普通高等学校招生全国统一考试高考数学教师精校版含详解陕西理.docx
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普通高等学校招生全国统一考试高考数学教师精校版含详解陕西理
2014年陕西理
一、选择题(共10小题;共50分)
1.已知集合,,则
A.B.C.D.
2.函数的最小正周期是
A.B.C.D.
3.定积分的值为
A.B.C.D.
4.根据如图所示的框图,对大于的整数,输出的数列的通项公式是
A.B.C.D.
5.已知底面边长为,侧棱长为的正四棱柱的各顶点均在同一个球面上,则该球的体积为
A.B.C.D.
6.从正方形四个顶点及其中心这个点中,任取个点,则这个点的距离不小于该正方形边长的概率为
A.B.C.D.
7.下列函数中,满足“”的单调递增函数是
A.B.C.D.
8.原命题为“若互为共轭复数,则”,关于其逆命题,否命题,逆否命题真假性的判断依次如下,正确的是
A.真,假,真B.假,假,真C.真,真,假D.假,假,假
9.设样本数据的均值和方差分别为和,若(为非零常数,),则的均值和方差分别为
A.B.C.D.
10.如图,某飞行器在千米高空水平飞行,从距着陆点的水平距离千米处下降,已知下降飞行轨迹为某三次函数图象的一部分,则函数的解析式为
A.B.
C.D.
二、填空题(共7小题;共35分)
11.已知,,则 .
12.若圆的半径为,其圆心与点关于直线对称,则圆的标准方程为 .
13.设,向量,,若,则 .
14.观察分析下表中的数据:
猜想一般凸多面体中,所满足的等式是 .
15.设,且,,则的最小值为 .
16.如图,中,,以为直径的半圆分别交,于点,,若,则 .
17.在极坐标系中,点到直线的距离是 .
三、解答题(共6小题;共78分)
18.的内角,,所对的边分别为,,.
(1)若,,成等差数列,证明:
;
(2)若,,成等比数列,求的最小值.
19.四面体及其三视图如图所示,过棱的中点作平行于,的平面分别交四面体的棱,,于点,,.
(1)证明:
四边形是矩形;
(2)求直线与平面夹角的正弦值.
20.在直角坐标系中,已知点,,,点在三边围成的区域(含边界)上.
(1)若,求;
(2)设,用表示,并求的最大值.
21.在一块耕地上种植一种作物,每季种植成本为元,此作物的市场价格和这块地上的产量均具有随机性,且互不影响,其具体情况如下表:
(1)设表示在这块地上种植季此作物的利润,求的分布列;
(2)若在这块地上连续季种植此作物,求这季中至少有季的利润不少于元的概率.
22.如图,曲线由上半椭圆和部分抛物线连接而成,,的公共点为,,其中的离心率为.
(1)求,的值;
(2)过点的直线与,分别交于点,(均异于点,),若,求直线的方程.
23.设函数,,,其中是的导函数.
(1)令,,,求的表达式;
(2)若恒成立,求实数的取值范围;
(3)设,比较与的大小,并加以证明.
答案
第一部分
1.B2.B3.C4.C5.D
6.C7.D8.B9.A10.A
【解析】分别求出四个选项中函数的导数,验证在上导数小于成立与否,即可得出函数的解析式.
第二部分
11.
12.
13.
14.
15.
【解析】根据柯西不等式,得,当且仅当时等号成立,化简即得.
16.
17.
【解析】在直角坐标系中,点为,直线为.
第三部分
18.
(1)因为成等差数列,所以,
由正弦定理得
因为
所以
(2)因为,,成等比数列,所以,
由余弦定理得
又因为(当且仅当时等号成立),
所以(当且仅当时等号成立),
故(当且仅当时等号成立),
即,所以的最小值为.
19.
(1)由该四面体的三视图可知,,,,,.
由题设,,
面,
面,
所以,,所以.
同理,,所以.
所以四边形是平行四边形.
又因为,,,
所以,
所以,
因为,,
所以,
所以四边形是矩形.
(2)如图,
以为坐标原点建立空间直角坐标系,则
所以
设平面的一个法向量,
因为,,所以
即
取,所以
20.
(1)因为,
所以,
即得,
所以.
(2)因为,
所以,
即
两式相减得:
.
令,由图可知,当直线过点时,取得最大值,故的最大值为.
21.
(1)设表示事件“作物产量为”,表示事件“作物市场价格为”,
由题设知
因为,
所以所有可能的取值为
且
所以的分布列为
(2)设表示事件“第季利润不少于元”,
由题意知,,相互独立,由
(1)知
季利润均不少于元的概率为
季中有季利润不少于元的概率为
所以,这季中至少有季的利润不少于元的概率为.
22.
(1)在,方程中,令,可得,且,是上半椭圆的左右顶点.
设的半焦距为,由及,解得.
所以,.
(2)由
(1)知,上半椭圆的方程为
易知,直线与轴不重合也不垂直,设其方程为,代入的方程中,整理得
设点的坐标为,由韦达定理得
又,得
从而求得
所以点的坐标为.
同理,由
得点的坐标为,所以
因为,所以,即
因为,所以,解得
经检验,符合题意,故直线的方程为.
23.
(1)因为,可得,所以
再结合,可知
即,当且仅当时取等号,
所以,当时,,当时,,
因为,所以
整理得
即
所以数列是以为首项,以为公差的等差数列,所以
当时,,符合上式.
因此.
(2)在范围内恒成立,等价于成立,
令,即恒成立,则
令,即,得,
当,即时,在上单调递增,则
所以当时,在上恒成立;
当,即时,在上单调递增,在上单调递减,所以
设,则
因为,所以,即,所以函数在上单调递减,所以
即,所以不恒成立,
综上所述,实数的取值范围为.
(3)由题设知
比较结果为,
证明如下:
上述不等式等价于
在
(2)中取,可得
令,,则
即
故有
上述各式相加可得,结论得证.
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