,使点C落在C处,BC交AD于E,若
DBC22.5°,则在不添加任何辅助线的情况下,图中45°的角(虚线也视为角的边)
有()
A.6个
B.5个
C.4个
D.3个
B
A
D
C
22.5
E
C
C
D
A
M
B
2.如图,正方形
ABCD的面积为
1,M是AB的中点,则图中阴影部分的面积是(
)
3
1
2
D.
4
A.
B.
C.
9
10
3
5
7
3.已知AC为矩形ABCD的对角线,则图中1与2一定不相等的是()
D
C
D
CD
C
D
C
2
2
2
2
A
1
B
A1
BA
1
A1
B
1
B
A.
B.
C.
D.
4.红丝带是关注艾滋病防治问题的国际性标志
.将宽为1cm的红丝带交叉成
60°角重叠在一
起(如图),则重叠四边形的面积为
_______cm2.
A
H
D
EG
BFC
5.如图,将矩形纸ABCD的四个角向内折起,恰好拼成一个无缝隙无重叠的四边形EFGH,
若EH=3厘米,EF=4厘米,则边AD的长是___________厘米.
6.如图:
矩形纸片ABCD,AB=2,点E在BC上,且AE=EC.若将纸片沿AE折叠,点B
恰好落在AC上,则AC的长是.
AD
P
BEC
本次课作业:
家长签字:
1、预习:
2、写:
教学主管签字:
8
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- 特殊 平行四边形 复习 讲义