垂径定理同步教学讲义.docx
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垂径定理同步教学讲义
垂径定理
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1.掌握垂径定理中相关的概念;
2.掌握垂径定理的推理、应用.
1.弦心距:
(1)圆心到弦的距离叫做______。
(2)圆心角、弧、弦、弦心距之间的相等关系:
在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等,所对的弦相等,所对的圆心角也相等,所对弦的弦心距也相等。
四者有一个相等,则其他三个都相等。
圆心到弦的垂线段的长度称为这条弦的弦心距。
2.圆的性质:
(1)旋转不变性:
圆是旋转对称图形,绕圆心旋转任一角度都和原来图形重合;圆是中心对称图形,对称中心是圆心.
在同圆或等圆中,两个圆心角,两条弧,两条弦,两条弦心距,这四组量中的任意一组相等,那么它所对应的其他各组分别相等.
(2)轴对称:
圆是____________,____________________是它的对称轴.
3.垂径定理及推论:
(1)垂直于弦的直径平分这条弦,并且____________________.
(2)平分弦(__________)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧.
(3)弦的垂直平分线过圆心,且平分弦对的两条弧.
(4)平分一条弦所对的两条弧的直线过圆心,且垂直平分此弦.
(5)_________夹的弧相等.
1.垂径定理的基本概念
【例1】(2014浙江绍兴中考)如图,已知⊙O的直径AB⊥弦CD于点E,下列结论中一定正确的是()
A.AE=OEB.CE=DEC.OE=CED.∠AOC=60°
【解析】考查垂径定理的内容,垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对应的弧。
【答案】B
练习1.(2014四川梅州一模)如图所示,圆O的弦AB垂直平分半径OC,则四边形OACB()
A.是正方形B.是长方形C.是菱形D.以上答案都不对
练习2.(2014甘肃天水一中期末)下面四个判断中正确的是()
A.过圆内一点(非圆心)的无数条弦中,有最长的弦,没有最短的弦
B.过圆内一点(非圆心)的无数条弦中,有最短的弦,没有最长的弦
C.过圆内一点(非圆心)的无数条弦中,有且只有一条最长的弦,也有且只有一条最短的弦
D.过圆内一点(非圆心)的无数条弦中,既没有最长的弦,也没有最短的弦
2.垂径定理的简单计算
【例2】(2014江苏徐州一模)如图,AB是⊙O的直径,弦CD⊥AB,垂足为P.若CD=8,OP=3,则⊙O的半径为()
A.10B.8C.5D.3
【解析】根据垂径定理,可求CP的长度,根据勾股定理可求半径。
【答案】C
练习3.(2014四川泸州一模)已知⊙O的直径CD=10cm,AB是⊙O的弦,AB⊥CD,垂足为M,且AB=8cm,则AC的长为()
A.
cmB.
cmC.
cm或
cmD.
cm或
cm
练习4.(2014浙江绍兴一模)如图,AD为⊙O的直径,作⊙O的内接正三角形ABC,甲、乙两人的作法分别是:
甲:
1、作OD的中垂线,交⊙O于B,C两点,
2、连接AB,AC,△ABC即为所求的三角形
乙:
1、以D为圆心,OD长为半径作圆弧,交⊙O于B,C两点.
2、连接AB,BC,CA.△ABC即为所求的三角形.
对于甲、乙两人的作法,可判断(A)
A.甲、乙均正确B.甲、乙均错误C.甲正确、乙错误D.甲错误,乙正确
3.垂径定理的几何应用
【例3】(2014河北邯郸一中期末)如图,AB是⊙O的直径,CD是弦.若AB=10cm,CD=8cm,那么A、B两点到直线CD的距离之和为()
A.12cmB.10cmC.8cmD.6cm
【解析】根据垂径定理,过O作OG⊥CD与G,可求弦心距为6,根据梯形中位线的性质定理可求距离之和为2倍的弦心距,可得距离之和。
【答案】解:
作OG⊥EF,连接OD,
∴G为CD中点,又CD=8cm,
则DG=
CD=4cm.
又AB=10cm,∴OD=
AB=5cm,
所以OG=
=3cm.
根据梯形中位线定理,得A、B两点到直线CD的距离之和为3×2=6(cm).
故选D.
练习5.(2014辽宁锦州一模)如图,∠PAC=30°,在射线AC上顺次截取AD=3cm,DB=10cm,以DB为直径作⊙O交射线AP于E、F两点,则线段EF的长是_________cm.
练习6.(2014广东佛山一中期末)如图,⊙O是△ABC的外接圆,且AB=AC=13,BC=24,求⊙O的半径.
4.垂径定理的实际应用
【例4】银川市某居民区一处圆形下水管道破裂,修理人员准备更换一段新管道.如图所示,污水水面宽度为60cm,水面至管道顶差距离为10cm,问修理人员应准备内径多大的管道?
【解析】把问题简化为圆的垂径定理的求解问题,设半径为r,根据勾股定理苛求半径。
【答案】
练习7.某居民小区一处圆柱形的输水管道破裂,维修人员为更换管道,需确定管道圆形截面的半径,图2是水平放置的破裂管道有水部分的截面.若这个输水管道有水部分的水面宽AB=16cm,水面最深地方的高度为4cm,求这个圆形截面的半径.
练习8.如图,铁路MN和公路PQ在点O处交汇,∠QON=30°,在点A处有一栋居民楼,AO=200m,如果火车行驶时,周围200m以内会受到噪音的影响,那么火车在铁路MN上沿ON方向行驶时,居民楼是否会受到噪音的影响?
如果行驶的速度为72km/h,居民楼受噪音影响的时间为多少秒?
(结果保留根号)
5.垂径定理与动点问题
【例5】(2015福建三明一模)如图,在半径是4的⊙O中,点Q为优弧
的中点,圆心角∠MON=60°,点P在
(M点除外)上运动,设点P到弦MN的距离为x,△OMN的面积是S.
(1)求弦MN的长;
(2)试求阴影部分面积y与x的函数关系式,并写出自变量x的取值范围;
(3)试分析比较,当自变量x为何值时,阴影部分面积y与S的大小关系.
【解析】根据已知条件可得△MON是等边三角形,所以MN的长度等于半径;阴影部分为一个钝角三角形,面积为底乘高的积的一半,底为MN,高为x,可求阴影部分面积。
自变量x的取值范围是从O到等边三角形的高加半径的长度,即可求出x的取值范围;S可求,令y=S可求出临界范围,之后即可判断大小。
【答案】解:
(1)∵OM=ON,∠MON=60°
∴△MON是等边三角形
∴MN=ON=4
(2)作OH⊥MN于H点,∴MH=
MN=2
y=S△PMN=
4x,即y=2x
在Rt△OHM中,OH2=OM2﹣MH2
∴OH=2
∴0<x≤4+2
(3)△OMN的面积S=4
令y=s,即2x=4
∴x=2
当x=2
时,y=s
当0<x<2
时,y<s
当2
时,y>s.
练习9.(2014福建宁德一模)如图,AB是半圆O的直径,BC是弦,点P从点A开始,沿AB向点B以1cm/s的速度移动,若AB长为10cm,点O到BC的距离为4cm.
(1)求弦BC的长;
(2)问经过几秒后△BPC是等腰三角形?
练习10.如图2,在平面直角坐标系中,以点A(
,0)为圆心作⊙A,⊙A与x轴相交于点B,C,与y轴相交于点D,E,且C点坐标为(
,0).求线段DE的长.
【例6】(2014徐州市中考题)如图1,⊙O的直径为10,弦AB的长为8,M是弦AB上的动点,则OM的取值范围是()
图1
A.
B.
C.
D.
【解析】如果题中含有圆心和弦,一般过圆心作弦的垂线,利用弦心距平分弦这一性质证题。
此题主要是垂径定理的考查,OM在半径和弦心距之间,利用垂径定理求出弦心距即可。
【答案】解:
过O点作OC⊥AB于C,则
。
联结OA,则
,在Rt△AOC中,
,因为M是弦AB上的动点,所以
,即
,故选A。
练习11.(2014内蒙古呼伦贝尔一模)如图,⊙O的半径为5,弦AB的长为8,M是弦AB上的动点,则线段OM长的最小值为()
A.2B.3C.4D.5
练习12.过⊙O内一点M的最长的弦长为6cm,最短的弦长为4cm.则OM的长为()
A.
cmB.
cmC.2cmD.3cm
1.下列命题中正确的是()
A.平分弦的直径垂直于这条弦;B.切线垂直于圆的半径
C.三角形的外心到三角形三边的距离相等;D.圆内接平行四边形是矩形
2.如图,⊙O的直径为10,圆心O到弦AB的距离OM的长是3,则弦AB的长是()
A.4B.6C.7D.8
3.如图,已知AB是⊙O的直径,弦CD与AB相交于点E。
若______,则CE=DE(只须填上一个适合的条件即可)。
4.在⊙O中,AB是直径,CD是弦,若AB⊥CD于E,且AE=2,EB=8,则CD=__________.
5.如图,AB是⊙O的直径,AB=2,OC是⊙O的半径,OC⊥AB,点D在
上,点P是半径OC上一个动点,那么AP+DP的最小值等于.
6.半径为10cm的圆内有两条平行弦,长度分别为12cm.16cm,则这两条平所弦间的距离为_______cm。
7.在直径为10厘米的圆中,两条分别为6厘米和8厘米的平行弦之间的距离是
厘米
8.如图,是一个隧道的截面,如果路面AB宽为8米,净高CD为8米,那么这个
隧道所在圆的半径OA是___________米
9.如图,AB为半圆直径,O为圆心,C为半圆上一点,E是弧AC的中点,OE交弦AC于点D。
若AC=8cm,DE=2cm,则OD的长为cm
10.已知等腰△ABC的三个顶点都在半径为5的⊙O上,如果底边BC的长为8,那么BC边上的高为
11.如图,将半径为2cm的圆形纸片折叠后,圆弧恰好经过圆心O,则折痕AB的长为
12.已知⊙O的弦AB长为10,半径长R为7,OC是弦AB的弦心距,求OC的长
13.如图,直径是50cm圆柱形油槽装入油后,油深CD为15cm,求油面宽度AB
14.如图,已知AB是⊙O的直径,CD⊥AB,垂足为点E,如果BE=OE,AB=12m,求△ACD的周长
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1.如图1,⊙O的直径为10,圆心O到弦AB的距离OM的长为3,那么弦AB的长是()
A.4B.6C.7D.8
2.如图,⊙O的半径为5,弦AB的长为8,M是弦AB上的一个动点,则线段OM长的最小值为()
A.2B.3C.4D.5
3.过⊙O内一点M的最长弦为10cm,最短弦长为8cm,则OM的长为()
A.9cmB.6cmC.3cmD.
4.如图,小明同学设计了一个测量圆直径的工具,标有刻度的尺子OA、OB在O点钉在一起,并使它们保持垂直,在测直径时,把O点靠在圆周上,读得刻度OE=8个单位,OF=6个单位,则圆的直径为()
A.12个单位B.10个单位C.1个单位D.15个单位
5.如图,
的直径
垂直弦
于
,且
是半径
的中点,
,则直径
的长是()
A.
B.
C.
D.
6.下列命题中,正确的是()
A.平分一条直径的弦必垂直于这条直径
B.平分一条弧的直线垂直于这条弧所对的弦
C.弦的垂线必经过这条弦所在圆的圆心
D.在一个圆内平分一条弧和它所对的弦的直线必经过这个圆的圆心
7.如图,某公园的一座石拱桥是圆弧形(劣弧),其跨度为24米,拱的半径为13米,则拱高为()
A.5米B.8米C.7米D.5
米
8.⊙O的半径为5cm,弦AB//CD,且AB=8cm,CD=6cm,则AB与CD之间的距离为()
A.1cmB.7cmC.3cm或4cmD.1cm或7cm
9.已知等腰△ABC的三个顶点都在半径为5的⊙O上,如果底边BC的长为8,那么BC边上的高为()
A.2B.8C.2或8D.3
10.如图,⊙O的直径AB垂直于弦CD,垂足为E,若∠COD=120°,OE=3厘米,则CD=厘米
11.如图,AB为⊙O的弦,⊙O的半径为5,OC⊥AB于点D,交⊙O于点C,且CD=l,则弦AB的长是
12.某蔬菜基地的圆弧形蔬菜大棚的剖面如图所示,已知AB=16m,半径OA=10m,则中间柱CD的高度为m
13.已知AB是圆O的弦,半径OC垂直AB,交AB于D,若AB=8,CD=2,则圆的半径为
14.如图,已知C是弧AB的中点,OC交弦AB于点D.∠AOB=120°,AD=8.求OA的长
15.已知:
如图,AD是⊙O的直径,BC是⊙O的弦,AD⊥BC,垂足为点E,BC=8,AD=10.
求:
(1)OE的长;
(2)∠B的正弦值
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